高中物理中“等時圓”模型的應用

【摘要】在高中物理教學中，引入“等時圓”模型，有助于學生深入理解物體在重力作用下，沿固定斜面下滑的等時性特點.本文通過分析“等時圓”模型的原理和應用，探討其在教學中的作用，以提高學生對物理現象的認識和解決實際問題的能力.

【關鍵詞】高中物理；等時圓；模型應用

1 引言

在高中物理中，研究物體在重力作用下，沿固定斜面下滑的運動規律具有重要意義.然而，傳統的教學方法往往使學生難以理解物體沿斜面下滑的等時性特點.為了解決這個問題，引入“等時圓”模型，通過直觀的圖象展示，幫助學生更好地理解這一物理現象.

2 等時圓模型的概述

2.1 等時圓模型的原理

“等時圓”這一概念描述了一個物理現象：當一個物體由靜止狀態，沿著一個豎直放置的圓形路徑上的光滑細桿下滑時，無論它選擇哪條路徑，無論是直接滑到圓的最低點，還是從圓的最高點出發到達圓上任一點，所需的時間總是相等的.這個時間恰好等于物體從圓的最高點自由落體到圓的最低點所需的時間.這個現象展示了在特定條件下，不同路徑下滑的物體可以展現出相同的運動特性，即它們的運動時間是“等時”的.這一現象揭示了在某些特定情況下，物理系統的運動特性可以表現出出人意料的簡潔性和規律性.

2.2 等時圓模型的基本規律

（1）如圖1所示，當物體從豎直放置的圓環上的任意光滑弦的頂端無初速下滑，最終抵達圓環的最底端，不論選擇哪條弦作為下滑路徑，其所需的時間始終一致；

（2）如圖2所示，一個物體從豎直圓環的頂端開始，沿著不同的光滑弦滑動到圓環的底端，不論選擇哪條路徑，其下滑的時間總是保持一致；

（3）如圖3所示，當兩個豎直放置的圓環相互接觸，且它們的豎直直徑都通過切點時，物體從任一圓環的上端沿不同光滑弦滑動到下端，無論選擇哪條路徑，下滑所需的時間都是相同的.

證明 （1）：取最高點為M，從M點自由落體到A點，有2R=12gt2，解得t=2Rg，從C點運動到A點，有l=12at21，mgsinθ=ma，l=2Rsinθ，解得t1=2Rg，所以相等，同理，也可以證明（2）和（3）.

3 解題思路

等時圓解題模型可分三步：第一步，設置頂點.上端相交：交點為圓的最高點；下端相交：交點為圓的最低點.第二步，作等時圓，過頂點作豎直線，以某條軌道為弦作圓心在豎直線上的圓.第三步，比較時間，軌道端點都在圓周上，質點的運動時間相等，端點在圓內的軌道，質點運動的時間短些，端點在圓外的軌道，質點運動的時間長些.

例1 如圖4所示，有三個固定在豎直面內的光滑細桿ad、bd、cd，且a、b、c、d均位于同一圓周上.設圓周的最高點為點a，最低點為點d.圓周上還各有一個小滑環（圖中未明確標出），它們分別從點桿頂端無初速度釋放，下滑過程記錄下每個滑環抵達點d的時間，分別記為t1、t2、t3，則（ ）

（A）t1<t2<t3. （B）t1&gt;t2>t3.

（C）t3>t1>t2. （D）t1=t2=t3.

解析 據等時圓模型的性質，可知小滑環從a、b、c到達d點所用的時間相等，（D）正確.

例2 如圖5呈現了兩個半徑分別為r和R的圓環，它們垂直堆疊并相切于同一水平面上.一條共弦穿過兩圓的切點，并在兩個圓上分別形成兩個交點a、b.在這條共弦上鋪設了一條光滑的軌道，一個小球從點b以一定的初速度沿著軌道向上彈射.假設小球在通過切點時不受任何阻礙.如果小球能夠恰好上升到點a，那么小球從點b運動到點a所需的時間是多少？

解析 小球從b點恰好運動到a點，可以采用逆向思維理解為從a點由靜止運動到b點.根據等時圓的性質可知，小球從a點由靜止運動到b點所用的時間與小球從小圓頂端下落到大圓底端的時間相同，小球從小圓頂端下落到大圓底端，有2r+2R=12gt2，解得t=2r+Rg.

4 結語

總之，在高中物理教學中，引入“等時圓”模型有助于學生深入理解物體沿斜面下滑的等時性特點.等時圓模型可以提高學生對物理現象的認識，培養學生的科學素養和解決實際問題的能力.在高中物理教學中，教師應充分利用等時圓模型，提高教學質量，為學生的物理學習奠定堅實基礎.

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