含彈簧連接體的動力學問題探討

【摘要】本文深入研究含彈簧連接體的動力學問題，通過對豎直面內和斜面上的彈簧連接體問題的詳細分析，探討彈簧的彈力對系統內物體運動的影響，并結合具體實例進行深入剖析，以展現該類問題在物理學中的重要性和復雜性.

【關鍵詞】彈簧連接體；初中物理；解題技巧

在物理學中，連接體問題一直是一個重要的研究領域，而含彈簧連接體的動力學問題因其獨特的特點和廣泛的應用而備受關注.對這類問題的研究不僅有助于深入理解力學的基本原理，也在眾多實際應用中具有關鍵意義.

1 豎直面內恒力作用下物體的非勻變速直線運動

例1 如圖1所示，小物塊A和B通過輕質彈簧相連接，豎直靜置于水平地面上.若給小物塊A一豎直方向的瞬時沖量，其大小為3N·s，隨后B恰好不能離開地面.已知A，B質量分別為1kg、2kg，彈簧的勁度系數k=100N/m，彈簧始終處于彈性限度內，重力加速度g取10m/s2.

（1）從開始至B恰好不離開地面的過程，求彈簧彈性勢能的變化量；

（2）若用大小為17.4N的豎直向上恒力作用于A，使之由靜止開始運動，直至B剛離開地面時，求A的速度大小.

解析 （1）初始小物塊A靜止時，彈簧壓縮x1，

則mAg=kx1，代入得x1=0.1m.

小物塊B恰好不能離開地面，彈簧伸長x2，

則mBg=kx2，代入得x2=0.2m.

對小物塊A提供豎直向下的瞬時沖量I，

則I=mAv，代入得v=3m/s.

小物塊B恰好不離開地面的過程中，小物塊A、小物塊B、輕彈簧和地球系統機械能守恒，

則12mAv2=mAgx1+x2+E彈，

代入得E彈=1.5J.

（2）由題知，未用力F拉動時，A，B靜止，小物塊A靜止時，彈簧壓縮x1，小物塊B恰好不能離開地面，彈簧伸長x2，由動能定理知Fx1+x2－E彈－mAgx1+x2=12mAv2A，代入得vA=1.2m/s.

點評 豎直面內彈簧連接體在恒力作用下，因彈簧的彈力是變力，對系統內每個物體而言，加速度大小是變化的，需要運用能量觀點來解決問題.

2 豎直面內恒力作用下的臨界問題

例2 如圖2，質量為m的A物體和質量為2m的B兩物體疊放在豎直彈簧上并保持靜止，用大小等于2.5mg的恒力F向上拉B，運動距離h時B與A分離．則下列選項正確的是（ ）

（A）B和A剛分離時，彈簧彈力為1.25mg．

（B）B和A剛分離時，A、B間彈力為mg．

（C）B和A剛分離時，A的加速度為0.25g．

（D）彈簧的勁度系數等于7mg2h．

解析 B與A剛分離的瞬間，A、B仍具有相同的速度和加速度，且A、B間無相互作用力.對B分析知，B具有向上的加速度F－2mg=2ma，解得a=0.25g，此時對A分析有F彈－mg=ma，解得F彈=1.25mg，且處于壓縮狀態，（A）（C）正確，（B）錯誤；B和A剛分離時，彈簧處于壓縮狀態，F彈=1.25mg，原來靜止時彈力大小為3mg，則彈力減小量ΔF=3mg－1.25mg=1.75mg，兩物體向上運動的距離為h，則彈簧壓縮量減小Δx=h，得k=ΔFΔx=7mg4h，（D）錯誤.

點評 彈簧連接體中疊加物體的分離問題，需要先分析物體在運動過程中的受力情況，再進行運動分析，分析運動過程中體恰好分離的臨界條件（疊加體之間的彈力為0），進而運用牛頓運動定律求解.

3 斜面上恒力作用下的臨界問題

例3 如圖3所示，輕質彈簧一端固定在光滑斜面底端，另一端與物塊A拴接，物塊B、C用跨過光滑定滑輪的輕繩相連，與B相連的輕繩與斜面平行，開始時用手托住物塊C，三個物塊均保持靜止，繩剛好伸直且無拉力，C距地面足夠高.三個物塊均可視為質點.已知斜面傾角為θ=37°.物塊A、B、C的質量分別為mA=1kg、mB=3kg、mC=2kg.彈簧的勁度系數k=100N/m，g取10m/s2.從釋放C的瞬間開始計時，則（ ）

（A）釋放物塊C的瞬間，物塊C的加速度為0.4m/s2．

（B）釋放物塊C的瞬間，物塊C的加速度為103m/s2．

（C）當物塊C下落的高度為0.24m時，物塊A、B恰好分離．

（D）物塊A、B分離時，物塊C的速度約為0.81m/s．

解析 根據牛頓第二定律mCg=（mA+mB+mC）a，解得釋放物塊C的瞬間，物塊C的加速度a=103m/s2，故（B）正確，（A）錯誤；釋放C時，根據平衡條件可得kx1=（mA+mB）gsinθ，解得x1=625m，物塊A，B恰好分離時，A，B之間的彈力為零，對A根據牛頓第二定律kx2－mAgsinθ=mAa′，對B，C整體根據牛頓第二定律mCg－mBgsinθ=（mC+mB）a′，聯立解得x2=0.064m，物塊A，B恰好分離時物塊C下落的高度h=x1－x2=0.176m，對從釋放C到A，B恰好分離的過程，根據動能定理12kx21－12kx22+mCg（x1－x2）－（mA+mB）gsinθ·（x1－x2）=12（mA+mB+mC）v2，解得v=0.81m/s，故（D）正確，（C）錯誤.

點評 本題中，因物塊C的質量恒定，因此物塊B受到繩子的拉力恒定，釋放物塊C的瞬間，運用牛頓第二定律求解其加速度，物塊A，B分離的瞬間，他們之間的彈力為0，運用能量觀點求解其速度的大小.

4 結語

含彈簧連接體的動力學問題是物理學中一個具有挑戰性的問題.通過對其動力學原理和求解方法的探討，以及結合具體實例的分析，深入理解了這類問題的復雜性和多樣性.在實際應用中，含彈簧連接體的動力學特性具有廣泛的用途，對于工程技術和科學研究都具有重要的價值.未來，隨著科學技術的不斷發展，對含彈簧連接體問題的研究將繼續深入，為解決更多實際問題提供理論支持和技術保障.

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