基于核心素養的初中數學作業設計研究

【摘要】國家明確出臺中小學系列管理，其中就包括作業管理.新課標又指出數學核心素養對教育教學具有導向作用，對學生的能力培養具有指導意義.本文在核心素養的視角下，對二次函數的圖象與性質一節的作業設計進行研究.

【關鍵詞】核心素養；初中數學；作業設計

根據《教育部辦公廳關于加強義務教育學校作業管理的通知》和《關于進一步減輕義務教育階段學生作業負擔和校外培訓負擔的意見》等文件精神，對數學作業的設計是教學的重要組成部分.而新課標明確指出，初中數學核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析六大核心素養，也強調要著重培養學生的六大能力，在作業設計當中，必須體現這六大核心素養能力.本文具體對邏輯推理、數學建模和直觀想象三個方面展開研究，討論二次函數的圖象與性質作業的體現.

1 邏輯推理

根據新課標要求，結合二次函數的圖象與性質，可以通過拋物線的圖象和二次函數的解析式，合乎邏輯地推出二次函數的相關性質，比如根據圖象得到二次函數圖象具有對稱性，結合解析式y=ax2+bx+ca≠0可推出對稱軸的數學符號表示x=－b2a等，均屬于對邏輯推理的落實.

例1 拋物線y=ax2+bx+ca≠0的頂點為－1，－2，拋物線與y軸的交點位于x軸的上方，以下結論正確的是（ ）

（A）a<0. （B）c<0.

（C）a－b+c=－2. （D）b2－4ac=0.

分析 因為拋物線y=ax2+bx+ca≠0的頂點為－1，－2，拋物線與y軸的交點位于x軸的上方，可以確定拋物線的開口向上，則a>0.

當x=0時，y=c，且拋物線與y軸的交點位于x軸的上方，所以y=c>0.

根據拋物線y=ax2+bx+ca≠0的頂點為－1，－2，則有a－b+c=－2.

由已知分析，拋物線與x軸有兩個交點，所以Δ=b2－4ac>0.故選（C）.

設計意圖 題目情境是拋物線y=ax2+bx+ca≠0的頂點為－1，－2，拋物線與y軸的交點位于x軸的上方，則通過拋物線的形狀結構，結合二次函數的性質，進行合乎邏輯的推理來判斷答案的對與否.這符合新課標對邏輯推理核心素養定義及表現形式，所以設置這樣的題型是為了落實邏輯推理核心素養，即檢驗學生邏輯推理能力的形成程度.

2 直觀想象

函數就是建立形與數之間的關系.在二次函數中，借助于函數圖象解決問題是很常見的事情，如給出拋物線圖象，求二次函數的解析式.

例2 二次函數y=ax2+bx+ca≠0的圖象如圖1所示，則下面結論中正確的是（ ）

（A）2a+b=0.

（B）4a－2b+c<0.

（C）b2－4ac>0.

（D）當y<0時，x<－1或x>4.

分析 如圖1所示，根據圖象可以得到二次函數y=ax2+bx+ca≠0中，對稱軸是x=1，

則－b2a=1，即2a+b=0.

又由圖象發現，拋物線上一點B－1，0，且對稱軸是x=1，

所以點A3，0，

所以Δ=b2－4ac>0，

且當y<0時，x<－1或x>3.

又拋物線開口向下，對稱軸是x=1，圖象過點B－1，0，

所以當x=－2時，y<0，

即4a－2b+c<0.故該題選（A）（B）（C）.

設計意圖 題目只提供了二次函數的解析式y=ax2+bx+ca≠0，除此之外沒有任何有用的已知信息，所有的已知信息均包含在圖象當中，包括拋物線的開口、頂點、對稱軸、增減性以及與x軸的交點坐標等，要解決問題，則需要對圖象進行解讀，從圖象中得出相應的已知條件，然后抽象出來，用以解決具體問題，如判斷2a+b=0等題目給出的四個答案對錯問題.該題的設計是在核心素養的視角下，檢驗學生的直觀想象能力.

3 數學建模

數學建模是將實際問題抽象成數學問題，然后對數學問題進行解答，與數學建模競賽是有區別的，數學建模競賽是指一種數學活動，而這里的數學建模是數學核心素養.

例3 商店銷售一種商品，據統計，平均每天可以售出20件，每件可以盈利40元.為了擴大銷售，增加盈利，該店采取了降價措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經過一段時間銷售，發現銷售單價每降低1元，平均每天可多售出2件，當每件商品降價多少元時，該商店每天最大銷售利潤為多少元？

分析 如果設每件商品降價x元，每天獲利y元，則每件盈利（40－x）元，每天銷量為（20+2x）件，且0≤x≤15.

所以y=（40－x）（20+2x）.

則有y=（40－x）（20+2x）=－2x2+60x+800=－2（x－15）2+1250，

則二次函數y=－2x－152+1250的頂點坐標為15，1250，

所以當x=15時，ymax=1250元.

設計意圖 題目是銷售商品題型，已知每件盈利不少于25元的前提下，經過一段時間銷售，發現銷售單價每降低1元，平均每天可多售出2件，當每件商品降價多少元時，該商店每天達到最大銷售利潤，根據題目情境，建立了二次函數模型y=－2x－15+1250進行求解，最大利潤即為1250元，所以該題的設計就是為了落實數學建模核心素養，檢驗學生數學建模能力.

4 結語

在作業管理的基本框架下，作業設計不光要考查學生基礎知識的掌握情況，還應該兼顧檢驗學生對核心素養能力的培養效果，所以本文在初中數學核心素養的背景下，以“二次函數的圖象與性質”為例，展開了對作業設計的研究，以期達到高效教學.

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