題型突破之初中數學方案設計與決策型問題研究

【摘要】初中數學方案設計與決策型問題是中考數學的常考題型之一.對方案設計與決策型問題的題型進行研究，可以幫助學生在實際生活中運用數學知識解決問題，培養他們的實踐能力和創新精神.教師在教學中也應該通過引導學生分析思考，培養他們的分析和判斷能力.本文對初中數學方案設計與決策型問題進行研究，并列舉實例進行講解，以期望有助于培養學生的綜合素質，提高解決該類問題的能力.

【關鍵詞】初中數學；方案設計；解題

1 利用不等式（組）設計方案

利用不等式（組）解決實際問題時，一般通過題中的不等關系建立不等式（組），確定某些變量的取值范圍或極端可能值，從而確定出可行性方案，然后通過比較得出最優方案.

例1 2024年3月12日是我國的第46個植樹節，實驗中學為了傳承和弘揚這一環保理念，組織學校師生去市外一退耕還林示范基地參加植樹活動，為祖國添“綠”.現有A，B兩種型號的大客車可選，其載客量和租金如表1所示，要求每種型號大客車至少一輛，且每輛汽車上至少要有一名教師.

（1）已知學校共549名學生和11名教師參加這次活動，請問共需租多少輛大客車？

（2）在（1）的基礎下，列出所有租車方案，并選出最省錢的租車方案.

解 （1）本次活動總人數為560人，

560÷55=10…10，即需要10輛乙種客車還余10人，且共有11名教師，而每輛汽車上至少要有一名教師，故共需租1l輛大客車.

（2）設租用x輛A種型號的大客車，則租用（11-x）輛B種型號大客車，因為x≤3且x為正整數，

所以x可取1或2或3，即有3種租車方案.

方案1：租用1輛A種型號大客車，10輛B種型號大客車，租車費用為6500元；

方案2：租用2輛A種型號大客車，9輛B種型號大客車，租車費用為6400元；

方案3：租用3輛A種型號大客車，8輛B種型號大客車，租車費用為6300元；

6500>6400>6300，租車方案3最節省錢.

2 利用函數設計方案

利用函數進行決策是指在提供的背景材料或圖表信息下，通過列函數解析式，根據函數的增減性，在自變量的取值范圍內確定最佳方案.解決此類問題的難點是正確確定函數解析式和自變量的取值范圍.

例2 某一煤炭開采公司簽訂了A、B兩種貨車進行煤炭運輸，已知85噸煤炭一次性運完需要安排2輛A型貨車與3輛B型貨車，155噸煤炭一次性運完需要安排4輛A型貨車與5輛B型貨車.現在礦上有190噸煤炭需要運輸，煤炭公司計劃安排兩輛貨車將所有煤炭一次運走.

（1）分別求出A，B型貨車運煤的載重量；

（2）若A，B貨車的運費分別為500元/次和400元/次.在滿載運送的條件下，請列出所有的運輸方案，并選出最省錢的運輸方案.

解 （1）設1輛A貨車一次可以運煤x噸，1輛B貨車一次可以運煤y噸，

根據題意得2x+3y=854x+5y=155，

解得x=20y=15，

即1輛A貨車一次可以運煤20噸，1輛B貨車一次可以運煤15噸.

（2）設A貨車運煤x噸，則B貨車運煤190－x噸，運輸總費用為w元，根據題意得：

w=500×x20+400×190－x15=25x+80（190－x）3=－5x3+152003，

因為－53<0，所以w隨x的增大而減小，即A貨車越多越省錢.

因為A，B兩種貨車均滿載，所以x20和190－x15都是正整數.

因此根據題意，x的取值有20，40，60，80，100，120，140，160，180.

代入計算，當x取40，100，160時，190－x15是正整數，其余不是正整數，因此符合題意的運輸方案有三種：

①2輛A型貨車，10輛B型貨車；②5輛A型貨車，6輛B型貨車；③8輛A型貨車，2輛B型貨車.

因為A貨車越多越省錢，所以方案③最省錢.

3 圖形問題中的方案設計

此類問題以常見的幾何圖形為基礎，在給定的條件下結合圖形的性質進行證明、設計、計算等，再檢驗所得結果是否滿足條件，從而做出決策.這就要求我們不僅要有一定的幾何能力基礎，還要能熟練地運用幾何圖形的有關性質，結合圖形變換、方程或函數的知識解決問題，最后要注意檢驗結果是否符合題目要求.

例3 為了改善農村的用水環境，自來水公司準備為A，B兩個村莊鋪設自來水輸送管道，現要在兩個村莊的交通主干道路邊選取一個位置建一個泵站，要求從泵站到兩個村莊鋪設的管道最短.已知A，B村莊以及交通干道l的相對位置如圖1所示.

如圖2，作點A關于l的對稱點A′，在線段A′B與直線l的交點C處建泵站，鋪設的管道最短.為了證明點C的位置是正確的，不妨在直線l上另外任取一點C′，連接AC′，BC′，證明AC+BC<AC′+BC′.請完成這個證明.

解 證明：如圖3所示，連接A′C′

因為點A，A′關于l對稱，點C在l上，

所以CA=CA′，

AC+BC=AC′+BC=A′B，

同理可得AC′+C′B=A′C′+BC′.

因為A′B<A′C′+C′B，

所以AC+BC<AC′+BC′.

4 結語

方案設計與決策型問題研究是初中數學的重要問題，它涉及學生在數學學習過程中如何運用所學知識進行實際問題的解決.在這部分內容中，教師需要在引導學生掌握數學知識的同時，培養他們的解決問題的能力和思維方式.另外，決策型問題的研究可以幫助學生在實際生活中運用數學知識進行決策，提高他們的問題解決能力和實際應用能力.通過對初中數學方案設計與決策型問題的研究，可以更好地促進學生的數學學習和發展.