如何解答初中數學中的最值問題

【摘要】最值問題作為中考數學中的一個高頻考點，通常同函數、幾何等知識相結合進行綜合考查，覆蓋面較廣，類型多樣，對學生的解題能力有著較高要求，教師在平時的解題訓練中需給予高度重視，通過技巧傳授幫助學生掌握解答最值問題的竅門.

【關鍵詞】初中數學；最值問題；解題技巧

最值問題，顧名思義就是一類涉及“最”字描述的試題，一般指的是最長和最短、最多和最少、最大和最小等問題，是普遍的應用類問題.在初中數學解題教學中，最值問題較為常見，教師可圍繞最值問題安排專題訓練，根據不同題目指導學生掌握相應的解答方法，以便在解題時盡可能少走彎路，最終讓學生準確、快速解答最值問題.

1 解答方程類最值問題的技巧

在初中數學方程類最值問題解題訓練中，教師應耐心講解有關方程的根與判別式等基礎知識，以及常用的方程解法，著重介紹求最值時的一般思路與方法，使其通過整理與簡化表達式且結合函數知識展開解答，助推他們準確得到最值.

例1 關于x的一元二次方程x2－4x+t－2=0，其中t為實數，已知該方程的兩個非負實數根為a和b，則a2－1b2－1的最小值為（ ）

（A）－20. （B）－15. （C）－10. （D）－5.

分析 在解答這道方程類最值問題時，教師應提醒學生聯系方程根和系數之間存在的關系，以此作為解題的切入點，然后讓他們重新整理與變形所求的多項式，使其最終借助函數的性質順利解答問題.

詳解 由于關于x的一元二次方程x2－4x+t－2=0的兩個非負實數根為a和b，那么Δ=16－4（t－2）>0，且a+b=4，ab=t－2≥0，則實數t的范圍是2≤t<6，對a2－1b2－1進行展開與變形能夠得到a2b2－a2+b2+1=a2b2－a+b2+2ab+1，即（t－2）2－16+2（t－2）+1=t2－2t－15.通過對上述式子的觀察發現這是一個有關實數t的二次函數樣式，而且該函數圖象的對稱軸是t=1<2，由此說明當t=2時，a2－1b2－1存在最小值，t2－2t－15=22－2×2－15=－15，所以a2－1b2－1的最小值是－15.（B）選項正確.

2 解答函數類最值問題的技巧

函數類最值問題形式多樣、變化多端，不僅涉及提供有自變量范圍，借助函數形式求函數最值類題目，還包括通過函數圖象求最值類題目.教師應結合例題進行示范，引導學生善于利用試題里面出現的平行、垂直等關系尋求解題的切入點，注重代數和幾何的有機整合，助推他們輕松解答.

例2 在圖1中，已知一次函數y=2x與反比例函數y=kx（k>0）的圖象有兩個交點，即為A，B，點P位于以C（－2，0）為圓心、半徑為1的圓上，其中Q點是線段AP的中點，假如OQ有最大值為32，則k的值為（ ）

（A）98. （B）3225. （C）2518. （D）4932.

分析 雖然本題最終所求的并非是k的最值，但是在題干描述中涉及“OQ有最大值為32”的字樣，同樣屬于一道最值問題，而且是函數與平面圖形相結合的綜合型試題，解題時要用到函數的圖象與性質，以及三角形的中位線相關知識，顯得較為復雜，不過可借助數形結合思想突破障礙，從而輕松完成解答.

詳解 根據題意可連接BP，結合反比例函數相關知識可以確定A，B兩點關于平面直角坐標系的原點O對稱，且O為AB的中點.因為Q點是線段AP的中點，所以BP=2OQ，由于OQ有最大值為32，那么BP有最大值為3，結合圓相關知識可知當BP有最大值時，P點為BC延長線和圓C的交點，根據圓C的半徑為1能夠得到BC=2，可設點B的坐標為（t，2t），添加輔助線，畫BD垂直于X軸交于點D，則CD=t－（－2）=t+2，BD=－2t，結合勾股定理能夠得到（t+2）2+（－2t）2=4，據此求得t=－45或者t=0（舍去），由此確定B點坐標為－45，－85，然后把B點坐標代入到反比例函數y=kx（k>0）中，能夠求出k=3225.所以（B）選項正確.

3 解答幾何類最值問題的技巧

幾何類的最值問題，從整體上來看可分為兩種，其一是借助幾何圖形性質轉化原問題，實現由陌生向熟悉的轉變，其二是巧妙使用常見幾何圖形的原有性質處理最值類試題.在指導學生解答幾何類最值問題時，應當要求學生以仔細分析試題里面出現的幾何圖形特征為前提，準確把握幾何圖形所具有的性質，從而輕松求解最值答案.

例3 如圖2，菱形ABCD中的兩條對角線相交于點O，其中AC=12，BD=16，P點位于邊BC上，且不與B，C兩點重合，另外PF⊥BD，PE⊥AC，連接EF，則EF的最小值為（ ）

（A）8. （B）5.8 . （C）4.8. （D）4.

分析 解答這一題目時，如果直接利用已知數據和條件求EF的最小值的話難度較大，但是可借助菱形這一特殊幾何圖形的性質進行適當轉化，并結合三角形相關知識完成解答.

詳解 添加輔助線，連接OP，根據菱形的性質可知兩條對角線AC⊥BD，由于PF⊥BD，PE⊥AC，得到矩形PFOE，則EF=OP，當OP⊥BC時OP有最小值，在Rt△BOC中，OC=12AC=6，OB=12BD=8，結合勾股定理能夠得到BC2=OC2+OB2，則BC=10，因為S△BOC=12×OP×BC=12×BO×OC，所以OP=OB×OCBC=6×810=4810=4.8，則EF=OP=4.8，即EF的最小值為4.8.所以（C）選項正確.

4 結語

綜上所述，在初中數學解題訓練活動中，最值問題是一類比較特殊的題目，考查的知識點范圍較廣、綜合性較強，教師應把握好此類試題的特征，通過專題訓練指導學生進行解題練習，使其能夠根據具體題目靈活使用不同的解題方法，找到最優解題方案，簡化解題流程，降低出現錯誤的概率，讓學生學會解答數學中的最值問題，為將來的中考做準備.