一道母題的變式探究

【摘要】變式探究有利于促進學生深入思考，加深學生對基本概念、定理的理解，進而提高學生的數學核心素養.本文以一道母題為例，嘗試進行變式探究，以發展學生思維，提升學生核心素養.

【關鍵詞】變式探究；初中數學；解題技巧

變式探究是指對數學問題的條件或結論進行調換、弱化或強化，在變換的過程中，始終不改變問題的本質特征，改變的只是問題的非本質因素，從而促進學生深入思考，加深學生對基本概念、定理的理解，進而提高學生的數學核心素養.基于此，本文以一道母題為例，嘗試進行變式探究.

1 母題與解析

如圖1，要設計一幅寬20cm，長30cm的圖案，其中有兩橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為3∶2，如果使彩條所占面積是圖案面積的四分之一，應如何設計彩條的寬度（結果保留小數點后一位）？

解析 設豎條的寬度是2xcm，橫條的寬度是3xcm，因為彩條所占面積是圖案面積的四分之一，所以空白部分面積是圖案面積的四分之三.據此列一元二次方程求解.將彩條部分取掉，把空白部分拼合可以組成一個矩形，這個矩形的長為（30-4x）cm，寬為（20-6x）cm，列方程，得（20-6x）（30-4x）=34×20×30，解得x1≈0.61或x2≈10.2（舍去）．3×0.61≈1.8cm，2×0.61≈1.2cm．橫條寬1.8cm，豎條寬1.2cm．

2 變式與探究

變式1 如圖2，要設計一幅寬20cm，長30cm的圖案，其中有兩橫兩豎的彩條，橫豎彩條的寬度比為2∶1．如果要使彩條所占面積是圖案面積的1975，則豎彩條的寬度為多少？

分析 設豎彩條的寬為xcm，則橫彩條的寬為2xcm，因為彩條所占面積是圖案面積的1975，所以空白部分面積是圖案面積的5675，將彩條部分去掉，把九塊空白部分拼合成一個矩形，這個矩形的長為（30-2x）cm，寬為（20-4x）cm，據空白部分面積列方程，得（30-2x）（20-4x）=30×20×5675，整理得：x2-20x+19=0，解得：x1=1，x2=19（不合題意，舍去）．故豎彩條的寬度為1cm．

點評 上述問題的解法，采用較為簡潔易懂的平移，如果要減掉的面積在矩形的四周呢？我們會看到這種綜合考慮問題的方法為解決問題帶來的便捷.

變式2 如圖3，在一塊長8m、寬6m的矩形綠地內，開辟出一個矩形的花圃，使四周的綠地等寬，已知綠地的面積與花圃的面積相等，求花圃四周綠地的寬．

分析 設花圃四周綠地的寬為xm，因為綠地的面積與花圃的面積相等，所以花圃面積占總面積的一半，據此列方程求解，中間矩形花圃的長為（8-2x）m，寬為（6-2x）m，根據矩形面積公式列方程，得：（8-2x）（6-2x）=12×8×6，整理得：x2-7x+6=0，解得：x1=1，x2=6（不合題意，舍去）．故花圃四周綠地的寬為1m．

點評 注意中間花圃的長為8-2x，而不是8-x，它的寬也是同理.此題如果計算四周綠地的面積列方程求解，則為2×8x+2×6x-4x2=12×8×6，顯然比較繁瑣，所以整體考慮問題，依據矩形面積列方程求解比較簡單易行.

變式3 有一張長40cm，寬30cm的長方形硬紙片（如圖4），截去四個全等的小正方形之后，折成無蓋的紙盒（如圖5）．若紙盒的底面積為600cm2，求紙盒的高．

分析 設紙盒的高是xcm．因為已知紙盒的底面積為600cm2，所以應根據“紙盒的底面積為600cm2”列方程求解.因為紙片的四個角都截去一個小正方形，然后折起來做成紙盒，所以紙盒的底面為長（40-2x）cm，寬（30-2x）cm的長方形，根據紙盒底面積列方程，得：（40-2x）（30-2x）=600，整理，得：x2-35x+150=0，解得x1=5，x2=30（不合題意，舍去）．故紙盒的高為5cm．

點評 此題與變式2比較，由平面圖形變為立體圖形，但是考慮問題時，仍需要按圖4的平面圖形去分析，明確在圖4的平面圖形里，哪一部分是底面，哪一部分是側面，哪一部分是紙盒的高.考查了學生的讀圖識圖能力與空間想象能力.

變式4 如圖6，某小區有一塊長為18米，寬為6米的矩形空地，計劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，它們的面積之和為60平方米，兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道．若設人行道的寬度相同，則人行道寬為多少米？

分析 設人行道的寬度為x米（0＜x＜3），應根據“兩塊相同矩形綠地的面積之和為60平方米”列方程求解，將兩塊矩形拼合后能形成一個新矩形，這個新矩形相對于原矩形來說，長減少了3x，寬減少了2x，根據矩形面積公式，列方程得（18-3x）（6-2x）=60，整理得（x-1）（x-8）=0．解得：x1=1，x2=8（不合題意，舍去）．故人行道的寬度是1米．

點評 此題中設置的人行道在問題的文字敘述中沒有交代，需要學生根據圖識觀察得到，這是與上面幾個變式不同之處，在解答時仍采用了整體處理法，即平移后拼合成矩形，根據矩形面積列方程求解.

3 結語

總之，圖形面積問題歷來是代數與幾何研究的重點，體現了數形結合的數學思想.它將一元二次方程、平移、面積計算與識圖綜合在一起，教師可以在學生的最近發展區開展變式探究，促使學生的思維向深度不斷漫溯，進而培養學生的核心數學素養.

【本文系貴州省銅仁市2023年基礎教育教學實驗課題“基于母題變式的初中數學參與式課堂教學實踐研究”（立項編號：2023sj190）研究成果】

參考文獻：

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