抓住不變條件，解決運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

【摘要】平面幾何運(yùn)動(dòng)類問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題，考查學(xué)生的平面幾何基礎(chǔ)知識(shí)以及常用數(shù)學(xué)思想.圖形在運(yùn)動(dòng)，但是問(wèn)題的結(jié)論是不變的，那么這樣的問(wèn)題解題思路應(yīng)該如何展開(kāi)呢？關(guān)鍵是要抓住運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的不變條件，據(jù)此出發(fā)尋找解題的視角.本文結(jié)合一道線段和大小問(wèn)題談處理此類問(wèn)題的幾種方法，以供讀者參考.

【關(guān)鍵詞】運(yùn)動(dòng)問(wèn)題；線段和；初中數(shù)學(xué)

例題展示

如圖1所示，在△ABC中，已知AB=AC，圓O是△ABC的外接圓，D是圓上的一點(diǎn)，AE⊥BD于點(diǎn)E，求證：BE=CD+DE.

解法展示

視角1 截長(zhǎng)補(bǔ)短

初中數(shù)學(xué)中有大量的定理證明兩條線段相等，但是證明一條線段等于另外兩條線段相加的定理則并不常見(jiàn)，因此可以通過(guò)“截長(zhǎng)補(bǔ)短”的方式將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題來(lái)解決.

解法1 補(bǔ)短

證明 如圖2所示，作AF⊥CD，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

因?yàn)閳AO是△ABC的外接圓，

所以∠ABD=∠ACD.

因?yàn)锳B=AC，∠AEB=∠F=90°，

所以△AEB≌△AFC.

在△AED和△AFD中BE=CFAE=AFAD=AD，

所以△AED≌△AFD，

則DE=DF.

所以BE=CF=CD+DF=CD+DE.

解法2 截長(zhǎng)

證明 如圖3所示，作AF∥BD，交圓O于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BD于點(diǎn)G，

所以AF=GE，DE=BG.

因?yàn)锳F∥BD，

所以弧AD與弧BF相等.

因?yàn)锳B=AC，

所以弧AB與弧AC相等，弧AF與弧DC相等.

所以AF=DC=GE，

故BE=BG+GE=CD+DE.

視角2 圖形變化

利用“AB=AC”和“∠ABD=∠ACD”這兩個(gè)等量關(guān)系，通過(guò)旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱等圖形變換的方式，將結(jié)論中的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而證明.

解法3 旋轉(zhuǎn)

證明 如圖4所示，在BE上截取EF=ED，連接AF，AD.

因?yàn)锳E⊥BD，

所以AF=AD，

故∠DAF+2∠ADF=180°.

因?yàn)锳B=AC，

所以∠BAC+2∠ACB=180°.

因?yàn)椤螦DF=∠ACB，

所以∠DAF=∠BAC，

故∠DAF+∠FAC=∠BAC+∠FAC，

即∠DAC=∠BAF.

因?yàn)锳F=AD，AB=AC，

所以△DAC≌△FAB，

故CD=BF，

所以BE=BF+FE=CD+DE.

解法4 對(duì)稱

證明 如圖5所示，延長(zhǎng)BD至點(diǎn)F，使EF=BE，連接AF，AD.

因?yàn)锳E⊥BD，

所以AE是BF的中垂線，即AB=AF，

故∠ABF=∠F=∠ACD.

因?yàn)锳B=AC，

所以∠ABC=∠ACB=∠ADB.

因?yàn)椤螦DF+∠ADB=180°，∠ADC+∠ABC=180°，

所以∠ADF=∠ADC.

所以△ADF≌△ADC，

則CD=DF，

故BE=EF=DF+DE=CD+DE.

視角3 利用托勒密定理

“點(diǎn)D是圓上的一點(diǎn)”說(shuō)明這是一個(gè)共圓問(wèn)題，所以可以聯(lián)想到用四點(diǎn)共圓的常用定理——托勒密定理來(lái)解決.

解法5 如圖6所示，連接AD，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H.

因?yàn)椤螦CB=∠ADE，AE⊥BD，

所以△AHC∽△AED，

故ACAD=CHDE=12BCDE，

所以BCAC·AD=2DE.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是圓O的內(nèi)接四邊形，

由托勒密定理得BD·AC=CD·AB+BC·AD，

所以BD=CD+2DE.

因?yàn)锽D=BE+DE，

所以BE=CD+DE.

結(jié)語(yǔ)

幾何證明思路的來(lái)源主要有兩種：一是結(jié)論的倒推分析，二是從條件正向分析.從結(jié)論找解題思路目的性更加明確，但是對(duì)學(xué)生的推理能力要求較高；從條件出發(fā)尋找思路對(duì)推理要求較低，但是有一定的盲目性，需要熟悉各種基本圖形.“截長(zhǎng)補(bǔ)短”需要注意添加輔助線的語(yǔ)言，運(yùn)用相關(guān)的幾何定理時(shí)也要注意使用的幾何條件.運(yùn)動(dòng)型的圖形必然有參考點(diǎn)，把動(dòng)點(diǎn)和參考點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)，利用好運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不變的等量關(guān)系.

參考文獻(xiàn)：

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