相似三角形在初中數學中的綜合應用與實踐探索

【摘要】本文深入探討相似三角形在中考平面幾何習題中的綜合應用，細致分析不同的解題策略，并基于實踐探索分享寶貴的教學和學習經驗.通過對相似三角形在中考環境下的綜合運用研究，旨在為學生和教師提供更具針對性和實效性的解題方法與策略，進一步提升學生的解題能力和數學素養.

【關鍵詞】 初中數學；相似三角形；解題方法

相似三角形是平面幾何中的一個核心概念，涉及圖形的相似性、角度相等、邊長比例等關鍵要素.在中考數學中，對數學相關相似綜合題的考查，不僅僅局限于對基礎知識的檢驗，而是更加注重對學生靈活運用知識、解決實際問題的能力的評估.本文選取了不同類型的相似三角形習題進行剖析，幫助學生更好地理解相似三角形的應用與實踐.

1 跨學科應用題

中考相似綜合題還可能涉及跨學科的知識整合，將數學與其他學科（如物理、化學、生物等）相結合，通過創設實際問題情境，考查學生能否將數學知識應用到實際生活中.這類題目要求學生具備解決實際問題的能力，能夠運用數學知識進行建模、分析和計算.

例1 約在兩千五百年前，如圖1，墨子和他的學生做了世界上第一個小孔成倒像的實驗，并在《墨經》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，與景長，說在端．”如圖2所示的小孔成像實驗中，若物距為10cm，像距為15cm，蠟燭火焰倒立的像的高度是6cm，則蠟燭火焰的高度是（ ）

（A）4cm. （B）4.5cm. （C）5cm. （D）5.5cm.

解析 根據小孔成像的性質及相似三角形的性質可得：蠟燭火焰的高度與火焰的像的高度的比值等于物距與像距的比值，設蠟燭火焰的高度為xcm，則x6=1015，解得x=4，即蠟燭火焰的高度為4cm．故選（A）．

2 多知識點綜合型

例2 如圖3，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，F是AD延長線上一點，連接CD，CF，且∠DCF=∠CAD．

（1）求證：CF是⊙O的切線；

（2）若AD=10，cosB=35，求FD的長．

解析 （1）證明：如圖4連接OC.

因為AD是⊙O的直徑，

所以∠ACD=90°，

所以∠ADC+∠CAD=90°，

又因為OC=OD，

所以∠ADC=∠OCD.

因為∠DCF=∠CAD．

所以∠DCF+∠OCD=90°，

即OC⊥FC，所以FC是⊙O的切線.

（2）因為∠B=∠ADC，cosB=35，

所以cos∠ADC=35.

在Rt△ACD中，因為cos∠ADC=35=CDAD，AD=10，

所以CD=AD·cos∠ADC=10×35=6，

所以AC=AD2－CD2=8，

所以CDAC=34.

因為∠FCD=∠FAC，∠F=∠F，

所以△FCD∽△FAC，

所以CDAC=FCFA=FDFC=34.

設FD=3x，

則FC=4x，AF=3x+10，

又因為FC2=FD·FA，

即（4x）2=3x（3x+10），

解得x=307（取正值），

所以FD=3x=907．

3 不確定型

例3 如圖5，Rt△ABC的兩條直角邊AB=4cm，AC=3cm，點D沿AB從A向B運動，速度是1cm/秒，同時點E沿BC從B向C運動，速度為2cm/秒．動點E到達點C時運動終止．連接DE，CD，AE．當動點運動時間t= 秒時，△BDE與△ABC相似．

解析 設經過運動時間為t秒時，△BDE與△ABC相似．

則AD=tcm，BD=（4－t）cm，

BE=2tcm，

CE=（5－2t）cm，0≥t≥52；

①當∠EDB=90°，即ED⊥AB時，

因為∠B=∠B∠EDB=∠CAB=90°，

所以 Rt△BDE∽Rt△ABC，

所以 BDBA=BEBC，即4－t4=2t5，

所以 t=2013．

②當∠DEB=90°，即DE⊥BC時，

因為∠B=∠B∠DEB=∠CAB=90°，

所以 Rt△BDE∽Rt△ABC，

所以BDBC=BEBA，即4－t5=2t4，

所以 t=87．

因為t=2013和t=87都符合0≥t≥52，

所以當動點運動2013秒或87秒時，△BDE與△ABC相似．

故答案為：2013或87．

4 結語

本文詳細剖析了跨學科綜合題型、多知識綜合型以及不確定型問題等題型，為初中學生數學學習提供了寶貴的解題技巧和全新視角.希望通過這些方法和策略，能幫助教師更精準地指導學生，提升學生的解題能力，激發他們的創新思維.