借助不同原型建構數學模型

摘 要：以蘇教版小學數學四年級下冊“乘法分配律”一課為例，借助面積模型，幫助學生建立乘法分配律模型；借助生活模型，幫助學生理解乘法分配律模型；借助鞏固練習，幫助學生拓展乘法分配律變式，促使學生全面地掌握應用乘法分配律進行簡便計算的方法。

關鍵詞：小學數學；乘法分配律；數學模型

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1009-010X（2024）28-0025-03

乘法分配律是小學數學運算定律教學中難點之一，主要是由于乘法分配律涉及到乘法和加法兩級運算，而且乘法分配律的變式多樣，導致學生很難識得乘法分配律的基礎模型。在小學階段應用乘法分配律進行簡便計算的算式主要有兩種：一種是一個數乘兩個數的和（或可以轉化為一個數乘兩個數的和），可以直接應用乘法分配律算出結果；另一種是求兩積之和算式的兩個積中有一個乘數相同，可以逆向應用乘法分配律算出結果。

為了幫助學生更好地建立乘法分配律的數學模型，我們在教學蘇教版四年級第六單元“乘法分配律”一課時，先結合具體的生活情境引出乘法分配律的模型，再讓學生通過具體的數字代入計算，驗證乘法分配律的普適性，最后通過“教師”和“學生”打招呼的生活模型理解變式的乘法分配律模型，從而促使學生全面地掌握應用乘法分配律進行簡便計算的方法。

一、借助面積模型，建立乘法分配律模型

通常我們在教學乘法分配律時是通過生活中的實際問題，在大量具體的算式中抽象出乘法分配律的字母表達式，并用不完全驗證法和舉反例等方式證明乘法分配律是正確的。而在這節數學課中，我們反其道而行之，先通過含有字母的面積問題引導學生用含有字母的表達式表示出兩部分的面積之和，然后用具體的數字代入，再次說明乘法分配律的字母表達式是正確的。

師：同學們，我們先來做幾道簡單的口算練習（出示口算題：25×4，125×8，4+6，13×4）。恭喜大家都答對了，老師想問下13×4你是怎么計算的？

生1：我把13拆分乘10和3，先用3乘4等于12，10乘4等于40，再12加40等于52。

師：大家的計算能力真棒，這節數學課我們一起走進美麗的校園，用數學的眼光來看校園里的一景一物，這是學校教學區和辦公區的平面圖，從圖中你獲得了哪些數學信息？

生2：教學樓的長是a，寬是c，辦公區的長是c，寬是b。

師：根據這些數學信息，你能提出哪些數學問題？

生2：教學區的面積是多少？辦公區的面積是多少？教學區和辦公區的面積一共是多少？教學區的面積比辦公區的面積多多少……

師：這位同學一口氣提出了四個數學問題，你會計算教學區的面積嗎？

生3：教學區的面積是長乘寬，也就是a×c。

師：你會計算辦公區的面積嗎？

生3：辦公區的面積是長乘寬，也就是b×c。

師：那你能計算教學區和辦公區的面積一共是多少嗎？

（有的學生說是教學區的面積加辦公區的面積，所以一共的面積是a×c+b×c；有的學生說是整個長方形的長是（a+b），寬是c，所以一共的面積是（a+b）×c。）

師：這兩種方法都正確嗎？既然這兩種方法都正確，就變成a×c+b×c=（a+b）×c，到底這兩個等式有沒有相等呢？趕緊用具體的數字代入算一算。

生4：比如a=8，b=2，c=6，a×c+b×c=8×6+2×6=60，（a+b）×c=（8+2）×6=60。

在這個教學片段中，教師由簡單口算入手，過渡到兩位數乘一位數的口算，讓學生初步感受到乘法分配律在口算中的應用。再讓學生結合面積問題中的數量關系進行思考，在計算教學區和辦公區的面積時，整理出乘法分配律的字母表達式。這兩種方法在數學本質上是一致的，為學生建立乘法分配律的模型、感受乘法分配律的模型提供了豐富的素材。

二、借助生活模型，理解乘法分配律模型

為了幫助學生進一步理解乘法分配律的模型，教師巧妙地利用生活中的打招呼模型，不僅體現出乘法分配律的正向和逆向的應用，還滲透了師生之間要互相尊重的道理。在課堂上，教師和學生相互扮演不同的角色，既活躍了課堂氛圍，又促進了學生對乘法分配律模型的理解。

師：同學們，a×c+b×c=（a+b）×c，現在這個等號是成立了。兩個數的和與一個數相乘，可以先把它們分別與這個數相乘，再相加，這個叫做乘法對加法的分配律，簡稱乘法分配律。這里與加法交換律、乘法交換律、加法結合律、乘法結合律最大的區別是有兩級運算。學到這里，其實在生活中也有乘法分配律，比如每天學生和教師見面，我們總要打招呼吧。a同學和b同學走進教室遇到了c教師，a同學要和c教師打招呼，b同學也要和c教師打招呼，這時c教師與a同學和b同學都打招呼。

師：我們請兩位同學來扮演a同學和b同學，演一演剛才的過程。

（師生共同表演，當a同學和c教師打招呼時，全班同學說“a×c”；當b同學和c教師打招呼時，全班同學說“b×c”；當c教師與a同學和b同學都打招呼時，全班同學說“（a+b）×c”。）

師：同學們和教師打招呼，教師也要和每個同學都打招呼，這樣才體現了師生互相尊重。（師生第二次表演，a同學和c教師打招呼，b同學和c教師打招呼時，這時c教師與b同學打招呼。）有什么問題了？

生：c教師沒有和a同學打招呼，不公平了。

師：是的，在生活中師生要相互尊重，不能忘記和b同學打招呼，在數學中更不能犯這樣的錯誤。

出示（9+6）×5=9+6×5。

師：看，5號教師與9號同學和6號同學都打招呼了，可是6號同學和5號教師打招呼了，9號同學怎么了？

生：9號同學沒有和5號教師打招呼，太沒禮貌了。

師：是的，那要怎么改呢？

生：讓9號同學和5號教師打招呼，（9+6）×5=9×5+6×5。

在這個教學片段中，教師通過正確的角色扮演，告知學生乘法分配律的正確形式，促進學生對乘法分配律正向和逆向應用的理解和認識。同時，教師也呈現了錯誤的角色扮演，引導學生去發現乘法分配律的錯誤應用，加深學生對乘法分配律模型的印象，可以減少學生在練習中出現錯誤。

三、借助鞏固練習，拓展乘法分配律變式

數學鞏固練習是通過對數學知識、技能和方法的反復練習和應用，鞏固和加深學生對數學概念、原理和運算規則的理解和記憶的練習。鞏固練習是每一節數學課中不可缺少的環節，不僅可以幫助學生及時消化本節課中的數學知識，做到每節數學課當堂清，還可以借助拓展題促進學生數學思維的發展，為以后的數學學習奠定基礎。

師：同學們，現在我們知道了乘法分配律，其實我們在二、三年級時已經在用了，只不過那時候不知道這叫乘法分配律。接下來我們來用一用，請你根據乘法分配律把等式填完整。（出示（42+35）×2=□×□+□×□）想一想這里怎么填空？

生：2是“教師”，42和35是“學生”，每個學生都要和教師打招呼，所以（42+35）×2=42×2+35×2。

師：（出示15×26+15×14=□×（□+□））同學們，我們找一找這個式子里的“學生”和“教師”分別是誰？

生：15是“教師”，26和14是“學生”，教師要和每個學生打招呼，所以15×26+15×14=15×（26+14）。

師：（出示72×（30+6）=□×□+□×□）這一題的“學生”和“教師”分別是誰？

生：72是“教師”，30和6是“學生”，每個學生都要和教師打招呼，所以72×（30+6）=72×6+72×30。

師：看來這幾題難不倒大家，現在用你的火眼金睛來判斷等式的左右兩邊是否相等，如果得數相等就用“√”的手勢，如果得數不相等就用“×”的手勢。（出示74×（20+1）=74×20+74）對還是錯？

生1：錯。這里74是“教師”，20和1是“學生”，教師沒有和每個學生打招呼，應該是74×（20+1）=74×20+74×1。

生2：不對啊，教師和每個學生都打招呼了，只不過這里省略了乘1。

師：是的，當乘1的時候，我們可以省略。（出示37×（3×7）=37×3+37×7）對還是錯？

生：錯，37×（3×7）只有一級運算，37×3+37×7這里有兩級運算，應該改成37×（3+7）=37×3+37×7。

師：你們真是太厲害啦！剛才教師是跟兩個學生在打招呼，如果教師要和四個學生打招呼，這個等式變成怎樣了？

生：我們看成a教師，b、c、d、e學生，每個學生都和s教師打招呼就是a×b+a×c+a×d+a×e，a教師和學生們打招呼就是a×（b+c+d+e）……

在這個教學片段中，第一個練習題是以填空題的方式引導學生掌握乘法分配律的正向和逆向應用。第二個練習題是以判斷題的方式引導學生綜合地判斷乘法結合律與乘法分配律的表現形式。第三個練習題是以問答題的方式拓展到多個加數的乘法分配律的運用。

總之，教師要充分了解學生的學情基礎和教材的編排邏輯，在教研活動中精心研究如何突破學生的學習難點和重點，巧妙地設計有趣味的數學活動和鞏固練習，并在平時的數學課堂不斷嘗試與改進，讓數學課堂變得既高效又能深受學生的喜歡，才能提高學生的學業質量水平。