含參數(shù)不確定及時(shí)滯的線性系統(tǒng)自適應(yīng)模型預(yù)測(cè)控制

摘要： 探討了一類(lèi)含參數(shù)不確定和輸入延遲的約束多輸入多輸出線性系統(tǒng)的自適應(yīng)模型預(yù)測(cè)控制問(wèn)題。提出了一種基于時(shí)變更新率的自適應(yīng)更新律，實(shí)現(xiàn)了在輸入延遲的情況下更新估計(jì)系統(tǒng)的不確定參數(shù)。為了處理約束，將優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)換為源自于min-max優(yōu)化可解的簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)。此外，從理論上證明了閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性，并證明了提出的自適應(yīng)模型預(yù)測(cè)控制策略是遞歸可行的。最后，數(shù)值模擬驗(yàn)證了所提方法的有效性。

關(guān)鍵詞： 自適應(yīng)模型預(yù)測(cè)控制；輸入延遲；參數(shù)不確定性；離散時(shí)間系統(tǒng)

中圖分類(lèi)號(hào)： O231；TP273文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A

Adaptive Model Predictive Control for Linear Systems with Parametric Uncertainties and Time Delay

KONG Lingren QI Qingyuan2

（1.Institute of Complexity Science， Qingdao University， Qingdao 26607 China; 2. Qingdao Innovation and Development Center， Harbin Engineering University， Qingdao 266000， China）

Abstract：This paper investigates the adaptive model predictive control （MPC） for a class of constrained linear multiple-input multiple-output （MIMO） systems with parametric uncertainty and input delay. An adaptive update law based on time-varying updating rate is proposed， which enables the update of uncertain parameters in the presence of input delay. Consequently， to deal with the constraints， we convert the optimization problem into a solvable simple structure， which originates from the min-max optimization. Furthermore， theoretically， it is shown that the closed-loop system is asymptotically stable and the proposed adaptive MPC strategy is proved to be recursively feasible. Finally， numerical simulation is given to illustrate the efficacy of the proposed method.

Keywords： adaptive model predictive control; input delay; parametric uncertainty; discrete-time system

0 引言

模型預(yù)測(cè)控制（MPC）憑借其優(yōu)異的性能和對(duì)約束的處理成為過(guò)程控制中一種高效的控制策略之一［12］。MPC技術(shù)的核心是通過(guò)解決有限時(shí)域優(yōu)化問(wèn)題來(lái)獲得一系列最優(yōu)的控制動(dòng)作。值得注意的是，MPC模型的準(zhǔn)確性可能會(huì)限制預(yù)測(cè)系統(tǒng)的性能［3］。事實(shí)上，系統(tǒng)中的不確定性很常見(jiàn)，它可能來(lái)自于多個(gè)因素，如模型參數(shù)的不確定性和輸入延遲等。例如，在機(jī)器人控制［4］和化工控制［5］等高精度應(yīng)用中，由測(cè)量誤差、傳感器限制和其他因素引起的模型參數(shù)不確定性會(huì)顯著影響系統(tǒng)的性能表現(xiàn)和穩(wěn)定性。此外，在飛行器控制［6］等實(shí)時(shí)響應(yīng)的應(yīng)用中，由傳感器延遲、信號(hào)傳輸延遲和執(zhí)行器延遲等引起的輸入延遲可能會(huì)影響系統(tǒng)的安全性。

為了解決系統(tǒng)中存在的參數(shù)不確定性和輸入延遲所帶來(lái)的控制問(wèn)題，一種高效的解決方案是自適應(yīng)模型預(yù)測(cè)控制（Adaptive MPC）。近年來(lái)Adaptive MPC引起了廣泛的關(guān)注，它考慮了參數(shù)不確定性，并把在線模型更新與傳統(tǒng)的MPC控制器相結(jié)合，以在提高控制性能的同時(shí)滿(mǎn)足約束條件。針對(duì)系統(tǒng)存在輸入延遲的情況，可以用系統(tǒng)模型擴(kuò)維來(lái)表示輸入延遲的作用，從而分析和設(shè)計(jì)同時(shí)具有輸入延遲和參數(shù)不確定的控制系統(tǒng)。對(duì)于Adaptive MPC現(xiàn)有的結(jié)論可分為不同的參數(shù)識(shí)別策略，包括但不限于最小二乘法［78］，集合成員識(shí)別［913］，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［1415］和自適應(yīng)更新律［1620］等。具體而言，文獻(xiàn)［8］提出了一種參數(shù)估計(jì)策略，利用遞歸最小二乘算法同時(shí)進(jìn)行參數(shù)識(shí)別和不確定性集合估計(jì)。文獻(xiàn)［15］中提出的控制策略包括模型識(shí)別部分和預(yù)測(cè)部分，其中不確定參數(shù)在模型識(shí)別部分中通過(guò)具有特定結(jié)構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行逼近。此外，文獻(xiàn)［16］中引入了一種基于梯度下降的自適應(yīng)更新定律，用于具有參數(shù)不確定性的無(wú)約束系統(tǒng)，其中未來(lái)狀態(tài)的預(yù)測(cè)取決于對(duì)實(shí)際不確定系統(tǒng)的估計(jì)模型，這種方法的計(jì)算量相對(duì)于使用集合識(shí)別方法的策略［913］來(lái)說(shuō)相對(duì)較小。在［16］的工作基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)［17］提出了一種針對(duì)有參數(shù)不確定的約束系統(tǒng)的自適應(yīng)模型預(yù)測(cè)控制策略，該策略針對(duì)具有特定模型結(jié)構(gòu)的單輸入離散時(shí)間線性系統(tǒng)。值得注意的是，在文獻(xiàn)［20］中采用了一種自適應(yīng)更新定律來(lái)更新有約束系統(tǒng)的不確定參數(shù)，同時(shí)考慮估計(jì)的參數(shù)集和系統(tǒng)約束條件，并利用min-max方法來(lái)優(yōu)化問(wèn)題，保證了遞歸可行性和閉環(huán)穩(wěn)定性。

前面提到的文獻(xiàn)［1620］已經(jīng)采用Adaptive MPC來(lái)解決具有或不具有約束的參數(shù)不確定系統(tǒng)控制問(wèn)題，但是關(guān)于同時(shí)具有輸入延遲和模型不確定性系統(tǒng)的Adaptive MPC研究相對(duì)較少。實(shí)際上，常數(shù)時(shí)間輸入延遲的情況經(jīng)常發(fā)生，因此不能忽視該問(wèn)題。本文列出了具有參數(shù)不確定性和輸入延遲的約束優(yōu)化問(wèn)題所面臨的技術(shù)困難。首先，由于計(jì)算復(fù)雜度很高，min-max優(yōu)化的實(shí)現(xiàn)可能會(huì)非常困難。其次，在約束MPC中，由于最大誤差上界的不確定性，導(dǎo)致很難保證閉環(huán)可行性和穩(wěn)定性。最后，怎樣以簡(jiǎn)單且高效的方式補(bǔ)償輸入延遲并與Adaptive MPC相結(jié)合，這是一個(gè)難點(diǎn)。

本文提出了一種自適應(yīng)MPC策略，適用于具有常數(shù)參數(shù)不確定性和輸入延遲的約束線性系統(tǒng)。通過(guò)引入基于時(shí)間變化的自適應(yīng)更新律，本文的方法能夠在輸入延遲的情況下更新系統(tǒng)的估計(jì)參數(shù)，并證明了參數(shù)估計(jì)誤差是有界的且狀態(tài)估計(jì)誤差是漸近穩(wěn)定的。此外，提出的源于min-max優(yōu)化的Adaptive MPC策略可以處理約束并獲得數(shù)值解。最后，本文的方法能夠通過(guò)一種擴(kuò)維表示的系統(tǒng)模型來(lái)補(bǔ)償輸入延遲，同時(shí)保持遞歸可行性和閉環(huán)穩(wěn)定性。本文提出的Adaptive MPC框圖，如圖1所示。

本文的貢獻(xiàn)分為兩點(diǎn)：1）本文不僅僅是文獻(xiàn)［16］，［17］和［20］的擴(kuò)展，本文考慮了輸入延遲對(duì)約束不確定系統(tǒng)的影響。2）本文引入了一種基于時(shí)變更新率的自適應(yīng)更新律，它可以更新輸入延遲系統(tǒng)的估計(jì)參數(shù)，并且證明了參數(shù)估計(jì)誤差有界且狀態(tài)估計(jì)誤差是漸近穩(wěn)定。

1 主要內(nèi)容

1.1 問(wèn)題闡述

考慮以下具有參數(shù)不確定和輸入延遲的離散時(shí)間線性系統(tǒng)

xp（k+1）=Apxp（k）+Bpu（k-d）（1）

其中，xp（k）∈Rn為狀態(tài)，up（k-d）∈Rm為控制輸入；Ap∈Rn×n和Bp∈Rn×m為不確定性的系統(tǒng)矩陣；d∈N為已知的固定整數(shù)時(shí)間延遲。狀態(tài)xp和控制輸入u滿(mǎn)足約束（2）：

xp∈u∈u-（2）

其中，狀態(tài)約束x-∈Rn和控制約束u-∈Rm為凸集。設(shè)計(jì)關(guān)于系統(tǒng)（1）的目標(biāo)函數(shù)為

J（k）=∑Npi=1‖xp（k+i|k）‖2Qp+‖u（k-d+i-1|k）‖2Rp（3）

其中，Np為控制時(shí)域，Qp和Rp為適應(yīng)維數(shù)的懲罰矩陣。

由于輸入延遲的存在，系統(tǒng)的行為會(huì)受到前幾個(gè)時(shí)間步的影響，使系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性變得更加復(fù)雜。為了更準(zhǔn)確地描述系統(tǒng)（1）的行為，需要考慮歷史的輸入數(shù)據(jù)對(duì)系統(tǒng)的影響。因此，狀態(tài)變量擴(kuò)維是一種常用的方法，它引入了歷史的控制輸入數(shù)據(jù)，從而更準(zhǔn)確地描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。擴(kuò)維系統(tǒng)模型為

x（k+1）=Ax（k）+Bu（k）（4）

其中，x（k）∈Rm×d+n為擴(kuò)維的狀態(tài)向量，A∈R（md+n）×（md+n）和B∈R（md+n）×m為擴(kuò)維的系統(tǒng)矩陣，具體形式為

x（k）T=［u（k-1）T，u（k-2）T，…，u（k-d）T，xp（k）T］T

A=00…000I0…0000I…000…00…I0000…0BpAp， B=I0000

為了對(duì)擴(kuò)維系統(tǒng)（4）中的控制輸入性能進(jìn)行限制和優(yōu)化，目標(biāo)函數(shù)（3）可以被式（5）的目標(biāo)函數(shù)所代替

J（k）=∑Npi=1‖x（k+i|k）‖2Qc+‖u（k+i-1|k）‖2Rc（5）

其中，Qc=diag（0，…，0，Qp），Rc=Rp。

目標(biāo)：設(shè)計(jì)一種含輸入延遲和不確定性參數(shù)系統(tǒng)的Adaptive MPC策略，在每一個(gè)時(shí)刻解決有限時(shí)域優(yōu)化問(wèn)題，并在滿(mǎn)足約束（2）的條件下得到最優(yōu)控制序列U（k）*。優(yōu)化表述如下：

U（k）*=arg minu∈u- J（x（k），u（k））（6）

s.t.

x（k+i|k）=Ax（k+i-1|k）+Bu（k+i-1|k）（7）

x（k+i|k）∈， u（k+i-1|k）∈u-（8）

x（k+Np|k）=0

在優(yōu)化（6）中，已經(jīng)用一種擴(kuò)維系統(tǒng)模型（4）來(lái)表示輸入延遲對(duì)系統(tǒng)帶來(lái)的影響。但系統(tǒng)（4）中的矩陣A包含不確定參數(shù)Ap和Bp，導(dǎo)致求解以上優(yōu)化問(wèn)題并滿(mǎn)足約束（2）非常困難。因此，需要考慮處理不確定性參數(shù)A并設(shè)計(jì)相應(yīng)的優(yōu)化算法來(lái)求解優(yōu)化問(wèn)題。

假設(shè)1 1）在每個(gè)采樣時(shí)刻k，過(guò)去的控制輸入是已知的，且當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)xp（k）是可測(cè)量的；2）控制時(shí)域與預(yù)測(cè)時(shí)域相等；3）輸入延遲步長(zhǎng)d遠(yuǎn)小于控制時(shí)域Np；4）Qp和Rp是對(duì)稱(chēng)的且Qp≥0，Rp>0。

1.2 估計(jì)系統(tǒng)設(shè)計(jì)

系統(tǒng)（4）的估計(jì)系統(tǒng)可以設(shè)計(jì)為

（k+1）=（k）x（k）+Bu（k）（9）

其中，和分別為系統(tǒng)矩陣A和狀態(tài)x的估計(jì)值。設(shè)置狀態(tài)x的誤差為=x-，那么在k+1時(shí)刻，狀態(tài)估計(jì)誤差為

（k+1）=（k）x（k）（10）

其中，（k）=A-（k）為系統(tǒng)矩陣A的估計(jì)誤差。系統(tǒng)狀態(tài)x（k）簡(jiǎn)化為Θ（k）=［up（k-d）Txp（k）T］T，相應(yīng)地可以得到：

p（k+1）=（k）Θ（k）（11）

其中，（k）∈Rn×n+m為參數(shù)估計(jì)誤差。（k），a和（k）為

（k）=a-（k）（12）

a=［Bp Ap］（13）

（k）=［p（k） p（k）］（14）

1.3 自適應(yīng)更新率

本節(jié)的目標(biāo)是設(shè)計(jì)一種自適應(yīng)更新律，它可以使參數(shù)估計(jì)誤差有界并且狀態(tài)估計(jì)誤差p漸近穩(wěn)定。因此，定義一種關(guān)于狀態(tài)估計(jì)誤差的目標(biāo)函數(shù)為

Ja（（k））=p（k+1）Tp（k+1）=[aΘ（k）-（k）Θ（k）]T[aΘ（k）-（k）Θ（k）]（15）

相對(duì)于Ja的梯度可以通過(guò)式（16）獲得：

ΔJa（（k））=-2p（k+1）Θ（k）T（16）

接下來(lái)介紹一種用于優(yōu)化模型參數(shù)自適應(yīng)更新律，以使目標(biāo)函數(shù)（15）最小化。

（k+1）=（k）-λ（k）ΔJa（）=（k）+2λ（k）p（k+1）Θ（k）T（17）

其中，λ（k）>0為時(shí)變的更新率，可以通過(guò)方程（18）獲取λ（k）

λ（k）=arg minλ（k） Ja（（k）+2λ（k）p（k+1）Θ（k）T）（18）

進(jìn)一步

Ja（（k）+2λ（k）p（k+1）Θ（k）T）λ（k）=-4p（k+1）Θ（k）TΘ（k）p（k+1）T+8λ（k）p（k+1）Θ（k）TΘ（k）Θ（k）TΘ（k）p（k+1）T=0

得到

λ（k）=12Θ（k）TΘ（k）（19）

公式（19）帶入（17），可以得到具有時(shí)變更新率的自適應(yīng)更新律：

（k+1）=（k）+1Θ（k）TΘ（k）p（k+1）Θ（k）T（20）

對(duì)于自適應(yīng)更新律（20），p（k+1）在k+1時(shí)刻是可以被獲取的。它可以通過(guò)計(jì)算（k+1）=xp（k+1）-（k）Θ（k）得到，其中xp（k+1）是在k+1時(shí)刻量測(cè)的系統(tǒng)狀態(tài)。

引理1 考慮到帶有輸入延遲和參數(shù)不確定的系統(tǒng)（4），如果存在一個(gè)確定性的常數(shù)β>0，使得Θ（k）TΘ（k）≤β。對(duì)于自適應(yīng)更新定律（6），這兩個(gè)陳述成立：1）參數(shù)估計(jì)誤差是最終有界的；2）狀態(tài)估計(jì)誤差p是漸近穩(wěn)定的。

證明：選擇李雅普諾夫函數(shù)Vp（k）=tr（（k）T（k）），其中tr表示為的跡。可以得到

Vp（k+1）=tr（（k+1）T（k+1））=tr［（a-（k+1））T（a-（k+1））］=tr［aTa-2aT（k+1）+（k+1）T（k+1）］（21）

對(duì)方程（21）的最后兩項(xiàng)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，第2項(xiàng)可以改寫(xiě)為

tr（-2aT（k+1））=tr［-2aT（k+1）］=tr［-2aT（（k）-λ（k）ΔJa（））］=tr［-2aT（k）+2λ（k）aTΔJa（））］（22）

第3項(xiàng)可以改寫(xiě)為

tr（（k+1）T（k+1））=tr［（（k）-λΔJa（））T（（k）-λ（k）ΔJa（））］=tr［（k）T（k）-2λ（k）（k）TΔJa（）+λ（k）2ΔJa（）TΔJa（）］（23）

將（22）和（23）帶入（21）得到：

Vp（k+1）=Vp（k）+tr［2λ（k）a（k）TΔJa（）+λ2（k）Ja（）TΔJa（）］（24）

其中，（24）最后一項(xiàng)可以展開(kāi)為

tr［2λa（k）ΔJa（）+λ2Ja（）TΔJa（）］ =tr［-4λ（k）a（k）Tp（k+1）Θ（k）T+4λ2（k）Θ（k）p（k+1）Tn（k+1）Θ（k）T］=tr［-4λ（k）p（k+1）Tp（k+1）+4λ（k）2Θ（k）TΘ（k）p（k+1）Tp（k+1）］=tr［-2Θ（k）TΘ（k）p（k+1）Tp（k+1）+1Θ（k）TΘ（k）p（k+1）Tp（k+1）］≤-1βp（k+1）Tp（k+1）（25）

然后，式（25）可以重新表述為

Vp（k+1）-Vp（k）≤-1βp（k+1）Tp（k+1）（26）

基于式（26），可以得出Vp（k）是遞減的。因此，參數(shù)估計(jì)誤差a（k）是有界的，1）得證。基于式（26）還可推導(dǎo)出：

Vp（k+1）-Vp（0）≤-1β∑k+1i=1p（i）Tp（i）（27）

進(jìn)一步

1β∑+SymboleB@i=1p（i）Tp（i）≤Vp（0）-limx→SymboleB@Vp（k）（28）

其中，式（28）表明1β∑+SymboleB@i=1p（i）Tp（i）是有上界的，因此，狀態(tài)估計(jì)誤差p是漸近穩(wěn)定的，2）得證。

1.4 估計(jì)系統(tǒng)的Adaptive MPC設(shè)計(jì)

本文提出一種為估計(jì)系統(tǒng)（9）設(shè)計(jì)的Adaptive MPC策略，該策略結(jié)合了自適應(yīng)更新定律（20）。設(shè)定（k+i|k）表示從時(shí)間k往后i步的預(yù)測(cè)狀態(tài)，其中i=，…，Np。因此估計(jì)系統(tǒng)（9）的預(yù)測(cè)方程為

（k+i|k）=i（k）（k|k）+∑i-1j=0i-j-1（k）Bu（k+j|k）（29）

預(yù)測(cè)方程（29）可以表示為

（k）=（k）x（k）+（k）U（k）（30）

其中，

（k）=［（k+1|k），（k+2|k），…，（k+Np|k）］T

U（k）=［u（k|k），u（k+1|k），…，u（k+Np-1|k）］T

（k）=（k）2（k）Np（k）， （k）=B0…0（k）BB…0…Np-1（k）BNp-2（k）B…B

目標(biāo)函數(shù)可以通過(guò)式（31）計(jì)算

J（k）=X（k）TQX（k）+U（k）TRU（k）=（k）TQ（k）+X（k）TQX（k）+2X（k）TQ（k）+U（k）TRU（k）≤2（k）TQ（k）+2X（k）TQX（k）+U（k）TRU（k）（31）

基于式（31），定義目標(biāo)函數(shù)（k）：

（k）=2（k）TQ（k）+2X（k）TQX（k）+U（k）TRU（k）（32）

同樣，可得到擴(kuò)維系統(tǒng)（4）的預(yù)測(cè)方程：

x（k+i|k）=i（k）x（k）+∑i-1j=0i-j-1（k）Bu（k+j|k）+i-j-1（k）w（k+j|k）（33）

其中，w（k）=（k）x（k）是以擾動(dòng)形式表示的參數(shù)不確定性誤差。預(yù)測(cè)方程（33）可寫(xiě)成：

X（k）=（k）x（k）+（k）U（k）+（k）W（k）（34）

其中，

X（k）=［x（k+1|k），x（k+2|k），…，x（k+Np|k）］T

W（k）=［w（k|k），w（k+1|k），…，w（k+Np-1|k）］T

（k）=I0…0（k）II…0…Np-1（k）INp-2（k）I…I

基于（29）和（33），可得到

（k+i|k）=Ai（k）（k|k）+∑i-1j=0Ai-j-1（k）（k）（k+j|k）（35）

式（35）可重述為

X（k）=M（k|k）+Ω（k）（k）=Ω（k）（k）（36）

其中，

M=［A，A2，…，ANc］T， （k|k）=x（k|k）-（k|k）=0

Ω（k）=（k）0…0AA（k）（k）…0…ANp-1（k）（k）ANp-2（k）（k）…（k）

將（36）代入（32），得到：

（k）=2（k）T（Q+Ω（k）TQΩ（k））（k）+U（k）TRU（k）（37）

其中，根據(jù)引理1中參數(shù)估計(jì)誤差a是有界的，可以得到Ω（k）是有界的。因此，定義Ω（k）的邊界為Ω-≤Ω（k）≤。然后定義新的目標(biāo)函數(shù)Jupper（k）：

upper（k）=（k）T2（Q+（k）TQ（k））（k）+U（k）TRU（k）（38）

狀態(tài)和控制約束（2）可重述為

X（k）∈U（k）∈（39）

最后，優(yōu)化：

U*（k）=arg minU（k）upper（x（k），U（k））（40）

s.t.

（k）=（k）x（k）+（k）U（k）（41）

（k）+（k）∈（42）

X（k）∈（43）

U（k）∈（44）

（k+Np|k）=0（45）

本文提出的Adaptive MPC策略的詳細(xì)流程如算法1所示。

算法1

Input：初始狀態(tài)（0）=x（0），初始估計(jì)矩陣（0），控制和預(yù)測(cè)時(shí)域Np，懲罰矩陣，R和P。

1 for k=0，，… do

2 通過(guò)優(yōu)化（40），計(jì)算 u（k）=［ 0，…，0］U*（k），并把控制u（k）作用到系統(tǒng)。

3 量測(cè)實(shí)際不確定系統(tǒng)的狀態(tài) x（k+1）。

4 計(jì)算估計(jì)系統(tǒng)（9）的估計(jì)狀態(tài) （k+1）。

5 使用自適應(yīng)更新律（20）更新估計(jì)系統(tǒng)（9）中的（k+1），其中p（k+1）可由p（k+1）=xp（k+1）-（k）Θ（k）獲取。

6 設(shè)定（k+1）=x（k+1）。

7 end for

2 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

估計(jì)系統(tǒng)（9）的預(yù)測(cè)方程（29）可重新表述為

（k+i+1|k）=A（k+i|k）+Bu（k+i|k）-（k+i|k）（46）

其中，擾動(dòng)（k+i|k）=（k）（k+i|k）=［0，…，In×n］Ta（k）（k），（k）=［u（k-d）T，p（k）T］T，i=0，…，Np-1。定義擾動(dòng)的不確定集為

： ‖（k+i|k）‖2≤Vp（k）‖（k+i|k）‖2（47）

引理2 考慮到估計(jì)系統(tǒng)（9），如果優(yōu)化（48）

U*（k）=arg minU（k）∈maxW（k）∈upper（x（k），U（k），W（k））（48）

滿(mǎn)足狀態(tài)和控制約束（2），魯棒約束（47）和終端約束（45）在初始時(shí)刻k=0是可行的，那么陳述成立：1）優(yōu)化（40）滿(mǎn)足（41）（45）是遞歸可行的。2）所提出的具有自適應(yīng)更新律的Adaptive MPC閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

證明：1）假設(shè)優(yōu)化（48）在初始時(shí)刻是可行的，Vp（k）是固定的。那么，在k+1時(shí)刻，優(yōu)化（48）的一組可行解如式（49）所示：

U（k+1）=［u（k+1|k+1），…，u（k+Np-1|k+1）u（k+Np|k+1）］T=［u*（k+1|k），…，u*（k+Np-1|k），u*（k+Np|k）］T（49）

進(jìn)一步

w（k+i+1|k+1）=w*（k+i+1|k）， i=0，…，Np-1

（k+i|k+1）=*（k+i|k）， i= …，Np

其中

u（k+Np|k+1）=0（k+Np+1|k+1）=0w（k+Np|k+1）=0

基于以上分析可以得到，在k+1時(shí)刻優(yōu)化（48）同樣滿(mǎn)足所有約束條件，因此優(yōu)化（48）是遞歸可行的。

然而，上述結(jié)論假設(shè)Vp（k）是固定的，但現(xiàn)實(shí)情況Vp（k）是非增的，這意味著Vp（k+1）≤Vp（k）且（k+i|k）是非增的。因此，可以得到‖（k+i|k）‖≤‖w*（k+i|k）‖，那么一定存在另一組可行解U*優(yōu)于（49）。優(yōu)化（48）在k+1時(shí)刻是可行的，可以得到優(yōu)化（40）在k+1時(shí)刻也是可行的，1）得證。

2）假設(shè)式（47）中Vp是固定的，考慮到優(yōu)化（48）中的目標(biāo)函數(shù)upper在k+1時(shí)刻為

upper（k+1）=∑Npi=1‖（k+i+1|k+1）‖2c+‖u（k+i|k+1）‖2Rc

=∑Npi=2［‖*（k+i|k）‖2c+‖u*（k+i-1|k）‖2Rc］+‖（k+Nc+1|k+1）‖2c+‖u（k+Nc|k+1）‖2Rc

=∑Npi=2‖*（k+i|k）‖2c+‖u*（k+i-1|k）‖2Rc

≤∑Npi=1‖*（k+i|k）‖2c+‖u*（k+i-1|k）‖2Rc=*upper（k）

得到

*upper（k+1）≤upper（k+1）≤*upper（k）

選擇李雅普諾夫函數(shù)V（k）=‖（k|k）‖2c+*upper（k），令ΔV（k+1）=V（k+1）-V（k），得到

ΔV（k+1）=‖（k+1|k+1）‖2c+*upper（k+1）-‖（k|k）‖2c-*upper（k）=-‖（k|k）‖2c-‖u（k|k）‖2Rc≤-‖（k|k）‖2c

上式表明V（k）是遞減的并且收斂于零。

由于在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中結(jié)合了自適應(yīng)更新律（20），這表明Vp（k）是隨時(shí)間遞減的，（k+i|k）也是遞減的。因此，存在控制輸入u優(yōu)于u*，使得‖（k）‖2c+upper（k）≤V（k），可以得到（k）收斂于零。在定理1中已經(jīng)證明了是漸進(jìn)穩(wěn)定的，根據(jù)x（k）=（k）+（k），可以進(jìn)一步得到x（k）也是漸進(jìn)穩(wěn)定的，由此，2）得證。

3 數(shù)值計(jì)算

本文將進(jìn)行數(shù)值計(jì)算來(lái)驗(yàn)證提出的Adaptive MPC策略的有效性。為了探討系統(tǒng)在不同輸入延遲步長(zhǎng)下的控制表現(xiàn)，考慮到具有輸入延遲和不確定性參數(shù)的約束系統(tǒng)，其動(dòng)態(tài)可以建模為

xp（k+1）=0.248 5-1.035 50.891 00.406 5 xp（k）+0.319-1.308u（k-d）（50）

其中，d=，3，4。式（50）中Ap和Bp是未知，它們的名義參數(shù)是已知的，如式（51）所示。

p（0）=0.4-1.21.10.2 p（0）=0.42-1.4（51）

由于系統(tǒng)（50）具有輸入延遲，需要用一種擴(kuò)維表示法來(lái)轉(zhuǎn)換系統(tǒng)（50），以在狀態(tài)空間描述中表示延遲效應(yīng)，參考式（4）。本例中，設(shè)置的參數(shù)為：狀態(tài)初始值xp（0）=［3，2］，預(yù)測(cè)時(shí)域和控制時(shí)域Np=10，控制約束‖u‖≤2，狀態(tài)約束|Cx|≤4，其中，C=［ 0］，權(quán)重矩陣Qc=diag［0. 0.1］，R=diag［ 1］，采樣間隔h=0.1。

圖2和圖3比較了系統(tǒng)在不同輸入延遲步長(zhǎng)下的性能表現(xiàn)。從圖2可以看到，本文提出的Adaptive MPC策略在4種延遲步長(zhǎng)下都可以讓閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，從圖3可以看到不同延遲步長(zhǎng)下的控制輸入最終收斂于零并且滿(mǎn)足約束，由此證明本文提出的方法是有效的。

4 結(jié)論

本文對(duì)含不確定參數(shù)和輸入延遲系統(tǒng)的Adaptive MPC進(jìn)行了詳細(xì)分析。將研究擴(kuò)展到同時(shí)含參數(shù)不確定性和輸入延遲的約束系統(tǒng)，并獲得了優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)值解。此外，提出了一種時(shí)變的自適應(yīng)更新律，它可以在系統(tǒng)有輸入延遲的情況下更新估計(jì)系統(tǒng)的參數(shù)，并且證明了參數(shù)估計(jì)誤差是有界的和狀態(tài)估計(jì)誤差是漸進(jìn)穩(wěn)定的。仿真結(jié)果表明了本文所提算法的有效性。

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（責(zé)任編輯 耿金花）