求解電場強度的幾種特殊方法探討

【摘要】本文歸類探討求解電場強度的幾種特殊方法．通過對對稱法、補償法、微元法等特殊方法的詳細闡述和實例分析，展示這些方法在不同情境下的應用優勢和特點．旨在幫助學生更深入地理解電場強度的求解策略，提高解決相關問題的能力，進一步推動學生對電磁學的研究與應用．

【關鍵詞】電場強度；電磁學；高中物理

在實際問題中，由于電場分布的復雜性，需要采用合適的特殊方法準確獲得電場強度．這些方法不僅豐富了對電場的理解，也為解決各類電磁學問題提供了有力的工具．

1 對稱法

例1 均勻分布著總電量為+Q電荷的絕緣細圓環固定于如圖1所示的位置，環的圓心位于O點，半徑為R，A、B、C三點是圓環的三等分點．現取走圓環上A處附近長為ΔL的小圓弧上的電荷，圓環上剩余電荷的分布不變，靜電力常量為k，則（ ）

（A）O點場強的方向為OA的反方向.

（B）O點場強的大小為kQΔLπR3.

（C）再取走B處弧長為ΔL的小圓弧上的電荷，O點場強方向沿OC方向.

（D）再取走B處弧長為ΔL的小圓弧上的電荷，O點場強大小為kQΔL2πR3.

解析 環上均勻分布著電量為Q的正電荷，根據對稱性可知，O點場強為零，且A點ΔL的小圓弧上的電荷和A關于O點的對稱點D處ΔL的小圓弧上的電荷由于對稱性，在O點產生的合場強為0，因此移去A處ΔL的小圓弧上的電荷后，O點的場強可以認為是由D處ΔL的小圓弧上的電荷單獨產生，帶正電，其在O點的場強方向為OA，故（A）錯誤；由于圓環所帶電荷量均勻分布，所以長度為ΔL的小圓弧所帶電荷量為q=ΔL2πRQ，O點場強的大小為EO=kqR2=kQΔL2πR3，故（B）錯誤；取走A、B兩處的電荷后，圓環剩余電荷在O點產生的電場強度大小等于A、B處弧長為ΔL的小圓弧所帶正電荷在O點產生的場強的疊加，方向相反，即O點場強方向沿CO方向，場強大小為EO′=2kqR2cos60°=kQΔL2πR3，故（C）錯誤，（D）正確．

點評 對稱法基于電場分布的對稱性，通過巧妙利用這種對稱性來簡化問題求解．例如，對于均勻帶電球體、無限大均勻帶電平面等具有高度對稱性的情況，通過分析對稱性可以直接得出電場強度的關鍵特征.

2 補償法

例2 均勻帶電的球殼在球外空間產生的電場等效于電荷集中于球心處的點電荷產生的電場．如圖2所示，在絕緣球23球面AA1B1B上均勻分布正電荷，總電荷量為q；在剩余13球面AB上均勻分布負電荷，總電荷量為12q．球半徑為R，球心為O，CD為23球面AA1B1B的對稱軸，在軸線上有M、N兩點，且OM=ON=2R，A1A=B1B，A1A∥B1B∥CD．已知13球面A1B1在M點的場強大小為E，靜電力常量為k，則N點的場強大小為（ ）

（A）E． （B）2E．

（C）3kq8R2－2E． （D）kq12R2+E．

解析 將AB部分補上，使球殼變成一個均勻帶正電的完整的球殼，完整球殼帶電荷量為Q=32q，為保證電荷量不變，球面AB帶負電荷量為q，則該球殼帶正電的部分在M點產生的場強為EM=kQ（2R）2=3kq8R2，根據對稱性可知：①帶正電的部分完整球殼在N點產生的場強大小EN=3kq8R2，②球面AB帶負電荷量為q，在N點產生的場強大小為2E，兩者方向相反，則N點的場強大小為E′N=3kq8R2－2E，故選（C）．

點評 補償法是一種通過引入額外電荷或電場來彌補原有問題的不完整性，從而使求解變得容易的方法．在一些復雜的電場分布中，通過合理補償缺失部分，可以將問題轉化為已知或容易求解的情況．

3 微元法

例3 如圖3所示，一個帶正電的絕緣圓環豎直放置，圓環半徑為R，帶電量為+Q，電荷量均勻分布在圓環表面上，將一試探電荷+q從圓環中心偏右側一點（圖中未畫出）的位置靜止釋放，試探電荷只在電場力的作用下沿著中心軸線向右側運動，則下列說法正確的是（ ）

（A）試探電荷將向右先加速后減速．

（B）試探電荷的加速度逐漸減小．

（C）當試探電荷距離圓環中心為22R時，其加速度最大．

（D）將圓環所帶電量擴大兩倍，則加速度最大的位置右移．

解析 根據圓環電場分布的對稱性可知，圓環中心軸線上的電場強度均背離圓環中心，沿著中線軸線向外，則可知試探電荷將始終受到向右的電場力，一直做加速運動，故（A）錯誤.

如圖4所示，將圓環上所帶電荷進行無限分割，設每一份的電荷量為q0，則其在M點的場強E0=kq0Rsinθ2，其水平分量E0x=E0cosθ=kq0R2sin2θcosθ，微元累加并根據對稱性可知，M點的合場強為E=kQR2sin2θcos0，令f（θ）=sin2θcosθ=cosθ－cos3θ，則其導函數為f′（θ）=－sinθ+3cos2θsinθ=0，此時cos2θ=13，可知當試探電荷距離圓環中心為22R時，場強最大，加速度最大，并且這個位置與電荷量無關，故（C）正確，（B）（D）錯誤．

點評 微元法將研究對象分割成無限多個微小部分，對每個微小部分進行分析和求解，然后通過積分等手段將這些微小結果整合起來，得到整體的電場強度．該方法適用于求解不規則電荷分布或復雜電場的情況．通過細致地選取微元，合理建立數學模型，可以逐步推導出最終的電場強度表達式．

4 結語

求解電場強度的特殊方法是電磁學研究中的重要組成部分．對稱法、補償法和微元法等在不同情況下發揮著獨特的優勢，為準確求解電場強度提供了有力的手段．在實際應用中，需要根據具體問題靈活選擇和運用這些方法．通過深入研究和不斷探索，將更好地理解和掌握電場強度的求解策略，為學生核心素養的提升打下堅實的基礎．

參考文獻：

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