函數(shù)法在求解電源輸出功率最大問題中的應(yīng)用

【摘要】本文通過對電源輸出功率的表達式進行推導(dǎo)和分析，構(gòu)建函數(shù)模型，利用數(shù)學(xué)方法求解極值，詳細闡述函數(shù)法的原理、變式和應(yīng)用實例.函數(shù)法為解決此類問題提供了準確且有效的途徑，有助于深入理解電路中的能量轉(zhuǎn)換和優(yōu)化問題.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)法；電源輸出功率；高中物理

在電學(xué)中，電源輸出功率的計算和優(yōu)化是一個重要的課題.電源輸出功率的大小直接關(guān)系到電路的性能和效率，因此，如何準確地求解電源輸出功率的最大值具有重要的理論和實際意義.函數(shù)法作為一種強大的數(shù)學(xué)工具，在解決這類問題中發(fā)揮著關(guān)鍵作用.

1 應(yīng)用案例

例1 如圖1所示，R為變阻箱，電壓表為理想電壓表，電源電動勢E=6V，當變阻箱阻值為R=4Ω時，閉合電鍵后，電壓表的讀數(shù)為4V.求：

（1）電路中的電流I和電源內(nèi)阻r；

（2）電源的輸出功率P和效率η；

（3）當變阻箱R為多大時，電源的輸出功率最大？最大值Pm為多少？

解析 （1）電路中的電流為I=UR=44A=1A，

根據(jù)閉合電路歐姆定律可得E=U+Ir，

可得電源內(nèi)阻為r=E－UI=6－41Ω=2Ω.

（2）電源的輸出功率為P=UI=4×1W=4W，

電源的效率為η=P出P總×100%=UIEI×100%=UE×100%=46×100%≈66.7%.

（3）電源的輸出功率為P=I2R=ER+r2R=E2R－r2R+4r，

可知當R=r=2Ω時，電源的輸出功率最大，

最大值為Pm=E24r=624×2W=4.5W.

點評 本例第（3）問中，將電源輸出功率P表示為關(guān)于R的函數(shù)，經(jīng)過配方處理后得到其最值和取得最值的條件（內(nèi)外電阻相等），從而解出電源的最大輸出功率.

2 變式分析

例2 如圖2所示電路，電源電動勢E=6V、內(nèi)阻r=3Ω，定值電阻R0=10Ω，滑動變阻器R的電阻在0到10Ω之間變化.起初開關(guān)S斷開，調(diào)節(jié)變阻器R的阻值，試求：

（1）變阻器R的阻值為多大時理想電流表示數(shù)為0.5A；

（2）變阻器R可獲得的最大功率；

（3）閉合開關(guān)S，變阻器R可獲得的最大功率.

解析 （1）由閉合電路的歐姆定律有I=ER+r，

解得R=9Ω.

（2）變阻器的功率P=I2R=ER+r2R=E2R－r2R+4r，

可知當變阻器阻值等于電源內(nèi)阻時，電源輸出功率最大，即R=r=3Ω，

所以回路電流I=ER+r=1A，

因此變阻器可獲得的最大功率P=I2R=3W.

（3）閉合開關(guān)S后，將R0吸收到電源內(nèi)部，其等效電阻為r′內(nèi)=rR0r+R0=3013Ω，

當R=3013Ω時，其獲得的功率最大，最大為Pm=E24r′內(nèi)=3.9Ω.

點評 本例第（3）問中，將開關(guān)S閉合，相當于電源內(nèi)部并聯(lián)了一個電阻R0，形成等效電源后，再根據(jù)例1的結(jié)論進行計算.

3 結(jié)論的應(yīng)用

例3 如圖3所示，電源的電動勢為E，內(nèi)阻為r.圖4為電源的輸出功率P與電阻箱讀數(shù)R的關(guān)系圖象，電源輸出功率最大值為6W，電阻箱讀數(shù)分別為4Ω、9Ω時電源輸出功率相等為P0，下列說法中正確的是（ ）

（A）電源的電動勢為12V．

（B）電源的內(nèi)阻為6.5Ω．

（C）當電阻箱阻值為6Ω時，電源輸出功率最大．

（D）電阻箱阻值為4Ω時電源輸出功率大于5Ω時電源輸出功率．

解析 根據(jù)題意可知，電源的輸出功率為P=I2R=ER+r2R=E2R－r2R+4r，由數(shù)學(xué)知識可知，當R=r時，電源輸出功率最大，最大功率為Pm=E24r，當R=4Ω時，有P0=4E24+r2，當R=9Ω時，有P0=9E29+r2，解得r=6Ω，則當電阻箱阻值為6Ω時，電源輸出功率最大，則有6W=E24×6Ω，解得E=12V，故（A）（C）正確，（B）錯誤；根據(jù)圖象可知，當電阻箱阻值為6Ω時，電源輸出功率最大，故（D）錯誤.

點評 根據(jù)函數(shù)規(guī)律繪制圖4所示的圖象，由圖象可以看出，電源輸出功率有最大值，當外電阻的變化范圍內(nèi)的所有值取不到電源內(nèi)阻值時，外電阻與內(nèi)電阻越接近，電源輸出功率越大.

4 結(jié)語

函數(shù)法在求解電源輸出功率最大問題中具有重要的應(yīng)用價值.通過準確的推導(dǎo)和數(shù)學(xué)分析，能夠有效地確定使電源輸出功率達到最大值的條件.在實際應(yīng)用中，應(yīng)結(jié)合具體的電路情況，合理選擇求解方法，以實現(xiàn)對電路性能的優(yōu)化和能量的高效利用.同時，不斷探索和創(chuàng)新，將函數(shù)法與其他方法相結(jié)合，以應(yīng)對更復(fù)雜的電學(xué)問題.通過以上對函數(shù)法在求解電源輸出功率最大問題中的應(yīng)用的研究，不僅掌握了一種有效的解題方法，更深入理解了電學(xué)中的能量轉(zhuǎn)換和優(yōu)化原理，為今后在相關(guān)領(lǐng)域的學(xué)習(xí)和研究奠定了堅實的基礎(chǔ).

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