波動方程藏奧秘，多解之中映真諦

【摘要】機械波是高中物理的重要內容，蘊含著獨特的物理之美.多解問題在機械波問題中尤為突出，因為其傳播方向、傳播距離和波長的關系、振動周期等不確定因素，從而造成了求解的復雜性.本文結合實例探究機械波多解問題的常見類型，并提出相應的解題策略，以供讀者參考.

【關鍵詞】 機械波；高中物理；解題技巧

1 傳播方向不確定導致多解

波總是由波源發出并由近及遠向前傳播，波在介質中傳播時，質點的振動情況可以根據波的傳播方向確定.因此，當無法確定波的傳播方向時，就會出現多解問題.

例1 如圖1所示為一列簡諧橫波，其中實線為t1=1s時的波形，虛線為t2=2.5s時的波形，且（t2－t1）小于一個周期，則下列說法正確的是（ ）

（A）波長為40cm.

（B）波沿著x軸正方向傳播.

（C）振幅為10cm.

（D）振動周期可能為2s，也可能為6s

解 由圖象可得λ=40cm，A=5cm，因為（t2－t1）小于一個周期，則波在這段時間內傳播的路程小于一個波長，但是因為波的傳播方向不確定，所以具有多解的可能.

當波的傳播方向向x軸正方向傳播時，Δx1=0.1m，

波速v=ΔxΔt=0.11.5m/s=λT，

解得T=6s.

當波的傳播方向向x軸負方向傳播時，Δx2=0.3m，

波速v=ΔxΔt=0.31.5m/s=λT，

解得T=2s.

綜上所述，本題的正確答案為（A）（D）選項.

評注 題中未給出傳播方向，所以就要分為兩類情況進行討論.對于不同的傳播方向，相應的波長、波速、振動周期等計算值會有所不同，要根據實際情況代入公式進行計算.

2 傳播距離和波長關系不確定導致多解

在波的傳播過程中，每相隔一個波長的質點振動情況相同，若題目中并沒有明確指出波長和波的傳播距離之間的關系，就會產生多解的情況.

例2 一列橫波在均勻介質中沿x軸正方向傳播，如圖2所示是t=0時的波形圖.質點P，Q是在x軸上的兩點，它們的平衡位置坐標分別為0.4m和0.7m.

（1）若質點P連續兩次經過x軸的時間差Δt=0.4s，求波的傳播速度大小；

（2）若在0.1s時質點Q運動到波谷處，求波的周期.

解 （1）波的周期T=2Δt=0.8s，波長λ=0.8m，由v=λT得v=1m/s.

（2）由題意得在t時間內，波的傳播距離Δx1=0.1m+nλ（n=0，1，2，3…），

波的傳播速度v1=Δx1t=（8n+1）m/s（n=0，1，2，3，…），

周期T1=λv1=440n+5s（n=0，1，2，3，…）.

評注 采用由特殊到一般的物理思維方法，找到一個周期內傳播距離和波長的關系即可分類解答多解問題.

3 振動周期不確定導致多解

當題目已知條件中并沒有說明傳播時間和周期的關系時，與第二類問題類似也會出現多解的情4b75d63a55d78dff44a97e7ea460ef57858512965548f73b12033e435923b33b況.對于傳播時間Δt<T的類型，容易造成特解代替通解的漏解情況，要注意區分.

例3 如圖3所示，一列簡諧橫波沿x軸傳播，實線和虛線分別是t1=0時刻和t2時刻的波形圖，P，Q兩點分別是平衡位置為x1=1m和x2=4m的兩質點.如圖4所示即為質點Q的振動圖象，則下列說法中正確的是（ ）

（A）簡諧波沿x軸負方向傳播.

（B）簡諧波的傳播速度為20m/s.

（C）質點P從t1=0時刻到t2時刻經過的路程可能為50cm.

（D）質點P的振動方程為y=10sin10πt+

3π4cm.

解 由圖3可得，t1=0時刻質點Q向上振動，由同側法可知，簡諧波是沿著x軸正方向傳播的，選項（A）錯誤.

由圖3可知，波長為8m，從圖4中可得T=0.2s，則波的傳播速度v=λT=40m/s，選項（B）錯誤.

質點P從t1=0時刻到t2時刻經過的路程s=4A·n+14=（4n+1）A（n=0，1，2，3，…），

當n=1時，s=50cm，由于質點P不在平衡位置，從t1=0時刻到t2時刻經過的路程不可能為50cm，所以選項（C）錯誤.

質點Q的振動方程為y=Asin2πTtcm=10sin（10πt）cm，質點P和質點Q的相位差恒定，故φ=34π，則質點P的振動方程為y=Asin2πTt+φcm=10sin10πt+3π4cm.所以選項（D）正確.

評注 根據每一個周期中波形出現的次數和出現的具體情況，利用畫圖補齊圖形的方法可以研究出傳播事件和周期之間的關系.

4 結語

總的來說，解答機械波的多解問題要先找出一個周期內滿足題目條件的時間或者位移關系，之后再根據題設條件和公式綜合判斷即可得到答案.教師在習題教學的過程中要讓學生感受波動方程的美，體會問題的本質，讓學生在“波”和“多解”兩方面形成思想上的聯系，問題也就迎刃而解了.