機械振動與力學綜合問題分類例析

【摘要】本文從單擺模型、類彈簧振子模型出發，分類分析機械振動和力學的綜合問題，探討這類問題的解題思路和方法，旨在提高學生對這類問題的解決能力．

【關鍵詞】高中物理；機械振動；力學

1 單擺模型與動力學綜合問題分析

例1 將一個力傳感器連接到計算機上就可以測量快速變化的力，如圖1所示，圖中O點為單擺的懸點，現將一質量0.05kg小球（可視為質點）拉到A點，此時細線處于張緊狀態，釋放擺球，則擺球在豎直平面內的ABC之間來回擺動，其中B點為運動中最低位置，∠AOB=∠COB=α，α<5°且是未知量．計算得到細線對擺球的拉力F最大值是0.51N，兩個相鄰的最大值之間時間間隔0.2πs，且圖中t=0時刻為擺球從A點開始運動的時刻，根據力學規律和題中信息（重力加速度g取10m/s2）求：

（1）單擺的擺長；

（2）細線對擺球的最小拉力．

解析 （1）小球運動到最低點時，繩子的拉力最大，在一個周期內兩次經過最低點，根據該規律知T=0.4πs，

根據T=2πLg，可得L=0.4m．

（2）小球通過A點時細線對擺球的拉力最小，根據圓周運動的規律可知Fmin=mgcosα，

小球通過B點時細線對擺球的拉力最大，根據圓周運動的規律可知Fmax－mg=mv2L，

小球從A運動到B的過程中，根據動能定理可得mgL1－cosα=12mv2－0，

聯立解得Fmin=0.495N．

點評 本題通過單擺模型考查豎直面內的圓周運動，屬于機械振動與動力學問題的綜合問題，考查方式新穎，需要學生具備較強的知識基礎．根據題設條件和單擺周期公式求出了擺長，再結合運動的合成與分解、牛頓第二定律和動能定理即可解出答案．

2 類彈簧振子模型與傳送帶綜合問題分析

例2 如圖2所示，水平傳送帶以某一速度沿順時針方向勻速轉動，勁度系數為k的輕質彈簧一端固定在豎直墻壁上，另一端與一個質量為m的滑塊相連，某時刻將彈簧拉伸到某處靜止釋放滑塊，當654202a7d57589f8d4e78386de8dde018fde89f3f81a9b1d1f109785890da9e7滑塊向左運動的距離為L時（滑塊未滑離傳送帶），速度減小為0，此時彈簧恰好恢復原長，此過程中滑塊與傳送帶之間因摩擦而產生的熱量為Q．下列說法中正確的是（ ）

（A）滑塊與傳送帶之間的動摩擦因數為kL2mg．

（B）若只將傳送帶的速度增大為原來的2倍，其他條件不變，滑塊向左運動的時間將增加．

（C）若只將傳送帶的速度增大為原來的2倍，其他條件不變，滑塊向左運動的過程中，滑塊與傳送帶之間因摩擦而產生的熱量變為2Q．

（D）由于摩擦力的作用，滑塊將不能返回到出發點．

解析 滑塊受傳送帶的摩擦力一直向右且大小不變，可以將彈簧看成豎直狀態掛著滑塊，傳送帶摩擦力看作重力，由此可知，滑塊將做簡諧運動．根據簡諧運動原理，滑塊將能返回到出發點，在出發點和向左運動的距離為L時回復力大小相等，因此有μmg=kL－μmg，解得μ=kL2mg，故（A）正確，（D）錯誤；若只將傳送帶的速度增大為原來的2倍，其他條件不變，滑塊受力情況不變，則滑塊向左運動的時間不變，故（B）錯誤；設傳送帶初始速度為v，則根據功能關系Q=μmg（vt+L），若只將傳送帶的速度增大為原來的2倍，滑塊受力情況不變，滑塊向左運動的距離不變，這段時間不變，但這段時間內傳送帶運動的位移由vt變為2vt，則滑塊與傳送帶之間因摩擦而產生的熱量變為Q′=μmg（2vt+L），不等于2Q，故（C）錯誤．

點評 本題是典型的類彈簧振子與傳送帶問題的綜合問題，學生要有敏銳的想象力對

摩擦加相

關知識足

夠掌握，分析出在出發點和向左運動的距離為L時回復力大小相等來求解動摩擦因數，再根據功能關系分析熱量問題．

3 簡諧運動與彈簧斜面模型的綜合問題分析

例3 如圖3所示，一光滑斜面固定在水平地面上，斜面傾角為45°，其底端固定一輕質彈簧，將質量為m的物塊從斜面頂端由靜止釋放，頂端距彈簧上端距離為l，彈簧的勁度系數為k，彈簧的最大壓縮量為32mg2k，已知，彈簧彈性勢能為Ep=12kx2，其中x是形變量，簡諧運動周期T=2πmk，則下列說法正確的是（ ）

（A）速度最大時的壓縮量為2mgk．

（B）物塊的最大動能為mg22l+mg2k－g2m24k．

（C）從靜止釋放到壓縮量最大的時間為2π3mk．

（D）從靜止釋放到壓縮量最大的時間為22lg+2π3mk．

4

解析 速度最大時物塊合外力為零，此時加速度為零，速度達到最大值，有mgsin45°=kΔx1，解得Δx1=2mg2k，故（A）錯誤；對物塊由能量守恒可得mgl+2mg2ksin45°=Ekm+12k2mg2k2，解得Ekm=mg22l+mg2k－g2m24k，故（B）正確；物塊從最高點到剛接觸彈簧所用時間為t0，物塊在斜面上做初速度為零的勻加速直線運動，根據運動學公式可得l=12at20，a=gsin45°=22g，解得t0=22lg，則可知從靜止釋放到壓縮量最大的時間為t′=t0+t=22lg+2π3mk，故（C）錯誤，（D）正確．

點評 通過本題的分析可以看出，簡諧運動其實就是非常有規律的力學問題，需要學生結合動力學觀點和能量觀點綜合思考．

4 結語

機械振動的本質就是力學問題，因知識板塊和教材的編排，使得高中學生很少面對機械振動與力學問題結合起來的題目，但隨著新教材的投入和新高考的穩步推進，機械振動問題和力學綜合是高考命題的必然趨勢，希望引起教師和學生的重視．