考慮融資費用的Max-NPV項目調度優化研究

摘要：融資費用對承包商的凈現值有重要影響。通過考慮融資費用的承包商Max-NPV項目進度問題，優化承包商現金流管理，以實現項目收益最大化。首先，構建優化模型對考慮融資費用的承包商凈現值進行刻畫；其次，根據模型特征設計雙層嵌套模擬退火算法求解；最后，進行實際案例研究，并分析關鍵參數對項目目標的影響。結果表明：承包商的自有資金比例及業主的支付次數、預付款比例、支付比例的增加都能夠增加項目凈現值，降低融資費用；折現率和貸款利率也會對承包商凈現值和融資費用產生重大影響。該結果可以幫助承包商制訂合理的項目調度計劃，為降低承包商融資費用和提高凈現值收益提供理論支持。

關鍵詞： Max-NPV； 融資費用； 項目進度計劃； 調度優化；模擬退火啟發式算法

0 引言

如今項目規模越來越大，往往需要投入大量資金，在巨額投資壓力下，項目不得不向外部金融機構融資。雖然融資可改善項目現金流，推動項目順利實施，但投資者要承擔高昂的融資費用。尤其是對于一些大型工程而言，融資規模巨大，融資周期過長，融資費用居高不下，推高了項目成本，嚴重擠壓投資者的利潤空間。項目進度安排對項目現金流及融資安排有著重大影響：一方面，進度安排直接決定了現金流出的時間和大小；另一方面，隨著里程碑活動的完成，業主帶來階段性支付，進而決定了現金流入的時間和大小。現金流出和流入形成的資金缺口，往往需要通過外部融資進行填補，以保證項目順利實施。因此，本文從承包商角度出發，研究考慮融資費用的最大凈現值（Maximize the Net Present Value，Max-NPV）項目調度優化問題，旨在通過項目調度調整項目進度安排，進而優化項目現金流及融資安排，在確保項目順利實施的前提下，實現承包商利潤最大化。

Max-NPV項目調度問題是以凈現值最大化為項目活動進度安排目標的調度問題^[1]，是項目進度問題的一個重要分支。該問題最早由Russell^[2]提出，到目前為止已經有許多學者對該問題進行了研究，研究成果主要分為無資源約束（Resource Unconstrained）的Max-NPV問題和受資源約束（Resource Constrained）的Max-NPV問題兩大類。對于無資源約束的Max-NPV問題，Russell最早采取基于事件的研究方法，對該問題建立了數學模型，用近似迭代的算法對模型求解；Grinold^[3]在Russell的研究基礎上，運用線性規劃的方法對該問題進行研究，利用圖形將項目工期與項目凈現值之間的變化關系進行直觀反映。而對于受資源約束的Max-NPV問題，其又可進一步分為不可更新、可更新和雙重約束的資源約束Max-NPV問題。劉洋等^[4]研究廣義優先關系約束下Max-NPV項目調度問題，構建了數學模型，設計了雙層遺傳算法，外層遺傳算法負責任務執行模式的優化，內層遺傳算法負責任務調度優化。劉萬琳等^[5]對有資源柔性約束的Max-NPV分布式多項目進度問題進行了研究，假定可以從外界獲得資源的可用量，以凈現值最大化為目標，構建了問題的整數規劃模型，并設計了遺傳-模擬退火混合算法（GA-SA）進行求解。

隨著項目管理實踐的不斷深入，考慮項目承包商融資費用對項目進度計劃和凈現值影響的研究也逐漸引起學者關注。何正文等^[6]對截止日期約束下的融資費用最小化項目調度進行了研究，采用基于事件的研究方法構建問題的整數規劃模型，設計了專門的模擬退化啟發式算法。隨著金融業的發展及其與其他行業的結合，利用銀行授信為各種大型項目融資已成為一種普遍的融資方式。任世科等^[7]研究了基于銀行授信額度的Max-NPV項目調度問題，結果表明，隨著銀行授信額度的提高，承包商安排項目進度自由度的增加使其凈現值提高，支付比例較低時也能提前完成項目。支付條件會影響項目現金流入的發生時間，不同的支付條件直接關系到銀行授信賬戶的使用，從而對承包商項目收益產生影響。何正文等^[8]研究了不同支付條件下銀行授信約束折現流項目調度，分別是基于里程碑事件、時間、費用三種不同的支付條件。另外，其還對項目融資費用分擔及聯合支付進度問題進行了研究^[9]。鄭維博等^[10]從承包商和業主的雙方視角出發，研究融資能力約束下的Max-NPV項目調度問題。

本文基于以上現實背景和理論現狀，研究考慮融資費用的承包商Max-NPV項目調度優化問題。首先，對研究問題進行分析和界定，同時考慮融資費用對承包商凈現值的影響，將融資費用作為承包商現金流出的一部分，構建新的目標函數；其次，根據模型特征設計內外層嵌套的模擬退火算法，對研究問題進行求解。最后，通過實例對研究問題進行驗證，并分析關鍵參數對承包商凈現值和融資費用的影響。但現有研究對項目融資和融資費用關注較少，因此，本研究不僅可以為承包商在安排項目活動進度計劃時提供理論支持，使得現金流量圖更加完整，保證了整個項目實施過程中的現金流均衡，還可以對已有的Max-NPV項目調度理論進行補充。

1 問題界定及符號定義

本文采用AoN網絡^[11]表示項目，活動之間滿足網絡優先關系約束。考慮一個項目由N+1個活動構成，并在項目的開始和結束分別添加虛活動0和N+1。活動n（1，2，…，N+1）有Q_n種執行模式，采用模式q（1，2，…，Q_n）執行時，工期和費用分別為d_nq和c_nq。活動n

的執行模式、開始時間用0-1變量x_nq、y_nt表示。

對研究問題界定中用到的參數進行整理說明， 參數定義見表1。

2 構建模型

根據以上問題界定及參數設置，建立考慮融資費用的承包商Max-NPV項目調度優化模型，公式如下

式中，r_t為t時刻承包商可自由支配的資金量，r_t=S+λU+∑tTk=0p_k+∑t－1t=0f_t－c_t。式（1）為求承包商最大凈現值收益的目標函數。其中，NPV_cont為承包商現金流凈現值;α為折現率;β為貸款利率;f_t為承包商在時刻t的融資量，等式右端第1項為項目開始時業主對承包商支付的預付款、第2項和第3項為整個項目工期內業主對承包商支付的現值；第4項為承包商在整個項目工期內所有活動的費用支出現值；第5項為承包商在整個項目工期內融資所產生的費用現值。式（2）確保每一個活動有且僅能安排一種執行模式。式（3）確定每個活動的開始時間，ES_n和LS_n分別為活動n的最早和最晚開始時間。式（4）為優先關系約束，v_n是活動n的緊后活動集合。式（5）確保項目的完成時間不能超過項目的截止日期。式（6）規定承包商在項目的未開始時向銀行貸款金額為零。式（7）確保全部支付的總和等于項目合同的總價款。式（８）計算各次融資量。式（9）、式（10）為活動執行模式和活動開始時間的定義域約束。

3 雙層嵌套模擬退火啟發式算法設計

凈現值最大化項目調度問題已被證明是一個NP-hard問題^[12]，因此考慮融資費用的Max-NPV項目調度問題也必然是一個NP-hard問題。因此本文采用模擬退火啟發式算法求解該問題。由于項目活動工期的長短取決于其執行模式的選擇，而活動開始時間又是在給定活動工期的基礎上計算的，因此，在安排活動開始時間時必須首先選定活動的執行模式，活動開始時間和活動執行模式之間的依賴關系，使得在搜索滿意項目進度安排的過程中需要內外兩層循環嵌套：內層循環（嵌套于外層循環中）在給定活動執行模式向量下搜索滿意的活動開始時間向量，外層循環在包含內層循環結果的基礎上搜索滿意的活動執行模式向量，最終獲得綜合內外層循環搜索結果的滿意項目進度安排。

3.1 解的表示

為了使程序能夠求解，需要將解按活動序號進行排列和儲存，在程序中用活動執行模式數組MA和活動開始時間偏移量數組SA表示。

活動執行模式數組MA：該數組有N+1個元素，第n（n≤N+1）個元素的值代表第n個活動選擇的執行模式q_n（q_n=1，2，…，Q_n）。

活動開始時間偏移量數組SA：該數組有N+1個元素，第n（n≤N+1）個元素的值代表第n個活動的開始時間偏移裕量SA（n），SA（n）∈[0，LS（n）-ES（n）]，其中ES（n）和LS（n）分別為活動n的最早、最晚開始時間，由關鍵路徑法（CPM）計算得到。

依據上述解的表示方式，可按照下述迭代程序求得活動的開始時間：

步驟1：對于活動n=1，2，…，N，根據執行模式列表MA確定活動的工期d_nq，d_nq=∑Q_nq=1d_nq×x_nq。

步驟2：根據時間偏移量數組SA，為各活動選擇一個時間偏移量SA（n），n=1，2，…，N。

步驟3：應用CPM法計算得到活動的開始時間，s_n=Max_{m∈pred（n）}{s_m+d_mq+SA（m）}， n=0，1，2，…，N+1。

步驟4：如果項目的結束時間超過截止時間s_N+1＞D，則對其目標函數進行懲罰，令

MaxNPV_cont=U，否則，生成一個可行的調度。

3.2 初始可行解的生成

步驟1：所有活動隨機選擇一種執行模式，并使項目的完成時間不能超過項目的截止日期，否則，重復該操作，直到得到滿足約束條件的初始活動執行模式數組MA₀₀。

步驟2：在初始活動執行模式數組MA₀₀所確定的活動開始時間窗下，所有活動（首尾虛活動除外）隨機選擇一個開始時間，并使項目的完成時間不能超過項目的截止日期;否則，重復該操作，直到得到滿足約束條件的初始活動開始時間數組SA₀₀。最終，得到初始可行解（MA₀₀，SA₀₀）。

3.3 鄰點可行解的生成

步驟1：在初始活動執行模式數組MA₀₀下，隨機選擇一個活動（首尾虛活動除外）并將該活動的執行模式隨機轉變為其他執行模式，該活動執行模式與其余活動原執行模式一起構成一個新的活動執行模式數組MA₁₀，并使項目的完成時間不能超過項目的截止日期；否則，重復該操作。

步驟2：在活動執行模式數組MA₁₀，所確定的活動開始時間窗下，所有活動（首尾虛活動除外）隨機選擇一個開始時間，一起構成新的活動開始時間數組SA₁₀，并使項目的完成時間不能超過項目的截止日期;否則，重復該操作

得到鄰點可行解（MA₁₀，SA₀₀）。

步驟3：在活動開始時間數組SA₁₀下，隨機選擇一個活動（首尾虛活動除外），在該活動的開始時間窗內，將其開始時間隨機地調整到另外的時刻，該活動開始時間與其余活動原來的開始時間一起構成新的活動開始時間數組SA₁₁，并使項目的完成時間不能超過項目的截止日期;否則，重復該操作得到鄰點可行解（MA₁₀，SA₁₁）。

3.4 模擬退火參數設置

本研究設計的模擬退火啟發式算法由內外兩層循環嵌套構成。外層循環改變活動執行模式，負責搜索相對最優的活動執行模式數組MA^*；內層循環負責在給定活動執行模式組合下搜索相對最優的活動開始時間數組SA^*。算法外層和內層循環涉及4個參數：初始溫度、冷卻速率、每一溫度下的迭代次數和終止溫度，利用實驗法確定^[13-15]。

（1）初始溫度。Stemp₁=100，Stemp₂=100。

（2）冷卻速率。μ₁=0.95，μ₂=0.95。

（3）每一溫度下的迭代次數。Count₁=50，Count₂=50。

（4）終止溫度。Etemp₁=0.1，Etemp₂=0.1。

3.5 算法搜索流程

（1）在生成的初始可行解（MA₀₀，SA₀₀）下，計算得到承包商凈現值收益NPV₀₀。

（2）外層循環溫度設定。temp₁=Stemp₁。

（3）外層循環迭代步數設定。num₁=0。

（4）在temp₁下由MA₀₀生成一個新的活動執行模式數組MA₁₀，并在MA₁₀下生成新的活動開始時間數組SA₁₀，計算在（MA₁₀，SA₁₀）下的NPV₁₀。

（5）內層循環溫度設定。temp₂=Stemp₂。

（6）內層循環迭代步數設定。num₂=0。

（7）在temp₂下由SA₁₀生成一個新的活動開始時間數組SA₁₁，計算在（MA₁₀，SA₁₀）下的NPV₁₁。

（8）若NPV=NPV₁₁-NPV₁₀>0，則接受SA₁₀=SA₁₁，NPV₁₀=NPV₁₁。否則，生成一個位于[0，1）之內均勻分布的隨機數Rnd，若Rnd≤exp（ΔNPV/temp₂），則接受SA₁₀=SA₁₁，NPV₁₀=NPV_{336f71499334506fc5944533a8f681c34ec2b00bff5d064c7a37c95458a2628811}；反之，拒絕SA₁₁，NPV₁₁。

（9）num₂=num₂+1。若num₂＜Count₂，轉步驟7；否則，轉步驟10。

（10）按冷卻速率將溫度下降一定比例。temp₂=temp₂μ₂ 。若temp₂＞Etemp₂，轉步驟6；否則，轉步驟11。

（11）若NPV=Nba99bbe93faa05a91a8b552151d67880333f88624cc6fc0ac49df6ce43829803PV₁₀-NPV₀₀，則接受MA₀₀=MA₁₀，SA₀₀=SA₁₀ ，NPV₀₀=NPV₁₀。否則，生成一個位于之內均勻分布的隨機數Rnd，若Rnd=exp（ΔNPV/Temp），則接受MA₀₀=MA₁₀，SA₀₀=SA₁₀ ，NPV₀₀=NPV₁₀；反之，拒絕（MA₁₀，SA₁₀），NPV₁₀。

（12）num₁=num₁+1。若num₁＜Count₁，轉步驟4；否則，轉步驟13。

（13）按冷卻速率將溫度下降一定比例：temp₁=temp₁·μ₁。若temp₁＞Etemp₁，轉步驟3；否則，轉步驟14。

（14）輸出搜索到的結果，即最終的（MA₀₀，SA₀₀），NPV₀₀，搜索結束。

上訴算法采用C語言，在Visual Studio 2019上編程，在CPU主頻率為1.8GHz，內存為4.0GB的個人計算機上進行運行。

4 案例研究

4.1 案例背景

以DSYJ建設公司中標承建的SXTZ大廈主樓項目為例進行分析，該合同為固定單價合同，合同價款為5350萬元，合同工期600日歷天，總建筑面積22 026m²。DSYJ建設公司提供的各個活動之間的緊前關系，用AON網絡圖表示，SXTZ大廈主樓項目AON網絡圖如圖1所示。節點表示活動，箭線表示邏輯關系，圖中共有33個活動（其中0和32分別為虛擬開始活動和結束活動），活動具有加急和正常兩種執行模式。由于DSYJ建設公司的實際開工時間比合同規定的開始時間晚了50d，需要重新確定每項活動的工期和費用。SXTZ大廈主樓項目活動掙值及在不同執行模式下的工期、費用見表2。

4.2 理論結果與現實情況的比較

以初始解MA₀₀（活動執行模式，“0”表示正常執行模式，“1”表示加急執行模式），SA₀₀（活動開始時間）安排項目進度，求解得到的項目滿意進度安排如下

MA^*=（0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，1，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，1，0，0，0，1，0，0，0，0，1）。

SA^*=（0，90，8，38，308，372，68，110，80，119，120，253，144，179，160，285， 392， 385，188，469，466，216，526，241，269，297，394，322，481，497，535）。

而在實際中，項目進度安排如下

MA₀₀=（1，0，1，0，0，0，1，0，1，0，0，0，0，0，1，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0）。

SA₀₀=（0，67，6，37，246，202，62，61，73，74，111，150，187，198，156，229， 395， 260，181，479，392，209，488，237，265，293，351，321，412，496，534）。

在實際中，項目工期為534d，承包商凈現值為2 219 780元，承擔融資費用現值509 761元，凈現值率4.63%。但應用本文理論研究得到項目滿意進度安排的工期僅比原來增加1d，但獲得凈現值收益為3 688 920元，承擔融資費用僅為101 998元，凈現值率為7.36%。相較原進度方案，本文得到的滿意進度安排的融資費用降低了79.80%，凈現值提高了66.18%，凈現值率提升了2.73%，表明所開發的理論模型和算法的有效性。

4.3 關鍵參數敏感性分析

進一步分析承包商自有資金S、支付次數K、預付款比例λ、支付比例θ、折現率α、貸款利率β等項目參數變化對承包商凈現值和融資費用的影響。NPV、融資費用隨S的變化曲線圖如2所示， NPV、融資費用隨K的變化曲線如圖3所示，NPV、融資費d4uREZw/Dgvujymy1Ggg6Ae8efUYJ5lfUFkdqIH6lUg=用隨λ的變化曲線如圖4所示，NPV、融資費用隨θ的變化曲線如圖5所示，NPV、融資費用隨α的變化曲線如圖6所示，NPV、融資費用隨β的變化曲線如圖7所示。

（1）由圖2～5可知，隨著自有資金量、支付比例、預付款比例或支付比例中任意一項的增加，承包商融資費用都將降低，而凈現值則呈現上升趨勢。原因分析如下：承包商自有資金越多、預付款比例越高，表明在項目實施過程中，承包商出現資金缺口的概率越小，向銀行貸款的資金量越少，從而使產生的融資費用減少，凈現值收益增加；業主對承包商的支付次數越多、支付比例越高，表明支付周期越短、每次支付量越大，意味著承包商可以更快、更多地得到資金補償，增加現金流入，減少融資量，從而融資費用減少，進而使凈現值增大。

（2）由圖6可知，隨著折現率的不斷增加，凈現值不斷降低，這是因為當折現率越高時，承包商未來現金流的價值就越小，其融資風險將大大增加，凈現值也會相應減少；同時，隨著折現率的增加，融資費用整體變化不大，這是因為融資費用基數小，折現率對融資費用的影響較小。

（3）由圖7可知，隨著融資費率的提高，融資費用隨融資費率升高而不斷提高，但凈現值呈現先短暫增加后又持續降低的趨勢。承包商凈現值短暫上升是由于當融資費用隨融資費率提高而不斷增加的同時，融資費用的增幅也短暫地低于資源消耗費用的降幅，后續又因為工作模式的改變或資源消耗的速度太快等，融資量快速增加，導致融資費用急劇攀升，進而導致凈現值下降。

5 結語

本文基于活動的研究方法，研究了考慮融資費用的承包商Max-NPV項目進度問題。首先，界定問題，建立目標函數和約束條件；其次，設計了內外層嵌套的模擬退火啟發式算法進行求解；最后，通過一個實例對研究問題進行說明，得到滿意的項目活動進度計劃，降低了承包商的融資費用，獲得滿意的凈現值收益，并對項目關鍵參數進行了敏感性分析，得出如下結論：凈現值的大小隨自有資金比例、支付次數、預付款比例、支付比例的增大而增大，隨折現率、融資費率的增大而減小；融資費用的大小隨自有資金比例、支付次數、預付款比例、支付比例、折現率的增大而減小，隨融資費率的增大而增大。但本文是在項目活動工期確定的條件下研究考慮融資費用的承包商Max-NPV項目進度問題，而實際工程項目都是在不確定環境中進行的，如活動工期不確定、網絡優先關系不確定、資源可用量不確定等，因此該問題還有待繼續研究。

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收稿日期：2024-05-13

作者簡介：

寧敏靜（1985—），女，博士，講師，研究方向：項目管理及優化。

李玲（2000—），女，研究方向：項目管理及優化。

何兵（通信作者）（1995—），男，研究方向：項目管理及優化。

逄健（1982—），男，博士，副教授，研究方向：企業管理、創新創業管理。

鄭小強（1981—），男，教授，研究方向：能源經濟管理。