初中數學“寬作業”研究與初探

一、寬作業的概念

寬作業，即有溫度，有藝術，事寬即圓的作業。在大數據時代，我們重視事物之間的因果關系，如一道數學題的條件與結論之間的關系，更重視事物之間的相關關系，如題與題之間運用的相同的知識點，相同或相似的方法、思想等。波利亞有一句膾炙人口的名言：“掌握數學就是意味著善于解題。”需要指出的是，現代興起的“問題解決”（problem solving）比傳統意義上的“解題”有了很大的發展。傳統意義的“解題”注重結果，注重答案，注重的是因果關系，而現代意義的“問題解決”則更注重解決問題的過程、策略以及思維的方法，注重的是相關關系。通過大量同類作業加深學生對某一知識或某一解題方法的固有印象，既不高效又不明智，學生在大量的作業面前，疲于應付，缺乏應有的思考，很難形成自己的見解，知識的內化和遷移過程相當緩慢。寬作業形式，在于解放學生的雙手，調動學生的大腦。通過設置寬作業，讓學生從解決一道題的三分鐘熱度，轉化為解決一類題的持久性溫度，從有技術的解決一道題，到有藝術的解決一類題，充分調動學生的思維，積極全面地思考，從容對付，圓滿解決數學問題。另外，寬作業并非是對現有作業模式的否定，而是對現有作業模式的補充，顧名思義，寬作業，加大現有作業模式的寬度。

二、寬作業的主要特征

波利亞把教會學生解題看做是教會學生思考，培養他們獨立探索能力的一條主要而有效的途徑。寬作業正是為幫助學生實現這一目的作業模式。首先，寬作業以鞏固學科知識為基礎，強調學生的主觀體驗。解題基本功的大小，首先取決于知識的多寡，深淺和完善程度。其次，寬作業注重程序化的解題系統。這個系統集解題思想、解題過程、解題思路、解題方法等于一身，融理論與實踐于一體，這種程序把解題的最后一步，即全面地、有分析地領會所得解法，作為解題的必要環節固定下來。我們常常有這樣的思考：“這道題的解答看起來還不錯，但怎樣才能想出這樣的解答呢？”寬作業模式所要達到的目的，正是剖析解題的思維過程，通過了解解題過程來研究發現和發明的方法和規則。

三、寬作業的教學實施形式

美國數學家哈爾莫斯（P.R.Halmos）認為，問題是數學的心臟。而數學教學的核心是問題的教學。在對寬作業理論研究的指導下，筆者對寬作業模式設置做了如下探索和嘗試：

四、寬作業的具體案例

案例一

題目1（北師大版教材九年級數學上冊第54頁第4題）

如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=30cm，BC=21cm。動點P從點C出發，沿CA方向運動;動點Q同時從點B出發，沿BC方向運動。如果點P，Q的運動速度均為1cm/s，那么運動幾秒時，它們相距15cm？

解：設運動x s時，它們相距15cm，

CP=BQ=x cm，CQ=（21-x）cm，

在Rt△APQ中，∠C=90°，

∴ CP2+CQ2=PQ2，

x2+（21-x）2=152，

x1=9，x2=12

所以，運動9s或12s時，它們相距15cm。

1.解題過程中用到哪些具體知識？

答：勾股定理、解一元二次方程。

2.解題過程中用到哪些具體方法？

答：（1）在圖中標示已知條件;

（2）推導簡單的中間條件（如圖中CQ的長等）;

（3）觀察已知條件和所求結果，尋求它們之間的相關關系;

（4）利用勾股定理建立等量關系。

3.體現了哪些數學思想方法？

答：方程思想

4.需要注意的細節有哪些？

答：（1）運動過程中的不變量和不變關系有哪些;

（2）運動是否終止，何時終止，全面考慮運動過程中的各種情況;

（3）檢查計算的準確性;

（4）檢驗所得結果的合理性。

5.以上思考對解決同類問題有何幫助？

答：提供了解決此類動點問題的一般思路，常用方法等。

題目2（（北師大版教材九年級數學上冊第52頁例1）

如圖，某海軍基地位于A處，在其正南方向200海里處有一重要目標B，在B的正東方向200海里處有一重要目標C，小島D位于AC的中點，島上有一補給碼頭：小島F位于BC上且恰好處于小島D的正南方向，一艘軍艦從A出發，經B到C勻速巡航，一般補給船同時從D出發，沿南偏西方向勻速直線航行，欲將一批物品送達軍艦。已知軍艦的速度是補給船的2倍，軍艦在由B到C的途中與補給船相遇于E處，那么相遇時補給船航行了多少海里？（結果精確到0.1海里）

題目分析：這道題是應用一元二次方程一課中動點類問題的一道例題，教師在教學過程中普遍認為此題的授課難度較大，學生難以理解。如果我們靈活處理教材，以上面題目1做為例題講授，然后設置以上寬作業，讓學生進行題后反思和總結，得到以上解題經驗，再回頭解決題目2，相信會水到渠成。

案例二

題目3（2016年廣東省中考數學卷第25題）

如圖，BD是正方形ABCD的對角線，BC=2，邊BC在其所在的直線上平移，將通過平移得到的線段記為PQ，連接PA、QD，并過點Q作QO⊥BD，垂足為O，連接OA、OP。

（1）請直接寫出線段BC在平移過程中，四邊形APQD是什么四邊形？

（2）請判斷OA、OP之間的數量關系和位置關系，并加以證明;

（3）在平移變換過程中，設y= S△OPB ，BP=x（0≤x≤2），求y與x之間的函數關系式，并求出y的最大值。

解答略

1.解題過程中用到哪些具體知識？

答：正方形的相關性質、平行四邊形的判定、等腰直角三角形、同角或等角的余角相等、三角形全等、二次函數等。

2.解題過程中用到哪些具體方法？

答：（1）在圖中標示已知條件，由此，第（1）問的答案顯而易見;

（2）推導簡單的中間條件，如圖中OB、OQ的長，∠ABO、∠PQO的大小等，仔細觀察便可得△ABO≌△PQO，第（2）問即可證明;

（3）對比需證明的結論，有方向性的思考，尋求條件和結論之間的相關關系，有思考的搭建橋梁（如添加輔助線等），第（3）問要表示三角形面積，若以BP為底，還需要表示BP邊上的高，因此順其自然可以想到過點O作BP的垂線;

（4）利用等腰直角三角形的相關性質，求出BP邊上的高。

3.體現了哪些數學思想方法？

答：分類討論思想等。

4.需要注意的細節有哪些？

答：（1）運動過程中的不變量和不變關系有哪些;

（2）運動是否終止，何時終止，運動方向是否唯一，運動時間是否有限制;全面考慮運動過程中的各種情況;

（3）檢查計算的準確性;

（4）檢驗所得結果的合理性。

5.還有沒有別的解法？

6.以上思考對解決同類問題有何幫助？

答：為解決此類問題提供了指向性思考。

五、結論與建議

解題的念頭往往在不經意間閃現。波利亞說：“它會給你指出整個或部分解題途徑，它或多或少地清楚地向你建議該怎么做。念頭多多少少還是完整的。如果你有一個念頭，你就夠幸運了?！睂捵鳂I的設置，正是為了使得解題的念頭更具有準確性、合理性。當然，寬作業模式也并非總是指引我們這么做，也許有些念頭會把你引入“歧途”，但這并不可怕，因為這并非最糟糕的事情，最糟糕的，是沒有任何念頭。寬作業模式下，學生更容易在問題解決的過程中建立成就感、自信感、對自己的認同感，從而提升學習興趣，并促使學生更主動的思考，更有方向性的思考，更有價值的思考。誠然，對教師而言，在教學實施的過程中，也提出了更高的要求，教師在備學生、備教材的同時，也應同等重要地備作業。充分挖掘每一道題的價值所在，以及題目之間的相關關系，并能向學生闡明或是引導學生關注并理解這種相關關系，從而有溫度、有藝術地，事寬即圓地解決相關問題。

責任編輯 徐國堅