例析軌跡思想在解“點線運動問題”中的應(yīng)用

點線運動問題一直是數(shù)學(xué)高考的熱點和難點題型，因其可以以高中數(shù)學(xué)多個知識內(nèi)容為背景設(shè)題成為熱點，而難在點線是變化的，我們難以把握它們的運動規(guī)律。若能善于運用軌跡思想，則可快速探明問題的求解策略和有效應(yīng)對方法，提高我們分析問題和解決問題的能力。下面結(jié)合具體實例，談?wù)勡壽E思想在解“點線運動問題”中的應(yīng)用。

一、常規(guī)方法和軌跡思想PK——軌跡完勝

例1.（2018北京卷）在平面直角坐標系中，記d為點P（cosθ，sinθ）到直線x-my-2=0的距離。當(dāng)θ，m變化時，d的最大值為（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

思路1：常規(guī)方法，利用點到直線的距離公式、三角函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，求解點到直線距離的最大值。

解法1：由題意得d==，

利用輔助角公式和正弦函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)sin（α-θ）=-1時.

dmax=1+≤3，故d的最大值為3.

思路2：軌跡思想，點P的運動軌跡為單位圓，利用圓的幾何性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化。

解法2：由圖得，點P的坐標為（cosθ，sinθ），而cos2θ+sin2θ=1，所以點P的運動軌跡方程為x2+y2=1，直線x-my-2=0過定點A（2，0），

從圖像可直觀地得到：動點到直線的最大距離為直線與x軸垂直時，即OA+圓的半徑

故d 的最大值為 OH+1≤OA+1=2+1=3，選C。

點評：本題我們利用動點P坐標、直線的恒定關(guān)系，抽象出動點P在單位圓上運動的軌跡特征，直線過定點A的軌跡特征，再借助圓的幾何性質(zhì)，將問題進行轉(zhuǎn)化，從而破解θ，m兩個變量對本題帶來的解題障礙。軌跡思想與常規(guī)方法相比，利用幾何圖形直觀感知，避免了復(fù)雜的運算，化難為易，化繁為簡;能讓學(xué)生更易理解、更快、更準地解決問題;充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的妙用，更好地激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的研究興趣;培養(yǎng)了學(xué)生對數(shù)與形之間的聯(lián)系理解和轉(zhuǎn)換的思維能力。

例2.在ΔABC中，內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，已知a=2，b+c=4，則ΔABC面積的最大值為 .

思路1：常規(guī)方法，是用正余弦定理與基本不等式相結(jié)合得到三角形兩邊乘積的最值，從而得到三角形面積的最值。

解法1：b+c=4，+2bc=16，b+c=4≥2，bc≤4

cosA===-1

SΔABC=bcsinA=bc=，bc≤4

SΔABC=≤，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時，取等號。

思路2：軌跡思想，由已知條件a=2，b+c=4和橢圓定義，可知點A的軌跡可以看成是在長軸為2，短軸為的橢圓。設(shè)點A的縱坐標為yA 即三角形的高，ΔABC的面積為S=BC·yA。當(dāng)點A到BC的距離最大時，ΔABC的面積最大，即點A在D點位置時。

解法2：如圖所示，由已知條件a=2，b+c=4和橢圓定義，點A的運動軌跡方程為+=1，當(dāng)點A運動到運動到D點時，此時三角形BC邊上的高取得最大值OD=，BC=2，則ΔABC的面積達到最大，最大值為。

點評：解三角形中的最值范圍問題有多種解法，本題利用軌跡思想將解三角形與圓錐曲線結(jié)合，通過軌跡圖形直觀感知，結(jié)合問題和圖形的特征，數(shù)形結(jié)合得到快捷解決問題的方法。軌跡思想與常規(guī)方法相比，簡化運算，事半功倍。

通過以上問題，我們發(fā)現(xiàn)在點線運動問題中，所有的動點或變量元素都是在一個固定的運動特征下運動的，即動點軌跡是固定的。而在設(shè)定題目時，一些題會將動點的運動特征在題目中告知考生。但一些題目則會將這一特征隱藏起來，讓學(xué)生自己去研究發(fā)現(xiàn)。但不管如何，只要考生能發(fā)現(xiàn)動點的軌跡特征，得到軌跡方程或軌跡圖形，進而借助軌跡圖形，將問題進行轉(zhuǎn)化，簡化運算，即可輕松解題。

二、軌跡思想在數(shù)學(xué)解題中——大顯身手

例3.（2021新高考1卷，多選題）已知O為坐標原點，點P1（cosα，sinα），P2（cosβ，-sinβ），P3（cosα+β，sinα+β），A（1，0），則（ ）

A.

=

B.

=

C.·=·

D.·=·

考查意圖：本題以三角形式與向量坐標為載體，考查向量運算和三角函數(shù)運算，以及學(xué)生推理能力的核心素養(yǎng)。常規(guī)解法可使用向量坐標運算對四個選項進行計算判斷，但計算量較大，計算易混淆出錯費時費力。若我們抓住四個點的坐標特征將其轉(zhuǎn)化為運動軌跡，那我們就可以較直觀判斷和簡單計算出結(jié)果，有效地避開繁雜的計算。

解：如圖所示，根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，P1，P2，P3的運動軌跡方程x2+y2=1，cosβ=cos（-β），-sinβ=sin（-β），得P2（cos（-β），sin（-β）），點P1，P2，P3分別為角α，-β，α+β的終邊與軌跡圖形的交點。

A中，可得

=

=1，得A對。

B中，可得點A到P1，P2的距離不一定相等，得B錯。

C中，可得·=

cos∠AOP3=cos（α+β），·=

cos∠P1OP2=cos（α+β）， 得C對。

D中，可得·=

cos∠AOP1=cosα，·=

cos∠P2OP3=cos（α+2β）， 得D錯。故答案為A、C。

點評：在本題求解過程中，我們注意到動點P1，P2，P3的恒定關(guān)系特征，利用軌跡思想，抽象出動點在單位圓上運動的軌跡特征，再借助向量模，數(shù)量積的定義，可輕松解題。

例4.如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E是側(cè)面BB1C1C內(nèi)的一個動點（不包含端點），若點E滿足D1E⊥CE，則BE的最小值為 .

常規(guī)解法：根據(jù)空間向量互相垂直的性質(zhì)，結(jié)合空間兩點間的距離公式、三角換元輔助角公式進行求解。

解：如圖建立空間直角坐標系，則C（0，2，0），D1 （0，0，2），B（2，2，0）設(shè)E（x，2，z），x∈[0，2]，z∈[0，2]，=（X，2，Z-2），=（X，0，Z）

因為⊥CE，所以·CE=X2+Z（Z-2）=0，即x2+（z-1）2=1

BE==，因為x2+（z-1）2=1

所以可令X=cosθ，Z=1+sinθ，代入上式，得BE===其中tanαazi2svbpYKCABS/NNW4/s7B7+TSGHUCVkGHEFb5qRTM==2，α∈（0，），所以BE≥，因此BE的最小值為-1。

但該解法對學(xué)生的思維能力、基礎(chǔ)知識綜合運用要求較高，學(xué)生不易理解和找到解題的思路。我們可以抽象出動點E在平面運動的軌跡，利用平面圖形快速找到BE的最小值。

由前解，在得到E點的軌跡方程x2+（z-1）2=1后，我們可得到E點的運動軌跡是以CC1的中點為圓心M，半徑為1，在平面BCC1B1上的半圓。建立平面直角坐標系，得到M（0，1）、B（2，0）、N（0，2），由圖可得當(dāng)連接BM時，BM與圓相交與E，此時BE的距離最小，BM==，BEmin=-1。同時連接NB，當(dāng)E點與N點重合時， BE達到最大值，最大值為BEmax==2。

點評：在本題求解過程中，我們注意到動點E滿足D1E⊥CE的恒定關(guān)系，利用這種恒定關(guān)系，我們可以通過空間坐標知識研究出動點E的運動軌跡，利用軌跡思想，抽象出動點在球上運動的軌跡特征，再借助立體幾何和平面幾何是知識，可輕松解題。只要學(xué)生能將E的運動軌跡轉(zhuǎn)成平面的半圓，那學(xué)生就可以直觀地判斷出BE的最小值和最大值。

總之，軌跡思想在解決點線運動問題時，充分利用了研究對象的幾何特征，創(chuàng)建軌跡模型與代數(shù)的聯(lián)系，從而獲得研究對象軌跡方程或軌跡圖形。即可構(gòu)建多個知識模塊的聯(lián)系與融合，為解決問題提供簡捷思路，且方法巧妙。提升了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等學(xué)科核心素養(yǎng)。這符合高考“多想少算”解題策略。

責(zé)任編輯 徐國堅