折出來的軸對稱——等腰三角形

將一張長方形紙片，按照圖1的要求，先對折，然后用剪刀斜著裁出一部分，再把裁剪得到的直角三角形展開，所得到的三角形是什么形狀呢？

根據(jù)紙片的折剪過程，我們很容易發(fā)現(xiàn)△ABC是等腰三角形，也深刻認(rèn)識(shí)了等腰三角形的定義：有兩條邊相等的三角形叫作等腰三角形。這也是判定等腰三角形的基本方法。

我們將得到的等腰△ABC（如圖1⑦）重新對折，使得兩條腰AB和AC重合。我們可以發(fā)現(xiàn)：等腰三角形是軸對稱圖形，兩底角∠B和∠C重合，BD和CD重合，折痕AD與底邊BC的兩個(gè)夾角∠ADB和∠ADC重合，折痕AD與兩條腰AB、AC的兩個(gè)夾角∠BAD和∠CAD也是重合的。這就驗(yàn)證了等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)定理：（1）等腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線所在的直線是它的對稱軸；（2）等腰三角形的兩底角相等（簡稱“等邊對等角”）；（3）等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合（簡稱“三線合一”）。

我們再思考一下，借助剛才折紙過程給你的啟發(fā)，你能證明“等邊對等角”以及“三線合一”的定理嗎？

例 已知：如圖2，在△ABC中，AB=AC。

求證：∠B=∠C。

證明：作頂角的角平分線AD，由AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，用“SAS”可證明△ABD≌△ACD。可知∠B=∠C，從而證明“等邊對等角”；還可以得出BD=CD，∠ADB和∠ADC相等，都是90°，即AD⊥BC，所以，頂角平分線AD也是底邊BC上的中線和高線，從而證明“三線合一”。

你還能想到其他輔助線的添加方法嗎？

如果不用長方形紙片，用一張普通的不等邊三角形紙片，你還能通過折紙得到一個(gè)等腰三角形嗎？

如圖3，將三角形的一邊BC沿自身折疊，使得點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕MD與AB交于點(diǎn)D，連接CD，沿著CD剪開，展開之后就能得到等腰△BCD了。（證明略）

通過折疊普通三角形得到等腰三角形，我們需要明確構(gòu)造等腰三角形這個(gè)軸對稱圖形，就是要構(gòu)造邊相等或角相等，折疊就是一種軸對稱變換。圖3這種折疊方法就是通過軸對稱構(gòu)造相等的邊。

有興趣的同學(xué)可以繼續(xù)探究，利用折紙“做”出更多的軸對稱圖形。

（作者單位：江蘇省昆山市第二中學(xué)）