感悟基本思想，積累學習經(jīng)驗

幾何的魅力之一在于圖形的對稱之美?！胺蛎酪舱?，上下、內(nèi)外、小大、遠近皆無害焉，故曰美?！薄秶Z》中的這句名言，所強調(diào)的就是對稱美。“軸對稱圖形”是“全等三角形”“軸對稱”（小學所學）的發(fā)展和延續(xù)，也是后續(xù)進一步研究中心對稱的基礎(chǔ)。

整體感悟，形成知識結(jié)構(gòu)

本章的內(nèi)容包括軸對稱與軸對稱圖形，軸對稱的性質(zhì)，設(shè)計軸對稱圖案，線段、角的軸對稱性以及等腰三角形的軸對稱性，運用性質(zhì)作圖等。通過對本章知識之間的邏輯關(guān)系進行歸納，我們可以得到一幅條理清晰、重點突出、關(guān)系嚴謹?shù)乃季S導圖（如圖1）。

同學們，本章學習的基本過程是：概念及其基本性質(zhì)→特例及其基本性質(zhì)→數(shù)學內(nèi)部的應(yīng)用→在現(xiàn)實中的應(yīng)用（欣賞、設(shè)計）。數(shù)學知識之間存在著一定的邏輯關(guān)系，這種關(guān)系體現(xiàn)了知識從哪里來、怎樣形成、到哪里去。我們只有明確了知識的來龍去脈，方能從整體上真正理解數(shù)學知識。

“軸對稱”的核心概念

當一個平面圖形沿著直線l折疊后，如果直線l兩邊的圖形能夠互相重合，那么這個圖形就叫作軸對稱圖形，而這條直線則被稱為對稱軸，直線l兩邊相互疊合的點是對應(yīng)點，也叫對稱點。值得注意的是，對稱軸、對應(yīng)點是兩個關(guān)鍵詞，由此可以派生出一系列對應(yīng)幾何元素，如對應(yīng)線段、對應(yīng)角、對應(yīng)圖形等。這些元素有助于我們探究軸對稱圖形的性質(zhì)。

我們知道，確定軸對稱變換的要素是對稱軸。我們以此為“基準”，將對應(yīng)元素與變換的要素聯(lián)系起來，探究其中的不變量和不變關(guān)系，這就是研究軸對稱基本性質(zhì)的一般方法。在研究軸對稱性質(zhì)時，同學們要“有邏輯地思考”，可以按照“對應(yīng)點→對應(yīng)線段→對應(yīng)角→對應(yīng)圖形”的層次展開對軸對稱性質(zhì)的研究。

例如，如圖2，點P1、P2位于直線l的兩側(cè)，所以線段P1P2與直線l必相交，設(shè)交點為O。若平面沿直線l折疊后，點P1與點P2重合，則P1O與P2O重合，故P1O=P2O；這時，以O(shè)為頂點、l為鄰邊的兩個鄰補角也重合，所以直線l⊥P1P2，于是得到軸對稱的基本性質(zhì)：平面內(nèi)，如果點P1和點P2關(guān)于直線l對稱，那么線段P1P2被對稱軸l垂直平分。

類比這樣的探究方法，如果是兩個圖形關(guān)于直線l對稱，它們又有怎樣的關(guān)系呢？同學們可以結(jié)合圖3，自主研究，并寫下你的發(fā)現(xiàn)。

推理論證，提升能力

在應(yīng)用知識的過程中，我們應(yīng)注重數(shù)學規(guī)律的揭示，解題策略的優(yōu)化，在本章利用圖形探索和發(fā)現(xiàn)解決問題的方法。

例 如圖4，已知△ABC為等腰三角形。證明：等腰三角形底邊上的高線、中線以及頂角平分線重合（三線合一）。

方法1：作AD平分∠BAC，則∠BAD=∠CAD。

在△ABD和△ACD中，

[AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，]

∴△ABD≌△ACD（SAS）。

∴BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°。

∴AD是△ABC底邊上的高線、中線以及頂角平分線。

方法2：取BC中點D，連接AD。通過“SSS”可證△ABD≌△ACD，從而得到AD⊥BC，AD平分∠BAC。

方法3：作AD⊥BC，通過“HL”可證Rt△ABD≌Rt△ACD，從而得到AD平分∠BAC，BD=CD。

方法4（用運動變化的觀點證明）：在△ABC中，AB=AC，沿∠BAC的平分線AD將△ABD翻折，∴∠BAD=∠CAD。∴AB落在射線AC上。∵AB=AC，∴點B與點C重合，從而△ABD與△ACD重合，從而得到AD⊥BC，BD=CD。

同學們，如果將物體繞著某個中心點旋轉(zhuǎn)180°后與原物體重合，這又是什么對稱呢？我們又該如何研究呢？