初中數學圓中最值問題的解題方法探討

【摘要】幾何是數學領域較為重要的內容，也是初中學生在學習時的難點.圓是幾何學的構成元素，在初中出現的平面圖形中屬于重要的內容.在幾何問題的處理中，圓的存在相當于一種工具，能夠在大多數問題處理中使用，由此較快地找到問題處理思路，能夠在短時間解決問題.本文對圓中最值問題進行深入剖析，提供從概念出發，垂線段求最值，以及位置轉化，對稱點求最值等解決圓中最值問題的解題方法，為學生處理相關問題提供新的解題措施，希望對學生解題思路的形成有啟發性作用.

【關鍵詞】初中數學；圓；最值問題；解題方法

圓是幾何圖形中相對重要的內容，在生活、數學等領域出現的頻次較高，所以學生需要在圓的學習中，對于定義、直徑、周長等概念有充分的認識，利于學生空間想象能力的發展，同時可以強化學生的集合思維，便于學生遇到幾何問題后，迅速找到思路，用較短的時間解決問題.圓中最值問題在初中數學領域是相對重要的問題，因其涉及的內容復雜，求解過程需要進行的工作多，所以不少學生對其感到困惑.本文圍繞圓中最值問題進行深入的研究，細致地剖析圓中最值問題，給出解答相關習題的方法.

1從概念出發，垂線段求最值

對圓作垂線，利用垂線段分析圓，建立解題模型，最終給出問題的處理方法.該線段主要由圓上的一點出發，與圓的半徑或直徑相交，為垂直關系的則是垂線段[1].在問題的處理中，如果找不到思路，可以運用作垂線的方法，獲得新的已知條件，隨后與習題原有條件進行聯立，重新分析問題并建立相關的模型.在垂線段的輔助下，找到解決問題的新思路，最終構建問題處理方案，取得圓的最值[2].

例1在圓O中，弦AB=1，AB上有移動的點C，連接OC，過點C作CD⊥OC，CD與圓O有一交點D，CD的最大值是？

分析在求解CD最大值時，學生當下掌握的條件不足，所以不能快速找到問題的答案.此時需要根據問題求解建立新的條件，為此可以選擇在圓中作垂線的方法，增加新的已知條件，與題干中弦AB=1聯立，求解問題.對問題圖形作輔助線OD，如圖1所示.結合題目中給出的信息，線段OC與CD為垂直關系，所以兩者的夾角為90°，將△OCD作為研究對象，OC為最小值時，CD的值最大.因此，對△OCD中各線段的大小關系進行探討，在線段OC與AB垂直時，OC的值也就是最小值，B點、D點重合，此時CD的值最大，CD=12AB，將AB=1代入其中，CD=12.對本題問題的處理，需要將關鍵集中在垂線的設置，否則僅憑題干提供的信息，并不能對CD進行求解.作輔助線后，得到△OCD，當動點變化時，將CD套在△OCD中，對其最值進行分析與判斷，最終求得答案.

學生在問題求解中，除了需要作垂線的輔助線，同時應該具有觀察圖形進行分析的能力，于圖形的動態與靜態變化中，找到臨界點，利用題干給出的信息，進行圖形各類關系的梳理，最終得出問題答案.

2位置轉化，對稱點求最值

在平面上的兩個點，如果其存在以某直線或中心點對稱的關系，則可以將這兩個點稱為對稱點.在圓最值問題的處理中，圓形本身是對稱圖形，教師向學生滲透豐富的對稱知識，學生可以在該種工具的運用下，于習題給出的圖形中作對稱點，增加新的條件，在此基礎上轉化特殊線段的位置與特殊點，在相關條件的運用下求到圓的最值[3].在圓的最值求解中，教師向學生傳授對稱點求解的方法，增加學生在問題分析時可選擇的手段.學生對于可應用對稱法的習題，作對稱點后，只需要計算部分圓中的點，利用幾何圖形對稱性的特點，即可得到問題的答案.在此期間節省不少的工作，還可以避免因計算量過大出現計算失誤的問題[4].

例2圓O中AB是其直徑，點M在圓O上，∠MAB=20°，AB=8，同時點N，P分別為弧MB中點、直徑AB上的動點，如果MN=1，△MNP周長的最小值是？

分析對于該問題，在△MNP周長的求解中，學生可以使用對稱法，找到對解答問題有利的點，并根據直徑作對稱的點.在此基礎上計算部分圖形，隨后利用對稱性解答.

如圖2所示，在解題時作輔助線，得到N′.N′是N關于AB對稱的點，利用該點解答問題.在該對稱點作完后，連接NN′，MN′，ON，ON，OM.連點成線后，相關直線相交的點P′，便是△MNP周長最小時的點.學生發現該關系后，結合習題中給出的條件進行推導，∠A=∠NOB，∠NOB=∠MON，∠MON=20°，∠A=20°.根據該結果，∠MON′=60°，在問題處理時，因三角形各角相等的條件，推導其為等邊三角形，基于等邊三角形的特點，△MNP最小周長為5.

與其他解題方法相比，對稱法的運用可以節省大量的計算量，減少學生在問題處理中所用的時間，便于學生快速獲得答案.在本次習題處理中，學生能否作輔助線，是求解△MNP最小周長的難點，同時對△MNP類型進行判斷，是該問題的另一難點，在學生處理兩個問題后，答案也就呼之欲出了.

3結語

圓中最值問題在初中幾何學中是相對重要的部分，圓的最值問題涉及內容復雜，其中包括圓的性質，學生在問題研究中還需要運用方法判斷圓的最大值與最小值.由于過程復雜，不便于學生建立數學模型，難以對問題進行有效的分析，學生的邏輯思維會受到影響，難以在問題分析與研究中，快速找到解決的方法.數學教師針對學生在圓中最值問題分析中的表現，掌握學生處理此類問題的不足，給出解題方法，強化學生在問題分析與處理中的能力，為學生奠定穩固的學科基礎.

參考文獻：

[1]周利明.初中數學解題中數形結合思維的妙用——以“函數的最值問題”為例[J].數學之友，2023，37（07）：43-45.

[2]何星依.圓中最值問題的幾種解題思路[J].數理天地（初中版），2023（15）：34-35.

[3]左朋法.初中數學解題教學中“圓”的解題解析[J].數理天地（初中版），2023（21）：26-27.

[4]楊麗娟.讓轉化思想在數學課堂中落地生根——以“圓中角的轉化”教學設計為例[J].求知導刊，2023（28）：62-64.