例談初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)試題的解題技巧

【摘要】三角函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)特殊板塊，以學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)為主，主要研究正弦、余弦、正切與余切函數(shù)，屬于中考數(shù)學(xué)中的必考點(diǎn)之一，再加上三角函數(shù)類試題類型較為復(fù)雜，不僅要求學(xué)生具備穩(wěn)固的理論知識(shí)，還對(duì)他們的邏輯思維能力有著較高要求，故而教師應(yīng)提高關(guān)注，教授一些常用的解題技巧，使學(xué)生輕松完成解答三角函數(shù)試題.本文主要對(duì)初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)試題的解題技巧進(jìn)行分析和研究，并分享部分有效解題技巧.

【關(guān)鍵詞】三角函數(shù)；初中數(shù)學(xué)；解題技巧

在初中數(shù)學(xué)課程體系中，三角函數(shù)知識(shí)占據(jù)著重要地位，也是三角函數(shù)知識(shí)體系的基礎(chǔ)構(gòu)成部分，由于涉及的知識(shí)要點(diǎn)較多，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中需掌握大量的公式與原理，導(dǎo)致他們難以系統(tǒng)化地理解該部分內(nèi)容，以至于在解題環(huán)節(jié)經(jīng)常陷入困境當(dāng)中.在初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)解題訓(xùn)練中，教師應(yīng)傳授給學(xué)生一些常用的解題技巧，幫助他們順利突破疑難障礙，使其結(jié)合具體題目的特征與題設(shè)找到準(zhǔn)確、恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，促進(jìn)解題水平的提升.

1采用勾股定理技巧，解答三角函數(shù)試題

勾股定理屬于基本的幾何定理之一，是指直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，不僅是初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中一個(gè)最為基本的公式，也是一個(gè)比較常用的解題技巧.具體來(lái)說(shuō)，初中數(shù)學(xué)教師在三角函數(shù)解題訓(xùn)練實(shí)踐中，應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生巧妙利用勾股定理分析題干內(nèi)容，找出和確定各個(gè)已知條件和信息之間的關(guān)系，使學(xué)生根據(jù)直角三角形的三邊關(guān)系快速確定解題方案，找到更為簡(jiǎn)便的解題方法，最終輔助學(xué)生高效率地解答三角函數(shù)試題[3].

例1如圖1所示，某數(shù)學(xué)興趣小組計(jì)劃測(cè)量大樹(shù)CD的高度，在點(diǎn)A處測(cè)得直立于地面大樹(shù)頂端C的仰角是36°，現(xiàn)在先沿在同一剖面的斜坡AB行走13米到達(dá)坡頂B點(diǎn)處，再沿水平方向行走6米到達(dá)大樹(shù)腳底點(diǎn)D點(diǎn)處，斜面AB的坡度i=1∶2.4，那么大樹(shù)CD的高度為多少米（sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）？

分析該道題目主要考查直角三角形的應(yīng)用、勾股定理、三角函數(shù)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，其中由勾股定理得出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，可做輔助線BF⊥AE于點(diǎn)F，根據(jù)題意知道EF=BD=6米，DE=BF，設(shè)BF=x米，根據(jù)斜面AB的坡度用含x的式子表示AF，然后在Rt△ABF中，根據(jù)勾股定理列方程，求出x的值，得到AE的長(zhǎng)度，隨后在Rt△ACE中，依據(jù)三角函數(shù)求出CE的長(zhǎng)度，即可求出大樹(shù)CD的高度.

詳解畫(huà)輔助線BF⊥AE于點(diǎn)F，

根據(jù)題意可知EF=BD=6，

又因?yàn)镈E=BF，斜面AB的坡度i=1∶2.4，

所以AF=2.4BF，

設(shè)BF=x，

則AF=2.4x，

在Rt△ABF中，根據(jù)勾股定理可得x=5，

則DE=BF=5，

又因?yàn)锳B=13，

所以AF=AB2－BF2=132－52=12，

則AE=AF+EF=12+6米=18米，

在Rt△ACE中，CE=AE×tan36°≈18×0.73≈13.14米，

所以CD=CE－DE≈13.14－5≈8.14米，

所以大樹(shù)CD的高度大約是8.14米.

2利用構(gòu)建模型技巧，解答三角函數(shù)試題

在初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)解題教學(xué)實(shí)踐中，由于不少問(wèn)題都與現(xiàn)實(shí)生活存在著一定的關(guān)聯(lián)，故生活化試題也是一大常見(jiàn)類型，這也是數(shù)學(xué)試題的一大特色.為幫助學(xué)生更好地處理三角函數(shù)類試題，初中數(shù)學(xué)教師可指引他們結(jié)合題目?jī)?nèi)容合理構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，使其先根據(jù)實(shí)際問(wèn)題來(lái)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析和求解，最終根據(jù)結(jié)果實(shí)現(xiàn)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解決，由此達(dá)到降低問(wèn)題復(fù)雜難度的目的，使其輕松完成試題的解答，并加快解題速度[4].

例2如圖2所示，某廠房屋頂為“人”字形設(shè)計(jì)，是一個(gè)等腰三角形的鋼架，其中跨度BC=10米，底角∠B=36°，D為底邊的中點(diǎn)，那么該房屋頂?shù)闹兄鵄D的高度是多少？

（A）5sin36°米.（B）5cos36°米.

（C）5tan36°米.（D）10tan36°米.

分析解答這種現(xiàn)實(shí)生活中比較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，要考慮到采用模型法，即為通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型把復(fù)雜問(wèn)題變得簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題變得具體化，根據(jù)題意可將題干信息建立成一個(gè)等腰三角形模型，再求解這一數(shù)學(xué)模型，結(jié)合正切函數(shù)即可求出AD的高度，然后依據(jù)結(jié)果解決這一實(shí)際問(wèn)題.

詳解根據(jù)題意建立一個(gè)等腰三角形模型，其中AB=AC，BC=10米，AD是等腰三角形底邊BC上的高，

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以得到

BD=CD=12BC=5米，

在Rt△ABD中，∠B=36°，

tan∠B=ABBD，

所以AD=BD×tan36°=5tan36°米，

所以說(shuō)正確答案是（C）選項(xiàng).

3結(jié)語(yǔ)

綜上所述，在初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)試題解題教學(xué)活動(dòng)中，由于學(xué)生是初次接觸三角函數(shù)知識(shí)及試題，相應(yīng)的難度同學(xué)習(xí)其他內(nèi)容與解題較大，往往難以熟練掌握相關(guān)理論知識(shí)要點(diǎn)，以至于在解題實(shí)踐中困難重重，教師要精心安排三角函數(shù)專項(xiàng)解題訓(xùn)練，多傳授給學(xué)生一些常用解題技巧，使其能夠用來(lái)準(zhǔn)確、快速地解答三角函數(shù)試題，為未來(lái)的中考做好充足準(zhǔn)備.

參考文獻(xiàn)：

[1]吳安棟.初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)解題技巧探究[J].現(xiàn)代中學(xué)生（初中版），2022（08）：17-18.

[2]李寧.淺談初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的解題技巧[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2022（09）：65-67.