微元法求旋轉體體積與側面積的微元同一取法

摘要：本文以微分“以直代曲”的幾何意義為基礎，利用切線段代替曲線段的思想，給出了微元法求旋轉體體積與側面積的微分元素同一取法，闡明了兩者微分元素本質上均應是圓臺所對應的微分元素。本文利用定積分的基本計算公式驗證了取圓臺微分元素的正確性，利用初等幾何知識的結論說明了微元法求旋轉體側面積不能取圓柱面為微分元素的錯誤原因。

關鍵詞：旋轉體；微元法；微分

中圖分類號：O13文獻標識碼：A

AUnifiedMethodforSelectingMicro-elementsinCalculationsoftheVolume

andLateralAreaofaRotatingBodyUsingtheDifferentialElementMethod

ZhangJiehuaHanMinghua

Schoolofscience，KailiUniversityGuizhouKaili556011

Abstract：Thisarticleisbasedonthegeometricmeaningof"replacingcurveswithstraightlines"indifferentiation，andusestheideaoftangentlinesegmentsinsteadofcurvedlinesegmentstoprovideaunifiedmethodfordeterminingthedifferentialelementsofthevolumeandlateralareaofarotatingbodyusingthedifferentialelementmethod.Itisclarifiedthatbothdifferentialelementsshouldessentiallybethecorrespondingdifferentialelementsofacirculartruncatedcone.Thisarticleusesthebasiccalculationformulaofdefiniteintegraltoverifythecorrectnessoftakingthedifferentialelementofacirculartruncatedcon，andusestheconclusionofelementarygeometricknowledgetoexplaintheerrorreasonwhythedifferentialelementmethodcannottakethecylindricalsurfaceasthedifferentialelementwhencalculatingthelateralareaofarotatingbody.

Keywords：rotatingbody；differentialelementmethod；differentiation

眾所周知，利用微元法求由一連續曲線繞軸旋轉一周所得到的曲面的面積時，需將狹帶的微量面積近似表示為一圓臺的側面積；而用微元法求由其旋轉體的體積時，需將狹帶的微量體積近似表示為一圓柱的體積。簡言之，微元法求旋轉體側面積時微量元素近似為圓臺面，微元法求旋轉體體積時微量元素近似為圓柱體?，F有的文獻［1］—［5］及其被引用的參考文獻均闡述了以上結論，但未給出兩種不同微分元素之間的聯系。本文將基于微分的幾何意義推導出兩種微分元素之間的關系。在文獻［6］—［8］中，利用推導近似可求量（圓臺面）與圓柱面微分元素之差是否為自變量增量的高階無窮小量，證明了微元法求旋轉體側面積不能取圓柱面為微分元素。其原因是近似可求量與微分元素之差不是自變量增量的高階無窮小，即不滿足微元法的重要先決基礎條件。

本文利用切線段來近似代替曲線段的方法給出旋轉體微分元素的統一取法，即無論是求旋轉體的體積或是側面積，其微分元素均為圓臺所對應的微元。反之，微元法求旋轉體側面積時，若近似可求量取為圓柱面側面積，微分元素取為圓柱面微元，雖然可推導出此時的近似可求量與微分元素之差為自變量增量的高階無窮小量，滿足微元法的所謂重要先決基礎條件，從而得到旋轉體側面積的微分元素為圓柱微元。而本文結合初等幾何知識的結論，得出上述的結論（微元法求旋轉體側面積時取微分元素為圓柱面微元）是不正確的，其本質原因就是微元法的近似可求量與微分元素均未選取正確。

本文為了避免出現知識點結構的死鎖現象（利用欲證的結論推導所需的條件），文中假設長方形或直角梯形的面積計算表達式為已知，即長與寬的某種代數積。從而利用以直角梯形為微小增量的定積分的定義，可以得到圓的面積計算表達式。再利用初等幾何知識，由圓的面積公式可以得到圓錐及圓臺的側面積計算表達式。如圓錐側面積可表示為底面圓的半徑長度、母線長度及圓周率三者之積。同時，文中假設圓臺體積的計算表達式為已知，實際上，利用定積分的定義，可得出截面面積函數為已知的求立體幾何體體積的定積分計算公式，從而可以得到規則正圓錐體積的計算表達式，再利用大圓錐切去頂端的小圓錐的方法，即可得到剩余部分的圓臺體積的計算表達式。

1微元法

微元法思想在定積分的應用中起著重要的作用。如何正確地選取微分元素是問題的關鍵，因此了解微元法中微分元素的本質和理論基礎對于正確選擇微分元素至關重要，是準確寫出積分表達式的關鍵。

微元法實質上是對定積分定義中的“分割、近似求和、取極限”三個步驟的簡化總結與抽象歸納，其方法具有很強的實用性。微元法的本質思想是先將所求量細化為無數個微小增量，再將每個微小增量近似為一個具有規則形狀的可求量。比如求曲邊梯形的面積時，可以將微小增量近似為矩形或直角梯形；求旋轉幾何體的體積時，可以將微小增量近似為一個圓柱體或圓臺體。然后對此近似可求量進行微分分解與定積分運算，則計算結果為所求量的值。簡單地說，利用“微元法”處理復雜的幾何問題時，需利用“化整為零，以常代變”的思想，求出微分元素對應的幾何微分近似表達式，再利用“積零為整，無限累加”，求出整體的積分表達式，從而得到所求結果。

下面給出微元法的具體數學刻畫。設Φ是一個與變量x的變化區間［a，b］相關的所求量，在任意的小區間［x，x+Δx］［a，b］上，設Φ的微小增量的近似可求量為ΔΦ。當變量增量Δx→0時，若近似可求量ΔΦ可表示為關于Δx的微分形式ΔΦ－φ（x）Δx=o（Δx），其中φ（x）為關于變量x的某一連續函數，則記dΦ=φ（x）Δx=φ（x）dx，并稱dΦ=φ（x）dx為所求量Φ的微分元素。此時，在區間［a，b］上，對微分元素兩端同時取積分，即得所求量Φ=∫baφ（x）dx。

眾所周知，在采用微元法求解時，不僅要正確給出所求量Φ的近似可求量ΔΦ外，還需正確給出所求量Φ的微分元素dΦ=φ（x）Δx=φ（x）dx，也就是需確保所求量Φ的近似可求量ΔΦ與其微分元素dΦ之差是變量增量Δx（當Δx→0時）的高階無窮小，即：

limΔx→0ΔΦ－dΦΔx=0（1）

式（1）為應用微元法解決幾何、物理問題的一個重要先決條件。如果式（1）結論不成立，則說明給出的所求量Φ的近似可求量ΔΦ與微分元素dΦ至少有一個是不正確的。不過，即使式（1）結論成立，給出的所求量Φ的近似可求量ΔΦ與微分元素dΦ也不一定是正確的。本文中的反例將說明這一點。

2求旋轉體體積與側面積的微元取法

眾所周知，微（積）分的幾何意義的核心思想是“以直代曲”，即在局部可用切線段近似代替曲線段［1-3］。具體地，當自變量的增量非常小時，曲線段可用此曲線段上某點處的切線段來近似代替此段曲線?，F有的微元法均是利用連接曲線段兩端點的直線段來近似代替微量曲線段［4-8］。本文則不同于現有的研究方法，是以微分“以直代曲”的思想為依據，利用切線段來近似代替曲線段的方法給出旋轉體的微分元素取法，無論是求旋轉體的體積或是側面積，其微元均可統一取為圓臺所對應的微分元素。

設平面光滑曲線C的方程為y=f（x），x∈［a，b］。不妨設f（x）0且遞增下凸（其余情況可類似處理），如下圖所示。此曲線段繞x軸旋轉一周可得到一個曲面旋轉體。在點x0的小區間［x0，x0+Δx］［a，b］上，過x0所對應曲線上的點P作切線段PQ′。根據微分的幾何意義，曲線段PQ可用切線段PQ′近似代替。易知，切線段的長度為：

PQ′=（Δx）2+（dy）2=（Δx）2+（f′（x0）Δx）2

因此，可將所求旋轉體的微小增量近似為一個圓臺。即，若求旋轉體的體積時，所求體積的微小增量可近似為一個可求量的圓臺體積；若求旋轉體的側面積時，所求面積的微小增量可近似為一個可求量的圓臺側面積。

微分元素示意圖

下面分別給出旋轉體的體積與側面積的微分元素，先考慮體積的微分元素。由初等幾何中的圓臺體積公式可知，旋轉體體積微小增量的近似圓臺體積為：

ΔV=13π［f2（x）+（f（x）+f′（x）Δx）2+f（x）（f（x）+f′（x）Δx）］Δx

記Δy=f（x+Δx）－f（x）。

由于曲線光滑，所以有limΔx→0Δy=0，即limΔx→0f（x+Δx）=f（x）。因此，limΔx→0ΔVΔx=limΔx→013π［f2（x）+（f（x）+f′（x）Δx）2+f（x）（f（x）+f′（x）Δx）］=πf2（x）。

由于πf2（x）為關于變量x的連續函數，從而取圓臺體積微分元素為dV=πf2（x）dx，即原函數為φ（x）=πf2（x）。不難驗證所求量V的近似可求量ΔV與微分元素dV滿足條件式（1）。從而由微元法可知，旋轉體體積為：

V=∫baπf2（x）dx（2）

顯然，圓臺體積微分元素與圓柱體積微分元素是相同的。這正是在求旋轉體體積時可以把所求量Φ的微小增量近似為可求量ΔΦ的圓柱體積的本質原因。事實上，由于旋轉體的截面面積函數為A（x）=πf（x）2，x∈［a，b］，從而由定積分的定義［1-3］可推出此旋轉體的體積計算公式即為式（2）。從而驗證了微元法求旋轉體體積時，其體積微元可取圓臺所對應的微分元素dV=πf2（x）dx。

接下來考慮側面積的微分元素。由初等幾何中的圓臺側面積公式可知，旋轉體側面積微小增量的近似圓臺側面積為：

ΔS=π［f（x）+（f（x）+f′（x）Δx）］（Δx）2+（f′（x）Δx）2

由于曲線光滑，因此有：

limΔx→0ΔSΔx=limΔx→0π［f（x）+（f（x）+f′（x）Δx）］1+（f′（x））2

=2πf（x）1+f′2（x）

由于2πf（x）1+f′2（x）為關于變量x的連續函數，從而可取圓臺側面積的微分元素為dS=2πf（x）1+f′2（x）dx，即原函數為φ（x）=2πf（x）1+f′2（x）。不難驗證所求量S的近似可求量ΔS與微分元素dS滿足條件式（1）。從而由微元法可知，旋轉體側面積為：

S=∫ba2πf（x）1+f′2（x）dx（3）

下面利用重積分的知識來驗證式（3）的正確性。首先，由解析幾何的知識可知，曲線y=f（x）繞x軸旋轉一周得到的旋轉體側面的曲面方程為：y2+z2=f2（x），x∈［a，b］，即z=±f2（x）－y2，（x，y）∈D，此處D={（x，y）|y=±f（x），x∈［a，b］}為旋轉體在平面xOy上的投影。利用重積分計算曲面的面積計算公式［1-3］，可知此旋轉體側面積為：

S=2D1+z2x（x，y）+z2y（x，y）dxdy

=2∫ba∫f（x）－f（x）1+f2（x）f′2（x）+y2f2（x）－y2dxdy

=2∫badx∫f（x）－f（x）f（x）1+f′2（x）f2（x）－y2dy

=2∫baf（x）1+f′2（x）arcsinf（x）yy=f（x）y=－f（x）dx

=2π∫baf（x）1+f′2（x）dx。

顯然上式即為（3）式。從而驗證了微元法求旋轉體側面積時，其面積微元應取圓臺所對應的微分元素：

dS=2πf（x）1+f′2（x）dx

本文中的“以直代曲”是用切線段近似曲線段，是以微分的幾何意義為理論依據，而并非常規經驗下的利用連接曲線段兩端點所得到的直線段來近似曲線段的方法。利用本文的思想與技巧，同樣可以得到曲邊梯形的面積微元。事實上，曲邊梯形面積微小增量的近似可求量的切線直角梯形面積為：ΔS=12［f（x）+（f（x）+f′（x）Δx）］Δx。由于曲線光滑，則有：

limΔx→0ΔSΔx=limΔx→012［f（x）+（f（x）+f′（x）Δx）］=f（x）

由于f（x）為關于變量x的連續函數，取曲邊梯形的面積微分元素：dS=f（x）dx，不難驗證所求量S的近似可求量ΔS與微分元素dS滿足條件式（1）。顯然，此切線梯形的面積微分元素實際上就是矩形的面積微元。因此，若已知直角梯形面積公式，利用微元法，即可得出圓的面積計算表達式。從而可知，在長方形或直角梯形的面積計算公式與圓臺的體積計算公式為已知的條件下，利用初等幾何知識與微元法，即可求出旋轉體的體積與側面積，同時又不會出現知識點結構的死鎖現象。

3求旋轉體側面積的微元錯誤取法

本節考慮當求旋轉體側面積時，將旋轉體側面積的微小增量近似為圓柱體的側面積，對應的微分元素取為圓柱面微元，利用初等幾何知識驗證上述微元法求旋轉體側面積是錯誤的。

利用初等幾何知識中的圓柱側面積計算公式可知，旋轉體側面積微小增量的近似圓柱側面積為：

ΔS～=2πf（x）Δx

此時有limΔx→0ΔS～Δx=2πf（x），并取旋轉體側面積微分元素為dS～=2πf（x）dx，即原函數為φ（x）=2πf（x）。不難驗證所求量S～的近似可求量ΔS～與微分元素dS～滿足條件式（1）。從而由微元法可知，此時的旋轉體側面積為：

S～=2π∫baf（x）dx（4）

下面利用初等幾何知識來驗證式（4）的正確性。特別地，取平面直線y=kx，k＞0，x∈［a，b］，此直段繞x軸旋轉一周得到一個圓臺旋轉體。由式（4）可知此旋轉體側面積為S～=kπ（b2－a2）。而利用初等幾何知識中的圓臺側面積計算公式可知，此旋轉體側面積為：

S0=πkb1+k2b－πka1+k2a=πk1+k2（b2－a2）

顯然S～≠S0，從而可知式（4）錯誤。此例告訴我們，給出的所求量Φ的近似可求量ΔΦ與微分元素dΦ即使滿足式（1），其微元法的微分元素的選取也不一定是正確的。這是因為近似可求量ΔΦ與微分元素dΦ的選取均是錯誤的。實際上，對比式（3）與式（4）不難發現，當且僅當f′（x）=0時，即連續函數f（x）恒為常數時，才有S0=S～成立。從而可知，式（4）只是式（3）的一種特殊情形。一般地，平面光滑曲線C：y=f（x）并非恒為平行于x軸的直線，因此旋轉體的側面積微小增量應該近似為圓臺側面積，且微分元素應為圓臺微元dS=πf（x）1+f′2（x）dx，而不是圓柱側面積與相應的圓柱微元，否則將會出現上述的錯誤結果。

結語

由上可知，在求旋轉體的體積與側面積時，它們的微分元素原本都應取為圓臺微元。只不過，由于微分元素取法的先決條件中的極限運算，使得圓臺體積微元等價于圓柱體積微元。但圓臺側面積微元一般情況下不等于圓柱側面積微元。實際上，圓柱側面積微元只是圓臺側面積微元的一種特殊情況?？傊?，用微元法求旋轉體的體積時，所求量的微小增量與微分元素應為圓臺體積及其對應的微元；用微元法求旋轉體的側面積時，所求量的微小增量與微分元素應為圓臺側面積及其對應的微元。

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作者簡介：張杰華（1981—），男，湖南懷化人，研究生，研究方向：計算數學及數學教育。