工程教育背景下“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”教學(xué)改革

摘要：工程教育專業(yè)認(rèn)證（簡稱“工程認(rèn)證”），其核心是將學(xué)生解決問題的能力作為認(rèn)證主體，對學(xué)生提出12條畢業(yè)要求。通過對“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”教學(xué)現(xiàn)狀的分析，提出具體的實施計劃。首先，根據(jù)工程教育認(rèn)證的要求，制定課程教學(xué)目標(biāo)，改進(jìn)教學(xué)大綱。其次，更新教育理念，重構(gòu)教學(xué)重點。最后，按課程教學(xué)目標(biāo)矩陣進(jìn)行能力達(dá)成度評價，并且做到分項分能力進(jìn)行評價，再結(jié)合具體案例，以及我校具體專業(yè)的期末成績，進(jìn)行課程目標(biāo)達(dá)成情況分析。

關(guān)鍵詞：工程認(rèn)證；概率論與數(shù)理統(tǒng)計；教學(xué)評價；課程目標(biāo)達(dá)成度

1概述

工程教育專業(yè)認(rèn)證（簡稱“工程認(rèn)證”），其核心理念是將學(xué)生解決問題的能力作為認(rèn)證主體［1］?！豆こ探逃J(rèn)證標(biāo)準(zhǔn)》（2015版）對學(xué)生畢業(yè)要求一共有12條，其中畢業(yè)要求1工程知識：能用數(shù)學(xué)、自然科學(xué)和專業(yè)知識解決復(fù)雜工程問題［2］。畢業(yè)要求2問題分析：能夠運用概率論及數(shù)理統(tǒng)計的專業(yè)知識表達(dá)相關(guān)行業(yè)的問題［3］。

2課程支撐的畢業(yè)要求

2.1畢業(yè)要求1

通過“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握概率論的基本知識，熟悉研究隨機現(xiàn)象的數(shù)學(xué)工具及方法，樹立正確看待隨機現(xiàn)象的世界觀，掌握統(tǒng)計估計的思想與方法。包括理解隨機變量的概念，掌握隨機變量的6種重要分布，了解生活中的哪些事件服從什么分布；理解隨機變量的期望、方差的意義，并會熟練計算；了解統(tǒng)計學(xué)的四種重要分布，并會做簡單的統(tǒng)計分析，例如區(qū)間估計、假設(shè)檢驗等。

2.2畢業(yè)要求2

通過“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題以及解決問題的能力，并為進(jìn)一步學(xué)習(xí)相關(guān)課程而奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)［4］。

3現(xiàn)狀分析

數(shù)學(xué)教師普遍缺乏工程實踐經(jīng)驗，所以在講解“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程時很少加入工程思想。傳統(tǒng)教學(xué)大綱中主要是課程的性質(zhì)與任務(wù)、教學(xué)重點與難點，重點強調(diào)知識傳授，而工程教育專業(yè)認(rèn)證要求在學(xué)生能力培養(yǎng)上更加突出，同時體現(xiàn)課程考核內(nèi)容及方式對畢業(yè)要求達(dá)成度的支撐情況［5］。本課題根據(jù)工程認(rèn)證對學(xué)生的畢業(yè)要求，利用各工科專業(yè)實際教學(xué)經(jīng)驗，對“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程的教學(xué)模式、教學(xué)設(shè)計及教學(xué)內(nèi)容提出一些建議：

（1）根據(jù)工程教育認(rèn)證的要求制定課程教學(xué)目標(biāo)，改進(jìn)教學(xué)大綱［6］。

（2）更新教育理念，重構(gòu)教學(xué)重點，加入思政教育。

（3）根據(jù)課程教學(xué)目標(biāo)，計算各個達(dá)成度，并且利用課程權(quán)重分配表，結(jié)合不同課程培養(yǎng)目標(biāo)，改進(jìn)教學(xué)評價。

4具體實施計劃

4.1重新修訂教學(xué)大綱

工程認(rèn)證強調(diào)工程能力的培養(yǎng)和訓(xùn)練，所以不僅要把工程認(rèn)證的要求體現(xiàn)在教學(xué)大綱中，而且新的教學(xué)大綱應(yīng)包括課程信息、課程目的、能力要求、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)要求、考核方式說明、教學(xué)評價、參考書籍、誠信要求等［7］。

4.2重構(gòu)教學(xué)重點，加入思政教育

在工程教育專業(yè)認(rèn)證背景下，緊密聯(lián)系實際，優(yōu)化線上線下混合式教學(xué)模式，優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，構(gòu)建“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”教學(xué)案例庫。

案例一：

授課要點：貝葉斯公式

融入點：以故事“狼來了”為例，計算出放羊娃每次謊報情況后，人們對放羊娃說話的信任程度。

問題分析：

首先做出如下假設(shè)：

剛開始人們對放羊娃說話的可信度為0.7，放羊娃本身說的是實話，但人們認(rèn)為其說謊的概率為0.2，放羊娃本身說的是假話同時人們也認(rèn)為其說謊的概率為0.4［8］。

設(shè)B事件代表放羊娃本身說的是實話，則B事件代表放羊娃本身說的是假話，C事件代表人們認(rèn)為放羊娃說謊。

當(dāng)人們第一次聽到“狼來了”時，計算出：p（B）=0.7，p（B）=0.3，p（C|B）=0.1，p（C|B）=0.4，由貝葉斯公式得出：

p（B|C）=p（B）p（C|B）p（B）p（C|B）+p（B）p（C|B）≈0.368

當(dāng)人們第二次聽到“狼來了”時，計算出：p（B）=0.368，p（B）=0.632，p（C|B）=0.1，p（C|B）=0.4，繼續(xù)由貝葉斯公式得出：p（B|C）≈0.127。

當(dāng)人們第三次聽到“狼來了”時，計算出：p（B）=0.127，p（B）=0.873，p（C|B）=0.1，p（C|B）=0.4，再次使用貝葉斯公式得出：p（B|C）≈0.035。

分析如下：當(dāng)山下的人們第一次聽到“狼來了”，迅速跑上山，結(jié)果發(fā)現(xiàn)是放羊娃說假話，由此對放羊娃說話的可信度由07降到了0.368；當(dāng)人們第二次聽到“狼來了”，發(fā)現(xiàn)放羊娃繼續(xù)說假話后，對放羊娃說話的可信度由0368降到了0.127；當(dāng)人們第三次聽到“狼來了”，對放羊娃說話的可信度由0.127降到了0.035，這個概率計算結(jié)果特別小，也即人們已完全不相信放羊娃說的話，也就使得小孩有一個被狼吃掉的結(jié)局。

預(yù)期教學(xué)成效：這個案例指出了做人一定要有誠信，使學(xué)生明白“失去誠信就等同于毀滅自己”的道理，尤其目前大數(shù)據(jù)技術(shù)如此“發(fā)達(dá)”，一旦失去誠信，不只是在讀書期間受影響，將來畢業(yè)走向社會，也會影響到工作與生活。

案例二：

授課要點：數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用

融入點：小時候，商家讓小伙伴集卡片，收集滿這些字樣或者圖片后就可以兌換東西，比如“水滸108將”，又或者“三國卡”等這類集卡活動，成為童年時美好的回憶。有一生產(chǎn)商家將一種卡片放入食品袋中，每一包食品只有一張卡片，其中卡片有n張互不相同，將各類不同的卡片均勻混合。問：需要平均購買多少包這樣的食品才能集齊n張不同的卡片？

問題分析：對于該問題，可以換個思路，把它想象為有一個箱子中，裝有1，2，3，…，n個不同的卡片，重復(fù)獨立從箱子中抽出一張卡，記錄，然后放回，計算平均要摸多少次才能將1，2，3，…，n都記錄完全。

具體過程：設(shè)Xi（i=1，2，3，…，n表示已經(jīng)抽取了i-1張不同的卡片后為了獲取第i張所抽到的次數(shù)，在本案例中，設(shè)每次抽到的概率為pi，可以知道Xi服從參數(shù)為pi的幾何分布，幾何分布期望E（Xi）=1pi（i=1，2，3，…，n），所以要抽取的平均次數(shù)為Y=1p1+1p2+1p3+…+1pt。

接下來計算pi，當(dāng)i=1時，抽取任意一張卡片都是可行有效的，其概率p1=1，當(dāng)i=1時，此時因為只有n-1張有效卡片，因此概率p2=n-1n，那么在抽到i-1張卡片后，后面一次就抽到第i張的有效卡片的概率為pi=n-i+1n（i=1，2，3，…，n），代入Y=1p1+1p2+1p3+…+1pi中，得到：

Y=nn+nn-1+nn-2+…+nn-i+1+…+n2+n1

=n1+12+13+…+1n

分析如下：若要集齊“水滸108”將，就是當(dāng)n=108時，計算出約等于568.51包。

預(yù)期教學(xué)成效：所以小時候想集齊去兌換獎勵的想法是不可取的，從這里也可以看出，就算商家每一張卡片都不少地放進(jìn)食品中，想要集齊卡片花費的價值遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于去兌換獎勵的價值。這也就是商家高明之處，以這種隱晦方式來促銷商品，提高商家收益。

案例三：

授課要點：概率的加法與乘法公式

融入點：在課程期間，教師打算進(jìn)行一次期中考試，關(guān)于試卷的題型，則要求每位同學(xué)自己出一份試卷并上交，考試時將全部試卷混合，然后教師讓每位同學(xué)從中任意抽取一份進(jìn)行答題，現(xiàn)有問題：會不會有很多人都抽到自己出的試卷？

問題分析：這是一個典型的概率問題，將其轉(zhuǎn)化為概率知識進(jìn)行計算：假設(shè)班上共有n個人，則至少有1人抽到自己所出試卷的概率，以及平均有多少人會抽到自己所出的試卷［9］？

具體過程：假設(shè)Ai：表示第i個學(xué)生抽到自己所出的試卷（i=1，2，3…n），則“至少有1人抽到自己所出試卷”這一事件表示為：A1∪A2∪…∪An。由概率的加法公式和乘法公式可得：

P（∪ni=1Ai）=∑ni=1P（Ai）-∑1i＜jnP（AiAj）

+∑1i＜jnP（AiAjAk）…+（-1）n-1P（A1…An）

其中：

P（AiAj）=P（Ai）P（Aj｜Ai）=1n·1n-1

P（AiAjAk）=P（Ai）P（Aj｜Ai）P（Ak｜AiAj）=1n·1n-1·1n-2…

因此：

P（∪n0ed72814a73045b176d2b791560ad0de48724ae646f727d3f5905825810ef6a7i=1Ai）=C1n·1n-C2n·1n·1n-1+…

+（-1）n-1Cnn·1n·1n-1…1

=1-12！+13！-…+（-1）n-11n！

≈1-e-1

≈0.6312

即：至少有1人抽到自己所出試卷的概率為0.6312，從表面上看，這個概率計算結(jié)果較大，但實際上“至少有1人”包含很多種情況，于是計算平均有幾個人會抽到自己的試卷可以用數(shù)學(xué)期望求出［10］。

令Xi=1：表示第i個人抽到自己所出的試卷，Xi=0：表示第i個人沒有抽到自己所出的試卷，則Xi服從（0－1）分布，令X表示抽到自己所出試卷的人數(shù)，則：

X=∑ni=1Xi，E（X）=∑ni=1E（Xi）=n×1n=1

即：n個人中，平均只有1個人會抽到自己所出的試卷。因此，教師的建議是合理的。

預(yù)期教學(xué)成效：一方面有利于學(xué)生從解決實際問題的角度理解晦澀的理論知識；另一方面有利于學(xué)生將理論知識應(yīng)用于實際，用數(shù)學(xué)的知識解決實際問題［11］。

4.3改進(jìn)教學(xué)評價

具體到每次課都會有一定數(shù)量的紙質(zhì)作業(yè)，原則是求精不求多。為了確保學(xué)生是獨立完成作業(yè)的，要求每個學(xué)生講解指定的作業(yè)題目，并錄制成視頻上傳至云空間，教師要做小范圍的抽查。

下面以我校2022年秋學(xué)期通信工程專業(yè)學(xué)生為例：

課程目標(biāo)1達(dá)成情況分析：課程目標(biāo)1主要考查學(xué)生對本門課程基本理論的理解情況。這部分成績平均達(dá)成值為0.86，其中最高達(dá)成值為1，表明學(xué)生對該部分知識整體上掌握較好。最低達(dá)成值為0.45，達(dá)成值低于參考值的學(xué)生有3名，這反映出還有4%的同學(xué)對該部分知識點仍未掌握，從學(xué)生學(xué)習(xí)形成性評價中體現(xiàn)這些同學(xué)存在對基本理論內(nèi)涵理解不透徹或者有偏差，基本概念不清楚，今后學(xué)習(xí)過程中應(yīng)在理論內(nèi)涵、基本概念的理解方面進(jìn)行深入改進(jìn)和提升，教學(xué)中應(yīng)加強實例的列舉等教學(xué)方法的改進(jìn)，提升學(xué)生主動思維的積極性。

課程目標(biāo)2達(dá)成情況分析：課程目標(biāo)2主要考查學(xué)生能夠應(yīng)用基本理論分析實際問題的能力。這部分平均達(dá)成值為0.91，表明學(xué)生對該部分內(nèi)容整體上掌握較好。其中最高達(dá)成值為1，最低達(dá)成值為0.33，達(dá)成值低于參考值的學(xué)生有3名，占4%，反映出這些同學(xué)對該部分知識點仍未掌握，不能達(dá)到熟練運用的程度，不具備運用基本理論知識對實際問題進(jìn)行合理分析的能力。結(jié)合這些學(xué)生的過程性考核，認(rèn)為他們平時的學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)態(tài)度不積極是導(dǎo)致不合格的主要因素。今后需要將情況反饋給輔導(dǎo)員、班主任，加強對學(xué)生的引導(dǎo)和管理，提高其后期學(xué)習(xí)的積極性，還要開展一對一幫扶，彌補其知識短板，提高學(xué)習(xí)效果。

參考文獻(xiàn)：

［1］孫琦，徐錦麗.基于OBE模式的《數(shù)字電路》課程教學(xué)改革研究［J］.電腦知識與技術(shù)，2019，15（35）：170-171.

［2］姜海麗，孫秋華，趙言誠.工程教育專業(yè)認(rèn)證背景下工程實例教學(xué)模式的探析［J］.黑龍江高教研究，2017（02）：162-164.

［3］程晨，周祎，孟超.應(yīng)用型本科高校背景下工程教育認(rèn)證的可行性分析——以通信工程專業(yè)為例［J］.科教導(dǎo)刊（上旬刊），2018（25）：40-43.

［4］張廣文，周華.基于雨課堂的《有機波譜學(xué)》混合式教學(xué)實踐［J］.廣東化工，2020，47（09）：196-197+182.

［5］單連偉，吳澤，董麗敏.基于國際工程教育專業(yè)認(rèn)證的《無機化學(xué)》教學(xué)思考［J］.高教學(xué)刊，2020（01）：10-12.

［6］薛翠真，馮瓊，喬宏霞，等.工程教育認(rèn)證背景下土木工程材料實驗課程教學(xué)方法探索與改革［J］.大學(xué)教育，2020（11）：72-74.

［7］王海波，文海英，郭美珍.面向計算機工程教育認(rèn)證的線性代數(shù)課程建設(shè)與探究［J］.電腦知識與技術(shù)，2019，15（06）：83-84.

［8］張慧，朱慶峰，楊廣芬，等.《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程思政案例設(shè)計及應(yīng)用［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2021，24（04）：117-120.

［9］王妍.數(shù)學(xué)建模思想融入概率統(tǒng)計教學(xué)中的案例［J］.科技展望，2016，26（21）：209.

［10］陳蕊.例談中學(xué)數(shù)學(xué)建模教育［J］.新課程研究，2020（32）：88-89.

［11］定明捷，王遠(yuǎn)偉，石燕芳.基于創(chuàng)新型人才培養(yǎng)的行政管理專業(yè)案例教學(xué)質(zhì)量影響因素探析［J］.教師教育論壇，2019，32（11）：22-30.

基金項目：內(nèi)蒙古科技大學(xué)2023年度教育教學(xué)改革研究項目（項目編號：JY2022082）

作者簡介：薄洪波（1983—），女，漢族，內(nèi)蒙古呼和浩特人，碩士，講師，研究方向：計算數(shù)學(xué)。