上下偏量及其單調性

摘 要：

上/下偏量算子的性質是廣義量詞理論中研究的重要對象，但對它們的單調性計算尚無系統的討論。當句子中只有一個算子時，廣義量詞理論較好地描寫了其語義，也即上偏量算子左右單調上升，下偏量算子左右單調下降。但是，廣義量詞理論沒有注意到下偏量與全稱量化的單調下降有一個重要的差異：下偏量可能出現“空集反例”。另外，也沒有注意到左單調是直接量化，右單調是間接量化，右單調的成分可以自由地加上新的算子。更為重要的是，當句中有兩個算子套疊的時候，廣義量詞理論沒有給出解決方案。實際上，外層成分的單調性由外層算子的左單調決定；內層成分則必須經歷兩步計算：先按照內層算子的左單調性質計算，再將計算結果輸入外層算子的右單調，才能得到最終結果。

關鍵詞：

上偏量； 下偏量； 單調性； 單一算子句； 算子套疊

中圖分類號： H03A010911

一、 引 言

在廣義量詞理論中，有一些以往很少研究的量化算子。其中，“上偏量”指對論元集合X來說，參與事件的量“大于”或“大于或等于”特定的數值或量N，如英語的more than N、at least N，漢語的“至少N、最少N、多于N、不少于N、不低于N、比N多、超過N、N以上”等；“下偏量”指“小于”或“小于或等于”N，如英語的fewer than（under）N、at most N，漢語的“至多（只）N、最多（只）N、少于N、低于N、不多于N、（只）不超過N、比N少、不到N、沒（到/有）N、沒（有）VN、（只）N以下”等。

這些算子的性質對我們理解自然語言非常重要，已經有很多研究成果，如 Barwise、Cooper［1］，Johan van Benthem［2-3］，Kamareddine［4］，蔣嚴、潘海華［5］242-288都對其做了介紹。其中一個重要的性質就是它們對論元的“單調性”的影響。

限于篇幅，本文只討論〈1，1〉類型量詞的單調性。“單調性”（monotonicity）是一個來自數學的概念。設有集合{Xi}，它用于函數F之中，即“F（Xi）”。如果對于任意的自然數i、j，并且Xi≥Xj，其函數的大小也保持相同的順序，也就是F（Xi）≥F（Xj），則稱為單調上升；反之，如果函數的大小順序相反，也就是得到F（Xj）≥F（Xi），則稱為單調下降；如果函數無法確定大小關系，則稱為“不具有單調性”。

廣義量詞理論用集合論來反映邏9eef149cff957445cd7abce6f47a8e16a28008fa8a6c27d7c02e14aa366e013e輯關系，例如“若Xi為真，則Xj為真”（XiXj），也就是邏輯上的簡單蘊涵關系（也有文獻稱為衍推關系，本文暫不討論蘊涵與衍推的區別），用集合來表達，就是“XiXj”，意為“Xi是Xj的子集”。例如“是女同學，則一定是同學”，既可以用“女同學（x）同學（x）”表達，也可以用“女同學同學”來表達。為了理論的一致性，在下面的例句中，不論是實體關系還是謂詞關系，都用“”表示，不再使用“”符號。

現在用集合關系來代替大小關系，就得到有關蘊涵的單調性定義：設有集合XiXj，那么當它們作為另一個更大的謂詞F的論元或成分時，有函數關系“F（Xi）、F（Xj）”，是否也有蘊涵關系（子集關系）存在？這包括三種情況。

i. 依然有順序相同的蘊涵關系，即F（Xi）F（Xj），這稱為“單調上升”（monotone increasing）。例如“三班有位女同學來了三班有位同學來了”（前者為真時，后者一定為真，下同）。

ii. 有順序相反的蘊涵關系，即F（Xj）F（Xi），這稱為“單調下降”（monotone decreasing）。例如“三班的同學都來了三班的女同學都來了”。

iii. 不再具有蘊涵關系，既沒有F（Xi）F（Xj），也沒有F（Xj）F（Xi），也就是不具有單調性。此時，F（Xi）和F（Xj）一定存在不相交的部分。例如“只有兩個女同學來了”當數值“兩個”是焦點成分時，無法推出“只有兩個同學來了”，因為可能來的還有男同學，所以同學來的比兩個多；反之亦然，只有兩個同學來了，可能一個女同學也沒有來，或者其中只有一個是女同學。

上述第i、ii種情況，一些學者分別稱之為“向上衍推”（upward entailing，UE）和“向下衍推”（downward entailing，DE）［6］。第iii種則是非單調的。在國內，張喬［7］73-76等學者對單調性問題做了引介，張曉君［8］84-110、陳振宇［9］387-433等還做了自己的探索與闡述。

廣義量詞理論基本采用“量化三分結構”來刻畫句子的量化意義，有兩個集合與算子有關，可以寫成：Oper（X）（F）。量化算子Oper就像一個處理器，它約束X，并將集合X中的成員X1、X2、……Xi處理為謂詞（predicate）F的論元，可記為F（Xi）；算子不約束F。參看潘海華關于三分結構的介紹［10］163-184，X稱為限定部分（restrictor），或稱“量化域、論域、定義域、變域、個體域”。在語法學和邏輯學中，集合X的成員也稱為argument，譯為“論元、主目”，也稱為variable，譯為“變項”；F稱為核心部分（nuclear scope），或稱“值域”。

我們如果把F中除了X以外的論元記為Y（Y可以是多組，因為可能有多個論元），則算子雖在句法上只約束X，不約束Y，但是在語義上既可以決定X部分的單調性，也可以決定Y部分的單調性。與X有關的稱為“左單調”，與Y有關的稱為“右單調”。按照這一理論，前人已經發現，對上偏量算子，如more than等而言，既是“左單調上升”，又是“右單調上升”；對下偏量算子，如fewer than等而言，則正好相反，既是“左單調下降”，又是“右單調下降”。這一規則不受具體語言符號的制約，具有普遍性。本文主要討論這一普遍性質，對同類算子的差異，如“少于N”和“沒VN”（如“沒買三本”，V指動詞或動詞結構）的區別，將另文討論。

本文要解決的問題如下：

（1）上述規則為什么成立？也就是在一個單一算子的句子中，集合X和Y的關系是什么，而具有這樣的單調性？

（2）廣義量詞中，還有其他算子也可以產生單調下降，例如全稱量化算子和否定算子，它們與下偏量的單調下降有什么本質的不同？

（3）左右單調為什么不對稱？也就是所謂直接量化和間接量化的區別是什么？

（4）更為重要的是，當句中有多個算子（X和Y都有各自的直接約束的算子）套疊時，這些成分的量化性質如何確定？其單調性如何計算？

對于上述4個問題，尚沒有看到系統的論述。尤其是第4條，這是一個需要在語義研究中解決的問題，其復雜性遠遠超出想象。

二、 簡單情況下的上下偏量單調性

一個句子中只有一個量化算子和有兩個或兩個以上算子是不同的問題，后者顯然更為復雜。廣義量詞理論很好地描寫了單一算子量化句，但對多算子的計算，卻有局限性。本節先考察單一算子，即只有上偏量或下偏量算子的句子，目的是考察直接約束的論元和間接影響的論元的關系。

假設有一個二元的事件F（x、y），其中x為算子約束的那個論元，而y是F中除了x以外的論元。假設集合X、Y分別參與事件F，并且分別充當其中的x、y論元（x、y分別是集合X、Y中的元素）。顯然二者是不對稱的，算子直接規定了X的數量，但對Y的數量的影響是間接的（如例1所示，加下劃線的為算子，加粗的成分就是現在考察其單調性的那個成分）。

例1 三班同學 至少喝了十瓶啤酒 三班同學至少喝了十瓶酒（單調上升）

三班的男同學至少喝了十瓶酒 三班的同學至少喝了十瓶酒（單調上升）

三班同學 最多喝了十瓶酒 三班同學最多喝了十瓶啤酒（單調下降）

三班同學 最多喝了十瓶酒 三班的男同學最多喝了十瓶酒（單調下降）

YFX

上偏量“至少”和下偏量“最多”約束后面的數量名成分“十瓶（啤）酒”，所以這一數量名成分為論元x；前面的“三班的同學”為論元y，不受算子的約束。由本例可知，“左/右單調”的“左右”是算子約束的成分與非約束的成分的區分，與句子中實際的左右位置無關，如上例中，x論元在句子的右邊（低位），y在句子的左邊（高位）。也可能順序相反，如“三班至少/最多五個（男）同學喝了（啤）酒”。

在考察x與y的關系之前需要說明一下：本文是語言學的研究，不是數學邏輯的研究，因此為了方便讀者，我們盡量不做邏輯運算，多用具體的例子來說明。

（1）左單調性質

設X1={啤酒}，X2={酒}，Y={三班的同學}，F={喝}

有：X1X2 啤酒酒

則：三班同學喝的啤酒三班同學喝的酒

這一步稍做證明，根據集合的添加公式，當X1X2時，有（M∩X1）（M∩X2），“∩”為交集運算，故：（三班同學喝的東西∩啤酒）（三班同學喝的東西∩酒）。而（三班同學喝的東西∩啤酒）就是“三班同學喝的啤酒”，下同。

有：三班同學喝的啤酒三班同學喝的酒

則有數量關系：|三班同學喝的啤酒|≤|三班同學喝的酒|

“| |”指集合元素的數量。根據傳遞律，我們有：【上偏量】當三班同學喝的啤酒大于或等于十瓶時，三班同學喝的酒也大于或等于十瓶；【下偏量】當三班同學喝的酒小于或等于十瓶時，三班同學喝的啤酒也小于或等于十瓶。

這樣的例句有很多，如例2所示。

例2 上偏量：

他至少拿走了兩斤蘋果 他至少拿走了兩斤水果

籃子里的蘋果多于/超過10斤 籃子里的水果多于/超過10斤

我們廠的單身漢比結了婚的人還多 我們廠沒有結婚的人比結了婚的人還多

他們一次就買了1 000斤以上的大米 他們一次就買了1 000斤以上的糧食

下偏量：

籃子里的水果少于/不到10斤 籃子里的蘋果少于/不到10斤

我們廠沒有結婚的人比辦公室的人還少 我們廠的單身漢比辦公室的人還少

他沒買10斤水果 他沒買10斤蘋果

他們只買了100斤以下的水果 他們只買了100斤以下的蘋果

（2）右單調性質

右單調的計算要復雜得多。因為算子作用在x上，而不是y上，所以要考察y，需要做一個意義（sense）上的轉化。

設：Y1={三班的男同學}，Y2={三班的同學}，X={酒}，F={喝}

有：Y1Y2 三班的男同學三班的同學

則：三班男同學喝的酒三班同學喝的酒

這一步稍做證明：每一個三班男同學在喝什么，也就是三班同學在喝什么，也即：三班男同學喝的東西三班同學喝的東西。再根據添加公式得到：（三班男同學喝的東西∩酒）（三班同學喝的東西∩酒）。而（三班男同學喝的東西∩酒）就是“三班男同學喝的酒”，下同。

有：三班男同學喝的酒三班同學喝的酒

則有數量關系：|三班男同學喝的酒|≤|三班同學喝的酒|

根據傳遞律有：【上偏量】當三班男同學喝的酒大于或等于十瓶時，三班同學喝的酒也大于或等于十瓶；【下偏量】當三班同學喝的酒小于或等于十瓶時，三班男同學喝的酒也小于或等于十瓶。

例3 上偏量：

廣東出口了100億元以上的貨物 華南地區出口了100億元以上的貨物

紅星廠買的大米超過1 000千克 本地三所釀酒廠買的大米超過1 000千克（紅星廠是本地三所釀酒廠之一）

下偏量：

全組一起沒有10塊錢 她（全組成員之一）沒有10塊錢

偵察班全班只能搜索5個以下的地塊 偵察班長只能搜索5個以下的地塊

三、 下偏量與全稱量化的單調下降性的區別

根據廣義量詞邏輯理論，全稱量化肯定句有左單調下降和右單調上升，如例4a所示；而否定句一般既有左單調下降，也有右單調下降，如例4b所示。

例4 a 三班所有的同學都喝了酒 三班所有的男同學都喝了酒（單調下降）

三班所有的同學都喝了啤酒三班所有的同學都喝了酒（單調上升）

XFY

b 三班同學沒有喝酒三班同學沒有喝啤酒（單調下降）

三班同學沒有喝酒 三班的男同學沒有喝酒（單調下降）

YFX

以否定句為例（肯定的全稱量化另行討論），可以看到它的全稱量化否定意義的獲得：

（1）左單調性質

有：|三班同學喝的啤酒|≤|三班同學喝的酒|

否定：當三班同學喝的酒等于0時，三班同學喝的啤酒小于或等于0，又因為不可能小于0，所以這樣一來三班同學喝的啤酒也等于0。

（2）右單調性質

有：|三班男同學喝的酒|≤|三班同學喝的酒|

否定：當三班同學喝的酒等于0時，三班男同學喝的酒小于或等于0，又因為不可能小于0，所以這樣一來三班男同學喝的酒也等于0。

從上述證明過程就可以看到：當沒有喝酒時，一定沒有喝啤酒；當三班有男同學，且三班同學沒有喝酒時，則三班的男同學也一定沒有喝酒，這一點不能為假。但是，對下偏量來說，就會有“例外”，因為量軸本身是不對稱的。

一般來說，量軸的下端是有終點的，就是0量；而上端是沒有終點的，開放的，所以上偏量上升規則總是成立的，如“至少兩個三班的同學來過至少兩個同學來過”，一定是有同學來過。但是下偏量下降卻有一個例外，即可能觸及0（見圖1）。

三班同學最多只喝了十瓶酒，有可能沒有喝紅酒，喝的都是白酒或黃酒，等等，這時說“三班同學最多喝了十瓶紅酒”就不合適了，因為這句話必須理解成“三班同學喝了紅酒”。

三班同學最多只喝了十瓶酒，即使三班有男同學，但也有可能男生都沒有喝酒，喝酒的都是女生，這時說“三班男同學最多喝了十瓶酒”就不合適了，因為這句話必須理解成“三班男同學喝了酒”。

下偏量的這一“反例”，可以稱為“空集反例”；而全稱量化沒有空集反例。

“空集反例”對我們判定句中成分的量化性質非常重要。例如，學界近來開始提出一個問題：“只”字句有多個成分，雖然“只”所約束的焦點成分一般是不具有單調性的，但是“只”字句中其他的成分（也即“只”所不約束的成分），是具有單調下降性質的。這一點由陳莉、潘海華［11］提出，不過他們認為這些成分是全稱量化的。如例5所示。

例5 三班的同學只買書 三班的男同學只買書（單調下降）

“只”只約束“買”和“書”，“三班的（男）同學”不在它的管轄范圍之內，但是，這一論元是單調下降的。我們來看看其獲得單調性的過程：

設Y1={三班的男同學}，Y2={三班的同學}，X={書}，F={買}

有：Y1Y2三班的男同學三班的同學

則：三班的男同學買東西三班的同學買東西

則：三班的男同學買的東西三班的同學買的東西

“只”字句：當三班的同學買的東西屬于書的時候，則根據傳遞律有：三班的男同學買的東西也屬于書。

存在“空集反例”：有可能三班的男同學一點東西也不買，那么這時說“三班的男同學只買書”就不合適了，因為這意味著三班的男同學是買了書的。

由此可見，需要對陳莉、潘海華的觀點做部分修正：“只”字句中不受“只”約束的成分獲得的是下偏量解讀（而不是全稱量化解讀），由下偏量獲得單調向下的性質。

四、 左右單調的不對稱性

陳振宇根據量化三分結構，提出直接量化和間接量化的區別：算子對直接約束的X成分（左量化），是直接量化；而對其不約束的Y成分（右量化），是間接量化［12］88-104。上/下偏量算子，其左單調是直接量化，右單調是間接量化，二者的不對稱性表現在：直接量化具有強制性，量化性質都由該算子決定，并遵循“一個算子一個變項”的規則，不能自由地添加新的算子，如例6所示。

例6 三班的同學至少喝了十瓶啤酒

*三班的同學至少喝了十瓶大多數啤酒

*三班的同學至少喝了十瓶部分啤酒

*三班的同學至少喝了十瓶所有啤酒

……

但是間接量化具有可刪除性，可以自由地加上新的算子，并且由新算子改變原有的單調性，如例7所示。

例7 三班所有的同學至少喝了十瓶啤酒（肯定全稱量化“所有”）

三班沒有一個同學至少喝了十瓶啤酒（否定全稱量化“沒有一個”）

三班有的同學至少喝了十瓶啤酒（部分量化“有的”）

三班部分同學至少喝了十瓶啤酒（部分量化“部分”）

三班大多數的同學至少喝了十瓶啤酒（比例“大多數”）

三班五個同學至少喝了十瓶啤酒（數值“五個”）

三班至少有五個同學至少喝了十瓶啤酒（上偏量“至少五個”）

三班最多只有五個同學至少喝了十瓶啤酒（下偏量“最多五個”）

……

從句子結構關系可以看到，上例中“（三班）同學”受到新加的量化算子“所有、沒有（一個）、有的、部分、大多數、五個、至少有五個、最多只有五個”的句法管轄，也就是被這些算子直接量化（左單調）；“（三班）同學”在量化算子“至少十瓶”的句法管轄之外，是間接量化（右單調）。但是，我們也可以倒過來說，“（啤）酒”受“至少十瓶”的直接量化（左單調），同時受“所有”的間接量化（右單調）。根據廣義量詞理論，每一個算子都有左單調和右單調，如果兩個算子在句中共現，如上所述，那么可能互相出現左右單調“編插”的情況。

與之相反，也可以有以下的配置：

例8 三班最多有五位同學做完了所有的作業（肯定全稱量化“所有”）

三班最多有五位同學沒有做完作業（否定全稱量化“沒有”）

三班最多有五位同學做完了部分的作業（部分量化“部分”）

三班最多有五位同學做完了大多數的作業（比例“大多數”）

三班最多有五位同學做完了兩天的作業（數值“兩天”）

三班最多有五位同學至少做完了兩天的作業（上偏量“至少兩天”）

三班最多有五位同學最多做完了兩天的作業（下偏量“最多兩天”）

……

請注意，漢語中有的算子放在謂語后不大自然，如“有的”，“他看見了有的人”在一些母語者那里是不能接受的，所以我們這里不討論“三班最多有五位同學做完了有的作業”。

廣義量詞理論沒有提供這種情況下的計算辦法，但是在語言中，這是常見的現象，我們不得不加以思考。在漢語語法研究中，迄今只有陳振宇［12］提及：直接量化可以和間接量化共現，作用在同一個成分上；并且，直接量化算子占優勢，也就是相應的間接量化意義被刪除，該成分的量化性質受到直接量化的制約。根據這一原則，一個成分的量化性質應該由約束它的直接量化算子來決定，只有它沒有直接量化算子時，才會受到其他算子的間接量化影響。

但是通過更多的例句，作者發現上述觀點并不完全正確，因為其忽略了一個重要的因素：句中的兩個算子是不平衡的。我們可以看到，句中的兩個算子在句法上可以分為上下兩層，或者用邏輯學的術語，稱為“寬域”和“窄域”，如表1中的例7、例8所示：

陳文主要考察的是外層算子所直接量化的部分，對內層算子的例句考察不足。從本文的研究對象出發，我們認為必須分別對內、外層成分分別進行討論。

五、 內外套疊算子所約束的成分的單調性計算

先看外層算子約束的成分，這里陳振宇［12］是正確的：由直接量化的外層算子的左單調性決定該成分的量化性質，與內層的算子無關。

先來看看例7，這些“新加”的算子都在外層，可以直接決定其直接量化的成分的單調性。例如直接量化算子是左單調下降的，如全稱量化和否定，得到單調下降：

例9 三班所有的同學至少喝了十瓶酒 三班所有的男同學至少喝了十瓶酒

三班沒有一個同學至少喝了十瓶酒 三班沒有一個男同學至少喝了十瓶酒

直接量化算子是左單調上升的，如部分量化，得到單調上升：

例10 三班有的男同學至少喝了十瓶酒 三班有的同學至少喝了十瓶酒

三班部分男同學至少喝了十瓶酒 三班部分同學至少喝了十瓶酒

直接量化算子是非單調的，如具體的比例（大多數，即多于半數）和數值（五個），都不具有單調性。例如“三班有五個同學至少喝了十瓶酒”，當“五個”重讀，強調這一數值時，可能其中男同學少于五個，不能推知“三班有五個男同學至少喝了十瓶酒”；“三班有五個男同學至少喝了十瓶酒”，可能還有女同學也至少喝了十瓶酒，所以也不能推知“三班有五個同學至少喝了十瓶酒”，實際上可能比五個多。

甚至還可以“新加”上/下偏量，也是按照左邊的那個偏量計算：

例11 三班至少有五個男同學至少喝了十瓶啤酒 三班至少有五個同學至少喝了十瓶啤酒

三班最多只有五個同學至少喝了十瓶啤酒 三班最多只有五個男同學至少喝了十瓶啤酒

其次來看看例8，“最多”在外層，不管內層是什么算子，“最多”都決定著約束成分具有單調下降性質：

例12 三班最多有五位同學做完了所有的作業 三班最多有五位男同學做完了所有的作業

三班最多有五位同學沒有做完作業 三班最多有五位男同學沒有做完作業

三班最多有五位同學做完了部分的作業 三班最多有五位男同學做完了部分的作業

三班最多有五位同學做完了大多數的作業 三班最多有五位男同學做完了大多數的作業

三班最多有五位同學做完了兩天的作業 三班最多有五位男同學做完了兩天的作業

三班最多有五位同學至少做完了兩天的作業 三班最多有五位男同學至少做完了兩天的作業

三班最多有五位同學最多做完了兩天的作業 三班最多有五位男同學最多做完了兩天的作業

之所以外層算子具有如此規律，是因為句子后面的部分不管是否有內層算子，都可以看成一個整體命題。下面用例7的一個例子來說明：

三班的男同學 三班的同學

喝啤酒的三班男同學 喝啤酒的三班同學

至少喝了十瓶啤酒的三班男同學 至少喝了十瓶啤酒的三班同學

|至少喝了十瓶啤酒的三班男同學|≤ |至少喝了十瓶啤酒的三班同學|

當“三班沒有一個同學至少喝了十瓶啤酒”為真時：

因為|至少喝了十瓶啤酒的三班同學|=0，根據傳遞律，|至少喝了十瓶啤酒的三班男同學|=0，也就是三班沒有一個男同學至少喝了十瓶啤酒。

再從例8的一個例子來說明：

三班的男同學 三班的同學

做完作業的三班男同學 做完作業的三班同學

做完兩天作業的三班男同學 做完兩天作業的三班同學

|做完兩天作業的三班男同學|≤ |做完兩天作業的三班同學|

當“三班最多有五位同學做完了兩天的作業”為真時：

因為|做完兩天作業的三班同學|≤ 5，根據傳遞律，|做完兩天作業的三班男同學|≤ 5，也就是說，三班最多有五位男同學做完了兩天的作業。

再來看內層算子約束的成分，相比而言，這會復雜得多，因為它不但受到該內層算子的影響，而且也受到外層算子的影響。從邏輯層次出發，它需要經歷兩次邏輯運算：先由內層算子計算一遍，獲得蘊涵關系，再在此關系的基礎上，由外層算子計算，得到最終的結果。這樣的過程稱為“算子套疊”（operator superposition），指外層算子在句法和語義上都套疊在內層算子的外面，因此后者必須將計算結果輸入外層算子，再次運算，如圖2所示。

先看看例7中的算子套疊：

啤酒 酒

喝啤酒 喝酒

至少喝了十瓶啤酒 至少喝了十瓶酒

至少喝了十瓶啤酒的三班同學 至少喝了十瓶酒的三班同學

|至少喝了十瓶啤酒的三班同學| ≤ |至少喝了十瓶酒的三班同學|

當“三班所有同學至少喝了十瓶啤酒”為真時：

因為|至少喝了十瓶啤酒的三班同學|=|三班同學|，根據傳遞律，|三班同學| ≤ |至少喝了十瓶酒的三班同學|，因為不可能大于，所以只能是等于，也就是三班所有的同學都至少喝了十瓶酒（單調上升）。

當“三班沒有一個同學至少喝了十瓶酒”為真時：

因為|至少喝了十瓶酒的三班同學|=0，根據傳遞律，|至少喝了十瓶啤酒的三班同學|=0，也就是三班沒有一個同學至少喝了十瓶啤酒（單調下降）。

當“三班最多只有五個同學至少喝了十瓶酒”為真時：

因為|至少喝了十瓶酒的三班同學|≤5，根據傳遞律，|至少喝了十瓶啤酒的三班同學|≤5，也就是三班最多只有五個同學至少喝了十瓶啤酒（單調下降）。

再如：

啤酒 酒

喝啤酒 喝酒

最多喝了十瓶酒 最多喝了十瓶啤酒（注意此處順序顛倒一次）

最多喝了十瓶酒的三班同學 最多喝了十瓶啤酒的三班同學

|最多喝了十瓶酒的三班同學| ≤ |最多喝了十瓶啤酒的三班同學|

當“三班所有同學最多喝了十瓶酒”為真時：

因為|最多喝了十瓶酒的三班同學|=|三班同學|，根據傳遞律，|三班同學| ≤ |最多喝了十瓶啤酒的三班同學|，因為不可能大于，所以只能是等于，也就是三班所有的同學最多喝了十瓶啤酒（單調下降）。

當“三班最多五個同學最多喝了十瓶啤酒”為真時：

因為|最多喝了十瓶啤酒的三班同學|≤5，根據傳遞律，|最多喝了十瓶酒的三班同學|≤5，也就是三班最多五個同學最多喝了十瓶酒（單調上升）（注意此處順序再顛倒一次）。

再看看例8中的算子套疊：

數學作業 作業

做完了所有作業 做完了所有數學作業（注意此處全稱量化要顛倒順序）

做完了所有作業的三班同學 做完了所有數學作業的三班同學

|做完了所有作業的三班同學| ≤ |做完了所有數學作業的三班同學|

當“三班最多有五位同學做完了所有數學作業”為真時：

因為|做完了所有數學作業的三班同學|≤5，根據傳遞律，|做完了所有作業的三班同學|≤5，也就是三班最多有五位同學做完了所有作業（單調上升）（注意此處順序再顛倒一次）。

當“三班至少有五位同學做完了所有作業”為真時：

因為5≤|做完了所有作業的三班同學|，根據傳遞律，5≤|做完了所有數學作業的三班同學|，也就是三班至少有五位同學做完了所有數學作業（單調下降）。

通過以上案例的分析，可以發現：

（1）所考察的成分的蘊涵關系如為I0；

（2）先是內層算子將自己的左單調性加在其所約束的成分上，得到一個新的蘊含關系I1；

（3）將I1輸入外層算子的右單調性中進行第二次計算，也就是圖2中虛線框內的內容。兩次計算的規則如表2所示，陰影的四格就是算子套疊后的結果。

單調上升就是保持輸入的蘊涵順序，單調下降就是顛倒輸入的蘊涵順序。如果一個上升一個下降，那就顛倒一次，最終得到單調下降，如表2中②③所示；如果兩個上升，那就一直保持單調上升，如①所示；如果兩個下降，那就顛倒兩次，顛倒來顛倒去，從而恢復到原來的順序，也就是最終結果為單調上升，如④所示。

我們可以將外層算子約束成分的計算規則與這里的規則合并起來，綜合如下：

（1）從所考察的成分的直接量化算子開始計算，取該算子的左單調性；

（2）如果在該算子的外層沒有其他算子，則此結果就是最終結果；

（3）如果外層還有其他算子，則將此結果輸入外層算子的右單調性繼續計算，得到最終結果。

六、 結 語

廣義量詞理論是現代邏輯學、理論語言學、計算語言學等交叉領域的重點研究內容之一，如今又是形式語義學的語言計算和信息處理的重要方面，其中單調性又是最為重要的語義性質之一，不但需要確定和證明各種量詞的左/右單調性，而且需要對句子中各種成分的單調性給出具體的計算操作，尤其是對多個算子共現的情況進行分析，后者正是已有研究的弱點。

廣義量詞長期以來不為漢語學界所重視，單調性研究更幾乎是空白。本文所研究的上/下偏量，在漢語語法和語義學中都比較容易被忽略，缺乏漢語句子研究的文獻。

本文首先引入廣義量詞理論關于“上偏量算子是左單調上升和右單調上升”“下偏量算子是左單調下降和右單調下降”的觀點，用漢語的句子進行了論證。然后指出，下偏量會有“空集例外”的現象，而（肯定/否定）全稱量化雖然也可以得到單調下降，但是不會產生“空集例外”。接著論證左右單調是不對稱的，左單調指算子直接約束的成分的單調性，是直接量化，一切由該算子決定，一般不能加入新的算子；但是右單調的成分在算子的管轄范圍之外，算子對它只有間接的量化影響，可以自由地加上新的算子，并且新的算子會起到關鍵的作用。

到這里已經超出了廣義量詞理論和漢語語義學研究迄今所達到的研究深度，而本文還進一步提出“算子套疊”的計算方法：當句子中有兩個量化算子分別各自有自己的直接量化成分時，由于句法位置或邏輯關系的差異會產生套疊，即一個在外層（寬域），一個在內層（窄域），內層對外層沒有影響，外層算子的左單調決定其所約束成分的單調性；外層對內層卻有重大影響，內層算子所約束的成分，先由內層算子的左單調計算，計算結果再輸入外層算子的右單調進行計算，才能得到最終的單調性。

句中有多個算子時，有“算子并列”（如“很多男生和少數女生看過這種電影”）、“算子套疊”（如“很多同學不看電影”）和“算子融合”（兩個算子必須先進行一步邏輯計算，如“表演班的同學不只看這種電影”，“不、只”融合后等于“看了，并看了這種電影以外的電影”）三種情況。上下偏量算子主要是和其他算子套疊，下偏量有時會和“只”類算子融合，如“最多只有五個同學來了”，其中“最多”和“只”融合后還是下偏量，沒有什么意義改變，因此本文主要研究了算子套疊的規律，至于并列和融合將另外討論。

（感謝潘海華、張曉君教授以及陳莉老師的寶貴意見。）

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AT-LEAST/AT-MOST and Their Monotonicity： Direct/Indirect Quantization

and Operator-overlapping

CHEN Zhenyu

Department of Chinese Language and Literature， Fudan University， Shanghai 200433， China

The properties of AT-LEAST/AT-MOST operators are important research objects in the theory of generalized quantifiers， but there is no systematic discussion on their monotonicity calculation. When there is only one operator in a sentence， the generalized quantifier theory describes its meaning well， that is， the AT-LEAST operator is left and right monotone increasing， while the AT-MOST operator is left and right monotone decreasing. However， it was not noticed that there is an important difference in the monotone decreasing between the AT-MOST operator and the universal quantization operator： the AT-MOST operator may exhibit “empty-set counterexamples”. Furthermore， it was not noticed that left-monotony is directly quantified and right-monotony is indirectly quantified. The right monotonic component can be freely added with new operators. More importantly， when two operators overlap in a sentence， the generalized quantifier theory does not provide a solution. In fact， the monotonicity of the outer components is determined by the left-monotonicity of the outer operator. The inner component must go through two steps of calculation： first， calculating according to the left monotonic property of the inner operator， and then inputting the calculation result into the right monotonic property of the outer operator to obtain the final result.

AT-LEAST; AT-MOST; monotonicity; sentence with single operator; operator-overlapping