有理數(shù)：初中代數(shù)的第一次飛躍

在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們主要以正數(shù)和0為研究對象。而到了初中，我們通過生活實例更加深入地理解了“負(fù)數(shù)”的概念，使數(shù)的范圍擴(kuò)充到有理數(shù)。這一跨越標(biāo)志著我們在初中代數(shù)學(xué)習(xí)中的第一次飛躍。“有理數(shù)”給我們帶來什么驚喜呢？下面，讓我們一探究竟吧！

新數(shù)——攬全局，尋結(jié)構(gòu)

負(fù)數(shù)是從現(xiàn)實生活到數(shù)學(xué)應(yīng)用的一個提煉過程。我們可以從引入“新數(shù)”的過程、定義“新數(shù)”的運算、滿足怎樣的運算律這三個維度來深入理解和擴(kuò)充對數(shù)系的認(rèn)識。

我們結(jié)合日常生活經(jīng)驗、利用數(shù)軸工具等，通過對具體實例的歸納，將正數(shù)和負(fù)數(shù)之間的運算類比正數(shù)之間的運算，進(jìn)而定義有理數(shù)的運算，得出運算法則，并運用有理數(shù)的運算解決簡單的問題。

本章的主要內(nèi)容可以概括為有理數(shù)的分類、有理數(shù)的有關(guān)概念和有理數(shù)的運算三部分，具體包括正數(shù)與負(fù)數(shù)、數(shù)軸、絕對值與相反數(shù)等相關(guān)概念，以及有理數(shù)加、減、乘、除、乘方、簡單的混合運算及運算律等運算規(guī)則。具體知識結(jié)構(gòu)如圖1：

工具——易入微，顯直觀

數(shù)軸作為一種直觀的數(shù)學(xué)工具，它通過規(guī)定原點、正方向和單位長度，幫助我們理解有理數(shù)的性質(zhì)和它們之間的關(guān)系。在數(shù)軸上，每個有理數(shù)都對應(yīng)一個點，而數(shù)軸上的順序則反映了數(shù)的大小關(guān)系。通過數(shù)軸，我們可以更容易地理解比較有理數(shù)的大小，絕對值和相反數(shù)的意義。同時，借助數(shù)軸，我們又可以把絕對值與相反數(shù)等概念串在一起。

例如，兩個有理數(shù)相加時，我們可利用數(shù)軸直觀解釋有理數(shù)的加法過程。對于異號兩數(shù)相加，如（-5）+（+3），我們可以通過下面的活動來說明：如圖2，把筆尖先放在數(shù)軸的原點，然后沿數(shù)軸向左移動5個單位長度，再向右移動3個單位長度，這時筆尖停在“-2”的位置上。由此可得，（-5）+（+3）=-2。

因此，加減運算（減法轉(zhuǎn)化為加法）其實就是數(shù)軸上的線性運算。有了能將“入微之?dāng)?shù)”和“直觀之形”相結(jié)合的數(shù)學(xué)工具——數(shù)軸，定能數(shù)形結(jié)合，做v1O7kLdqKTvYN5mKg33SBA==到易入微，顯直觀。

運算——明算理，懂算法

有理數(shù)的運算是本章學(xué)習(xí)的重點，貫穿始終。有理數(shù)的加、減、乘、除運算與我們小學(xué)時學(xué)習(xí)的運算有著十分密切的聯(lián)系，但也有區(qū)別。有理數(shù)的加、減、乘、除運算首先要確定和、差、積、商的符號，再確定和、差、積、商的絕對值。有理數(shù)的加、減運算統(tǒng)一為加法運算，除法運算轉(zhuǎn)化為乘法運算。因此，有理數(shù)的加、減、乘、除運算的實質(zhì)就是進(jìn)行有理數(shù)的加法與乘法運算。運算學(xué)習(xí)的重點是有理數(shù)的加法和乘法的運算法則和運算律。

明算理。明確有理數(shù)運算的基本法則和邏輯。這包括理解有理數(shù)的加、減、乘、除運算規(guī)則，以及它們背后的數(shù)學(xué)原理。例如，加法滿足交換律和結(jié)合律，乘法同樣滿足，而分配律則是乘法對加法的一種擴(kuò)展。

懂算法。掌握有理數(shù)運算的具體步驟和技巧。這不僅包括基本的運算過程，還包括如何簡化計算、使用簡便方法進(jìn)行運算等。其實，運算的過程就是弄懂“怎么算？”“為什么這么算？”“怎樣更好地算？”的過程。

在數(shù)學(xué)的探索旅程中，同學(xué)們?nèi)绻苌朴霉ぞ摺⑶谟谒伎迹芨钊氲卣莆招碌膶W(xué)習(xí)對象，開拓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的新視野，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣。

（作者單位：江蘇省南京市建鄴區(qū)教師發(fā)展中心）