我和正方形有個約會

新學期，學校新建了一個“數學活動俱樂部”，可以讓喜歡數學的同學在里面盡情閱覽數學讀物，暢玩數學闖關游戲，甚至還可以把里面好玩的數學玩具借回家！

這個俱樂部可受大家的歡迎了！這不，今天，我、陸小豆、李嘉陽、王凡相約一起來到了這個奇妙的數學樂園。

11月5日 星期二

拼合的奧秘

“趙依茗，快來看這里裝的是什么！”手快的陸小豆一進門就直奔數學玩具區，只見他拿著一個胖小豬，邊招手邊喊我過去看。原來，這個小豬形狀的容器里裝的是很多大大小小的正方形磁力片，有的邊長1厘米，有的邊長2厘米。

最近我們正好在復習三年級學的圖形周長的相關知識，于是我迫不及待地出了道題考考陸小豆：“將3個邊長都是1厘米的小正方形拼成一個長方形，它的周長是多少厘米？”

“這個簡單哪，看我的！”只見他胸有成竹地拿出3個小正方形擺成一排，“我們可以先算出拼成的大長方形的長是3厘米，寬是1厘米，然后用（3＋1）×2算出周長是8厘米。”

聽了他的回答，我又問他：“既然長方形是由3個同樣的小正方形拼成的，那么它的周長和這3個正方形的周長之和相等嗎？如果不相等，又是為什么呢？”

陸小豆凝神想了想說：“我們數一數就會發現，拼成的長方形周長只包含小正方形的8條邊長，而原來3個小正方形的周長之和一共有12條邊長，因為每兩個小正方形拼合后中間就少了2條邊長，這里一共有2次拼合，每條邊長1厘米，所以一共少了4厘米，因此我們還可以用原來3個正方形的周長之和減去小正方形的4條邊長，算出拼成的長方形周長，1×4×3－2×2＝8（厘米）。”

聽了陸小豆的解釋，我忍不住為他點贊，看來這個家伙學得不錯呢！

還沒等我緩過神來，陸小豆出題考我了：“你來說說，用12個邊長是1厘米的正方形可以拼成幾種不同形狀的長方形？哪一種周長最短？”這可難不倒我，我三下兩下就用小正方形拼出了三種形狀的長方形。對著相應的圖，先分別求出這三個長方形的長和寬，然后根據周長公式算出它們的周長分別是（12＋1）×2＝26（厘米）、（6＋2）×2＝16（厘米）和（4＋3）×2＝14（厘米）。因此“每行拼4個，拼3行”這種長方形的周長最短。

我們在計算幾個圖形拼成的新圖形周長時，一定要先拼一拼或者畫一畫，再根據圖形找出所需的條件，運用周長公式進行計算，或者仔細觀察拼圖過程，思考減少的邊數情況，靈活計算。

用一些相同的小正方形拼成長方形，形狀可能不唯一，周長也不一定相等。當拼成的長方形的長和寬越接近，它的周長就越短；反之，當拼成的長方形的長和寬相差越大，它的周長就越長。

學有所用

1.用3個邊長為2厘米的正方形拼成一個長方形，這個長方形的周長比3個小正方形的周長的和少了多少厘米？

2.用4個邊長為2厘米的正方形拼成一個大正方形，求這個大正方形的周長。

3.用18個邊長為1厘米的正方形拼成一個周長最短的長方形，這個長方形的周長是多少厘米？

11月12日 星期二

巧分正方形

今天來到數學活動俱樂部，我被一個“巧分正方形”的闖關游戲深深吸引。

第一關超級簡單：將一個邊長是12厘米的正方形分成4個小正方形。我想都沒想就居中畫了一個“十字架”，這樣就把正方形的邊長分成了2份，整個大正方形就分成了4個小正方形。

誰知第二關就開始難了：將一個邊長是12厘米的正方形分成6個小正方形。我在紙上比畫來比畫去，半天也沒想出結果。沒辦法，忍不住偷看了旁邊的智慧錦囊，原來，題目雖然要求分成6個小正方形，但這6個小正方形可以一樣大也可以不一樣大。因此我們可以先把邊長平均分成3份，這樣就可以分成9個相等的小正方形，然后再將其中4個相等的小正方形合并成一個較大的正方形，那么正方形的個數就會少掉3個，這樣圖中就一共只有6個小正方形了。

借助這個智慧錦囊，我又順利地闖過了第三關：將一個邊長是12厘米的正方形分成8個小正方形。我按剛才的思路，先把邊長平均分成4份，這樣就一共分成了16個相等的小正方形，然后將其中的9個小正方形合并成一個大一點的正方形，這樣就一下子少掉了8個，16－8＝8（個），順利完成任務。

就這樣我闖入了第四關：將一個邊長12厘米的正方形分成7個小正方形。我以為憑著剛才的辦法，自己勝券在握，誰知想了半天此法居然無用。但我又不想再次打開錦囊，只想依靠自己的力量解答出來。于是我就想，前面都是先多分再合并的，現在我是不是可以轉換一下思路，先分少一點，再接著繼續分呢？果然，當我循著這條思路往下嘗試時，奇跡真的出現了。看，我先把邊長平均分成2份，這樣就把正方形分成了4個相等的小正方形，然后我又把其中一個小正方形再次平均分成了4個更小的小正方形，這樣就增加了3個，整個圖就一共分成了7個小正方形，真是完美！

只要記住以上是如何把一個正方形分成6個、7個、8個小正方形的，再將其中任意一個正方形分成4個更小的正方形，就可以得到9個、10個、11個……反復用此方法，就能把一個正方形分成任意多個小正方形啦。

學有所用

1.將一個邊長12厘米的正方形分成10個小正方形。

2.將一個邊長16厘米的正方形分成11個小正方形。

3.將一個大正方形分割成9個小正方形，至少想出兩種方法。

11月19日 星期二

靈活轉化解難題

當我踏進俱樂部大門的時候，就知道來晚了，幾乎每個項目前都有人站著了，看來喜歡思維探索的同學真不少啊！我在人群里看到了好哥們王凡，他很專注地在思考，根本顧不上搭理我。我又看到了陸小豆，這家伙今天似乎特別興奮，一直在和趙依茗說個不停，我只好在旁邊當個流動的觀眾。

“李嘉陽，快來幫我一起想想！”原來是隔壁班的陳琪琪在叫我，我連忙轉了過去。陳琪琪在看一本書，應該是遇到難題了。我一看，是一道圖形題：一個正方形的邊長是8厘米，AB＝10厘米，CO⊥AB，求CO的長。

讀完題目我感覺似曾相識，想起在奧數社團里老師曾經講過類似的題目，可以在圖上添加一條輔助線來幫助解題。于是我試著把BC連起來，這樣就形成了一個三角形ABC，而且這個三角形的面積正好是正方形面積的一半，8×8÷2＝32（平方厘米），AB是三角形的底，CO正好是這個三角形的高，32×2÷10＝6.4（厘米）。聽了我的一番講解，陳琪琪馬上明白了。他熱情地邀請我和他一起往下看，原來他看的題目全是和正方形有關的圖形趣題。

很快，我們又看到了這樣一道題：下圖是由4個相同的直角三角形拼成的大正方形，如果三角形的直角邊長分別是2厘米和3厘米，大正方形的面積是多少？

因為不知道大正方形的邊長，我們就無法直接求出它的面積。所以我們需要轉換一下思考的角度。通過觀察，我們發現，這個大正方形是由4個相同的直角三角形和中間的一個小正方形組成的，而4個直角三角形的面積可以直接求出，3×2÷2×4＝12（平方厘米），中間小正方形的邊長是3－2＝1（厘米），所以它的面積就是1×1＝1（平方厘米），大正方形的面積就是12＋1＝13（平方厘米）。

通過閱讀，我們又知道了有時候可以借助平移、旋轉等技巧，讓圖形運動起來，巧妙地求出陰影部分的面積。就如右圖中右下方的大正方形可以向上平移2厘米，就形成了一個長方形，長是6厘米，寬是4厘米，陰影部分面積就是6×4＝24（平方厘米）。

解決這些和正方形有關的圖形趣題，我們可以抓住圖形的基本關系，靈活轉換思路，雖然沒有固定的模式，但我們可以用添加輔助線、拼拼移移、等量變換等靈活多樣的形式，將未知變為已知，復雜轉為簡單，綜合化成單一，順利巧妙地解決這些難題。

真正用心去探索，時間就會過得特別快，收獲滿滿的我們依依不舍地結束了與正方形的美好之約。小小正方形，美麗大世界，它還有很多有趣的數學問題等著我們去探索和發現，期待著再一次的美麗相約。

學有所用

1.求圖中陰影部分的面積。（單位：厘米）

2.街心花園中一個正方形的花壇四周有1米寬的水泥路，如果水泥路的總面積是16平方米，那么這個花壇的面積是多少平方米？

3.在大正方形紙里剪掉涂色部分，這3個涂色部分也都是正方形。已知涂色部分的周長是48厘米，則大正方形紙的面積是多少平方厘米？

演示過程

拼合的奧秘

1.用3個邊長為2厘米的正方形拼成一個長方形，一共有2次拼合，少了4個邊長，2×4＝8（厘米）。

2.拼成的大正方形的邊長是4厘米，所以大正方形的周長是4×4＝16（厘米）。

3.用18個邊長是1厘米的小正形拼成周長最短的長方形，長和寬應該最接近，所以長是6厘米，寬是3厘米，周長是（6＋3）×2＝18（厘米）。

巧分正方形

1.

2.

3.（答案不唯一）

靈活轉化解難題

1.

可以在右上角添補輔助線，讓圖形成為一個大長方形，然后用大長方形的面積減去左下角三角形的面積和右上角小長方形的面積。

大長方形面積：（4＋3）×4＝28（平方厘米）

小長方形面積：（4－3）×3＝3（平方厘米）

三角形面積：28÷2＝14（平方厘米）

陰影部分面積：28－3－14＝11（平方厘米）

2.可以把四周小路分割成幾個相同的長方形、正方形進行思考。

方法一：16÷4＝4（平方米），4÷1＝4（米），4－1＝3（米），3×3＝9（平方米）

方法二：1×1＝1（平方米），1×4＝4（平方米），（16－4）÷4＝3（平方米），

3÷1＝3（米），3×3＝9（平方米）

答：這個花壇的面積是9平方米。

3.通過轉化發現，涂色部分的周長正好和大正方形的周長相等。

48÷4＝12（厘米），12×12＝144（平方厘米）。

答：大正方形紙的面積是144平方厘米。