多元表征凸顯概念本質　比較歸納建構概念模型

【摘 要】在“倍的認識”一課教學中，教師基于學情前測，提升教學針對性，學生在自主探究、操作感知與對比抽象中建立量與量之間的關系，進而把握和領悟“倍”的概念本質，促進高階思維能力的發展。

【關鍵詞】多元表征 數量關系 倍的認識 概念本質

一、關注學情，明晰學生認知水平

“倍”是由兩個數量相“比較”而產生的，它的本質是兩個量之間的“倍比”關系。對于三年級學生，“倍”的概念理解起來比較抽象，因此教師要找準學生的思維起點，幫助他們打破對“倍”的錯誤認知。在教學前，教師可以設置相應的前測環節。

前測題1：你認為什么是“倍”？請用舉例子或畫圖來表述你的想法。

前測題2：能用“倍”來說一說蘋果和草莓之間的數量關系嗎？（如圖1）請將思考過程寫下來。

前測題3：畫出一定數量的香蕉和蘋果，要求蘋果的數量是香蕉的3倍。

通過分析前測結果可知，該階段學生對“倍”有一定的認知基礎，但存在概念混淆、標準確定有誤等情況，導致對標準量、比較量、倍數三者之間的關系認識模糊。筆者以為：對于“倍”的含義理解，教師應當引導學生將乘除法教學中的“幾個幾”與新課學習中的“幾倍”進行關聯。因此，教師要讓學生在回顧“幾個幾”的基礎上，把“較小的量”看作一份（倍），再描述“較大的量”中有這樣的幾份（倍），并在循序漸進中加深對“倍”的含義的理解。

二、教學實踐，逐級建構概念模型

1. 基于經驗，激活概念原型特征。

教師可以借助前測“就地取材”，充分暴露學生的認知沖突，以此作為教學的起點，引發學生的思考，辨析概念屬性。

基于前測題3的學生作答情況（如圖2），教師提問：“這些作品都符合要求嗎？”學生表示：圖式②中，應該是蘋果的數量比香蕉多了3倍；圖式④中，蘋果的數量比香蕉多3個；圖式⑥中，只有3個蘋果，缺少一個比較的對象；圖式⑦中，蘋果數量不是香蕉的3倍，應該是比2倍多1個，比3倍少1個。

通過觀察與比較，學生從圖式中明白“比多（少）”和“倍”都是兩個量相比較而產生的結果，并發現“差”與“倍”之間的區別，其中還存在“幾倍多幾”或“幾倍少幾”的關系，進而將原有對“倍”的感性認識向理性認識發展。

2. 建立表象，助力概念本質理解。

概念的形成與同化是概念教學的核心環節。教學時，教師借助可視化素材，為學生感悟抽象概念創設學習支架，引領學生對概念進行直觀表征，并將本質相同的內容關聯起來，完成對核心概念的結構化整合。

教師出示圖2中的圖式①、③、⑤、⑧，提問：“這些圖式中，蘋果和香蕉的數量都不相同，為什么都能表示‘蘋果的數量是香蕉的3倍’？”學生在圈一圈、說一說的過程中，將“幾倍”和“幾份”建立聯系。同時，教師有意識地加入了能與線段圖溝通的學習素材，引導學生經歷從特殊到一般的探究過程，發現線段圖能更好地幫助自己歸納倍數關系。

概念的建立與發展，能幫助學生進一步明確概念的內涵與外延，讓學生有效抓住概念的本質屬性。教學時，教師引導學生經歷概念的建構過程，通過比較事物變化中的共性，促進學生抽象出概念的內在原理，進而增強對概念的本質理解。

3. 強調遷移，搭建概念認知橋梁。

由于學生對“倍”的概念理解層次不一，教師應找準學生的學習生長點，引導學生將已有認知遷移、運用到新知學習中，為學生搭建抽象概念與已有認知之間的“橋梁”，并運用數形結合思想感悟“倍”的本質，逐步建構“倍”的數學模型，深化學生對核心概念的掌握。

教師指著圖2中的圖式①，提問：“如果增加2個蘋果，蘋果的數量是香蕉的幾倍？如果增加4個蘋果呢？”學生說一說、圈一圈（2個2個地圈），并用算式表示。教師追問：“如果增加1根香蕉，蘋果的數量是香蕉的幾倍？”學生上臺板演（3個3個地圈），并用算式表示。教師繼續追問：“如果增加4根香蕉，蘋果的數量是香蕉的幾倍？”生1：“蘋果的數量是香蕉的0倍。”生2：“蘋果和香蕉的數量是一樣的，相差0。”生3：“把6根香蕉看作一份，6個蘋果也剛好是一份，蘋果的數量是香蕉的1倍。”教師：“這個1倍挺有意思，那為什么生1會說是0倍呢？”生4：“他把倍數關系當成了相差關系。”課件出示：如果蘋果有12個，要使蘋果的數量是香蕉的（ ）倍，香蕉會是多少根呢？學生經歷想一想、擺一擺、記一記等操作，厘清相應的倍數關系。

在上述環節中，教師為學生提供大量比較兩個量倍數關系的機會，一方面，學生借助歸納思想方法，經歷“倍”的概念的形成過程，發現一般的規律和特征，豐富“倍”的概念表象；另一方面，讓學生進一步明確標準量的重要性。

4. 辨析溝通，促進概念鞏固深化。

幫助學生掌握“倍”的概念，需要一個反復、持續的過程。教師引導學生對實際問題進行深入思考與討論，學生在經歷完整的概念抽象過程中實現對新知的“理解”到“運用”的飛躍，從而培養學生的抽象概括能力和思維創新能力。

問題1：小朋友踢毽子，小冬踢了9個，小王踢的是小冬的3倍，小王踢了幾個？生1：“小王踢了3個。”生2：“如果小王踢的是3個，小冬踢的又是9個，小王踢的個數怎么會是小冬的3倍呢？”教師追問：“這里表示誰踢毽子的數量是另一人的3倍？”生3：“小王踢毽子的數量是小冬的3倍。”生4：“以小冬踢的9個為標準量，小王踢的就是9個的3倍，27個。”問題2：張阿姨買了12根香蕉和一些桃子，香蕉的數量是桃子的4倍，她買了多少個桃子？學生思考后回答：“以桃子的數量為標準量，香蕉有12根，要把12平均分成4份，每份是3，買了3個桃子。”

從上面的教學可以看出，在解決“倍比”問題時，學生往往會將“比較量”看作“標準量”。教師可以借助問題情境，引導學生正確理解題意，讓學生對概念進行橫向聯系與縱向對比，學生在概念的解構與抽象中增強邏輯思維能力。

5. 延伸拓展，利用直觀巧解問題。

教學過程中，學生要建立和理解一個抽象的概念，就要親身參與到具體的探究活動中，通過多次的數據變化與比較，提煉出一般的解題規律，從而培養學生的模型意識。

課件出示問題：小冬有6支鉛筆，小芳的鉛筆數量比小冬多5支，小李的鉛筆數量是小冬的2倍，小明的鉛筆數量比小冬的3倍少4支，誰的鉛筆數量最多？請用畫一畫、算一算等方法表示你的思考過程。

以上練習，不僅涉及“相差關系”，還用到了“倍數關系”。這樣的練習內容，既是對新課核心知識的提煉，又是對后續解決更為復雜的數學問題進行了滲透，幫助學生獲得更為完整的學習體驗，有助于發展學生思維的連續性。

針對“倍”的模型建構，教師可以通過創設相關聯的、生活化的問題情境鏈，讓學生在“數量變化”中把握“倍”概念的本質。學習過程中，學生借助語言、圖像、符號等方式表征兩個量的關系，促進了多元表征之間的融通，進而加深對概念的理解。

（作者單位：浙江省杭州市余杭區倉前中心小學）

［1］高珺，石榴，邵漢民.創設主題情境 深度建構概念——人教版教材三年級上冊“倍的認識”教學實踐［J］.教學月刊小學版（數學），2023（03）：34-37.