分月餅學數學:圓與扇形的趣味應用

今天是個特別的日子—中秋節！家里的氣氛格外溫馨，爺爺奶奶、爸爸媽媽都圍坐在院子里，桌上擺滿了各式各樣的月餅，還有那輪明晃晃的大月亮掛在天邊，像極了一個巨大的、發光的月餅。

這次爸爸買了很多種口味的月餅，有蛋黃的、蓮蓉的、流心奶黃的、豆沙的，還有鮮肉的，我每一個都想嘗嘗，可惜沒有那么大的肚量，只能一種吃一小塊。大家都是這么想的，所以媽媽讓我把月餅切一下，這樣每個人就都可以多嘗幾種味道了。

我興奮地想要立刻分給大家，但笨手笨腳的我完全不知道該怎么均勻地分。就在這時，我的學霸徽章突然閃爍—是學霸精靈出現了！

“小豆，需要幫忙嗎？”學霸精靈溫和地問道。

我點點頭：“當然！我們家有6個人，怎么才能把這個大月餅分成大小完全一樣的6份呢？”

學霸精靈用它那充滿智慧的聲音說：“陸小豆，這里有個教你關于圓形和扇形知識的好機會哦。”然后它和我解釋了如何用數學的方式來公平地切分月餅。

它告訴我，整個月餅就是一個圓形，我們可以根據家人的數量來計算切割的扇形角度。我們家有6個人，那么就需要把圓形360°平均分成6份，每人就可以得到一個360°÷6＝60°的扇形月餅。

我用尺子和分度器小心翼翼地測量出了60°的角度，并在月餅上輕輕畫下標記—雖然一開始有點緊張，但在學霸精靈的鼓勵下，我覺得自己好像也能成為一個小小學霸！接著，我按照標記用刀切開了月餅，每個人都得到了均等的一份。媽媽還表揚了我，說我這次切得真專業！

爺爺笑著說：“小豆，今天你不僅學會了一點基本的幾何知識，還把月餅分得這么公平，真棒！”我的心里美滋滋的，這個中秋節真是既有趣又有意義。

通過今天的事情，我發現數學真的是無處不在，它不只是課本上枯燥的題目，還是可以應用在我們的日常生活中。

在這個中秋之夜，我不僅收獲了美味的月餅，更收獲了知識的甜蜜。感謝學霸精靈，讓我在快樂中成長，讓數學變得不再枯燥乏味。

我抬頭望向那輪明月，心中充滿了感激和期待。明天，又會有什么新奇的知識等待著我去探索呢？

晚安，親愛的日記本；晚安，中秋之夜。

陸小豆

難度：

已知一個扇形的圓心角為120°，半徑為2，這個扇形的面積和周長各是多少？（π取3.14）

面積4—，周長8—

扇形的面積=—≈—

=—=4—；

周長=2r＋—≈2×2＋—

=4＋4—=8—。

難度：

如圖，有8個半徑為1厘米的小圓，用它們圓周的一部分連成一個花瓣圖形，圖中的黑點是這些圓的圓心。如果圓周率π取3.14，那么花瓣圖形的周長和面積分別是多少？

周長31.4厘米，面積19.14平方厘米

如圖所示：

花瓣圖形在正方形之外的部分是4個半徑為1，圓心角為270°的扇形，每個扇形的弧長是相同半徑的圓周長的—，那么它們的弧長之和是3個圓周長，即3×2πr≈3×2×3.14×1=18.84厘米；每個扇形的面積也是圓面積的—，則它們的面積之和也是圓面積的3倍，即3×πr2≈3×3.14×12=9.42平方厘米。

花瓣圖形的周長在正方形內的部分是4個半圓，它們的周長之和是圓周長的2倍，即2×2πr≈2×2×3.14×1=12.56厘米。

這4個半圓的面積之和也是圓面積的2倍，即2 ×πr2≈2×3.14×12=6.28平方厘米。

因此花瓣圖形的周長就是4個扇形的弧長與4個半圓的周長之和，即：18.84+12.56=31.4厘米。面積就是4個扇形的面積與正方形面積之和，再減去挖掉的4個半圓的面積，即9.42+4×4-6.28=16+3.14=19.14平方厘米。

難度：

求圖中陰影部分的面積。（π取3.14）

107平方厘米

陰影部分為兩個半徑為10厘米的直角扇形減去兩個斜邊為10厘米的等腰直角三角形。

這兩個直角扇形可組成一個半徑為10厘米的半圓，面積是—=50π≈157平方厘米。

這兩個三角形可組成一個直角邊為10的等腰直角三角形，面積是—=50平方厘米。

因此陰影部分的面積是157-50=107平方厘米。

難度：

如圖，一只小狗被拴在一個邊長為4米的正五邊形的建筑物的一個頂點處，四周都是空地。繩長剛好夠小狗走到建筑物外墻邊的任一位置。小狗的活動范圍是多少平方米？（建筑物外墻不可逾越，小狗身長忽略不計，π取3.14）

270平方米

根據題意，繩子的長度應該恰好是半周長10米，那么小狗就恰好能走到建筑物外墻的任一位置。

因為繩子被拴在一個固定點，所以小狗的活動范圍應該是以繩長為半徑的圓形區域，但是由于墻面的限制，所以運動范圍并不是完整的圓形，應該如下圖所示：

小狗的活動范圍是a，b，c，d，e五個部分，都是扇形，其中b和e一樣，c和d一樣。

五邊形的內角和是180°×（5-2）=540°，所以每個內角為540°÷5=108°。

其中a的半徑是10米，圓心角為360°-108°=252°。

扇形b，e的半徑是10-4=6米，圓心角為180°－108°=72°。

扇形c，d的半徑是6-4=2米，圓心角也為72°。

所以活動范圍的總面積為：

Sa+Sb+Sc+Sd+Se

=—×π×102＋—×π×62×2＋—×π×22×2

=70π＋—π＋—π

=86π

≈270

小狗活動的范圍是270平方米。

難度：

一個等邊三角形邊長為2厘米，以它的每個頂點為圓心，邊長為半徑分別作一段弧形成一個曲邊三角形，如圖。現在固定一個曲邊三角形A，用另一個曲邊三角形B圍繞著它滾動。那么B滾動一周回到原來位置的過程中，掃過的面積是多少平方厘米？（π取 3.14）

25.12平方厘米

如下圖，掃過的圖形即為圖中的陰影部分。

陰影部分可分成六小塊。

其中有三塊是扇形，可組成一個半徑為2厘米的半圓，面積是—=6.28平方厘米；

剩下的三塊可以組成半個圓環，外圓的半徑是4厘米，內圓半徑是2厘米，面積是—=18.84平方厘米。

整個陰影的面積是6.28+18.84=25.12平方厘米。

圓與扇形的應用

機器人學

在機器人學中，圓形和扇形被用來設計機器人的轉動部件，使其能夠精準地控制運動和方向。例如，旋轉關節的設計往往參考圓形和扇形，從而實現復雜的機械運動。

天體物理學

天文學家使用圓形和扇形的概念來計算天體的軌道，以及分析由望遠鏡捕獲的星體圖像。通過這些計算，科學家能夠預測星體位置，以及探索宇宙的奧秘。

計算機圖形學

在這個領域，圓形和扇形被用來生成圖形界面中的各種圖形和動畫。通過對這些基本形狀的操作，程序員和設計師能夠營造出各種視覺效果。

人工智能與機器視覺

在進行圖像識別時，圓形和扇形的數學模型常被用來檢測和識別圖像中的特定形狀，例如，自動識別道路標志或者是進行面部識別。

通信技術

無線電波的傳播模型中常常用到圓形和扇形的概念。信號從一個點發射時，其覆蓋的區域可以用圓形來表示，而定向傳播則可能采用扇形模型來優化信號的分布。