勾股定理的靈活應用

勾股定理及其逆定理是初中幾何中極其重要的定理，是幾何學中一顆光彩奪目的明珠，被譽為“幾何學的基石”. 靈活運用勾股定理及其逆定理，可以解決許多問題，下面舉例說明.

一、添線建模構造用

例1 如圖1，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 8，BC = 6，D為AC上一點，若BD是∠ABC的平分線，則AD = .

分析：過點D作[AB]的垂線，垂足為P，得到[CD=DP]，[BC=BP=6]. 設[CD=PD=x]，在[Rt△ADP]中，由勾股定理構造方程，求出x即可.

解：過點D作[AB]的垂線，垂足為P. 在[Rt△ABC]中，∵[AC=8]，BC = 6，∴由勾股定理求得AB = 10. ∵[BD]是[∠ABC]的平分線，∴[∠CBD=∠PBD]. ∵[∠C=∠BPD=90°]，BD = BD，∴[△BDC≌△BDP]（AAS），∴[BC=BP=6]，[CD=PD]. 設[CD=PD=x]，在[Rt△ADP]中，∵[PA=AB-BP=4]，[AD=8-x]，∴[x2+42=] （8 - x）2，∴[x=3]，∴[AD=5]. 故填5.

反思：要用勾股定理求AD的長，需將其放到直角三角形中. 注意到角平分線和直角的條件，聯想到角平分線的性質，作垂線段構造出以AD為斜邊的直角三角形，問題則迎刃而解.

二、變換圖形轉化用

例2 如圖2，圓柱形玻璃杯的杯高為9 cm，底面周長為16 cm，在杯內壁離杯底4 cm的點A處有一滴蜂蜜，此時，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿1 cm且與蜂蜜相對的點B處，則螞蟻從外壁B處到內壁A處所走的最短路程為________cm. （杯壁厚度不計）

分析：如圖3，將杯子側面展開，作點B關于EF的對稱點B′，根據“兩點之間線段最短”可知，螞蟻從外壁B處到內壁A處所走的最短路程可轉化為B′A的長度，用勾股定理求出B′A的長度即可.

解：如圖3，將杯子側面展開，作B關于EF的對稱點B′，連接B′A，則B′A即為最短距離. 在Rt△DB′A中，B′D = 8 cm，AD = 9 - " "4 + 1 = 6（cm），由勾股定理有B′A2 = B′D2 + DA2 = 82 + 62 " "= 102. ∵B′A gt; 0， " " " " " ∴B′A = 10（cm），即螞蟻從外壁B處到內壁A處所走的最短路程為10 cm.

三、無中生有創新用

例3 如圖4，在正方形方格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，點A，B，C，D，E均在小正方形方格的頂點上，線段AB，CD交于點F，若∠CFB = α，則∠ABE等于（ ）.

A. 180° - α " B. 180° - 2α

C. 90° + α " " D. 90° + 2α

分析：如圖4，連接BG，EG，利用網格的特點，可知BG[?]CD，∠GBE = 90°，將∠ABE轉化為∠GBE + ∠ABG，則問題迎刃而解.

解：連接BG，EG，則BG[?]CD，根據平行線的性質得∠ABG = ∠CFB = α. 根據勾股定理得BG2 = 17，BE2 = 17，EG2 = 34，∴BG2 + BE2 = EG2，根據勾股定理的逆定理得出∠GBE = 90°，進而求出∠ABE = ∠GBE + ∠ABG = 90° + α. 故選C.

分層作業

難度系數：★★★ 解題時間：10分鐘

1. 在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，AD是斜邊BC上的高. 若AB = 6，BC = 10，求BD的長. （答案見本頁）

2. 如圖5，正方形ABCD的邊長為4，點E在AB上，BE = 1，F為對角線AC上一動點，則△BFE周長的最小值為（ ）. （答案見本頁）

A. 5 B. 6 C. 7 " " " " D. 8

3. 假期中，小明和同學們到某海島上去探寶旅游，按照探寶圖6，他們登陸后先往東走8千米，又往北走2千米，遇到障礙后又往西走了3千米，再折向北走了6千米后往東一拐，僅走了1千米就找到寶藏，問登陸點A到寶藏埋藏點B的距離是多少千米？（答案見本頁）

（作者單位：上海市松江區教育學院附屬實驗學校）