尋找不等關(guān)系 求解取值范圍

［摘 要］解析幾何中的范圍問題是一類常考題型，解答這類問題的關(guān)鍵是尋找題目中的不等關(guān)系，并將其轉(zhuǎn)化為所求目標(biāo)的取值范圍。文章結(jié)合一些實例進(jìn)行探討，以幫助學(xué)生突破難點，發(fā)展學(xué)生思維，提升學(xué)生的解題能力。

［關(guān)鍵詞］不等關(guān)系;取值范圍；解析幾何

［中圖分類號］ G633.6 ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A ［文章編號］ 1674-6058（2024）26-0029-03

解析幾何中的范圍問題一直是高考命題的熱點，此類問題涉及的知識面廣，綜合性強，計算量大，常常令學(xué)生頭疼。本文結(jié)合實例分析，探究此類問題的解題技巧，以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升他們的解題能力。

一、利用已知條件中幾何量的不等關(guān)系建立不等式

如果題目的已知條件已經(jīng)給出了一些不等關(guān)系，在求解時可直接將這些不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式或目標(biāo)函數(shù)的定義域，進(jìn)而通過解不等式或利用函數(shù)值域求出取值范圍。

［例1］設(shè)橢圓[C：x2a2+y2b2=1]（[a>b>0]）的右焦點為[F]，橢圓[C]上的兩點[A]，[B]關(guān)于原點對稱，且滿足[FA·FB=0]，[FB≤FA≤3FB]，則橢圓[C]的離心率的取值范圍是 。

解析：如圖1，設(shè)橢圓的左焦點為[F]，由橢圓的對稱性可知，四邊形[AFBF]為平行四邊形，又[FA·FB=0]，則[FA⊥FB]，所以平行四邊形[AFBF]為矩形，故[AB=FF=2c]，設(shè)[AF=n]，[AF=m]，則[BF=n]，在Rt[△ABF]中，[m+n=2a]，[m2+n2=4c2]，所以[2mn=（m+n）2-（m2+n2）=4a2-4c2=4b2]，則[mn=2b2]，所以[mn+nm=m2+n2mn=2c2b2]。令[mn=t]，得[t+1t=2c2b2]，又由[FB≤FA≤3FB]，得[mn=t∈1，3]，因為對勾函數(shù)[y=t+1t]在[1，3]上單調(diào)遞增，所以[2c2b2=t+1t∈2，103]，所以[c2b2∈1，53]，即[a2b2-1=a2-b2b2=c2b2∈1，53]，則[a2b2∈2，83]，故[b2a2∈38，12]，所以[e=ca=1-b2a2∈] [22，104]。

評注：求解本題的關(guān)鍵是先利用橢圓的對稱性及向量數(shù)量積為0的結(jié)論證得四邊形[AFBF]為矩形，再利用橢圓的定義與勾股定理，最后結(jié)合條件中的不等關(guān)系得到關(guān)于[a，b，c]的齊次不等式。

二、利用點、直線、曲線之間的位置關(guān)系建立不等式

如果題目的已知條件中給出點、直線、曲線之間的位置關(guān)系，可以根據(jù)這種隱含的不等關(guān)系建立不等式。

［例2］如圖2，設(shè)橢圓[x2a2+y2b2=1]的左、右焦點分別為[F1]，[F2]，焦距為[2c]，點[Qc，a2]在橢圓的內(nèi)部，橢圓上存在點[P]使得[PF1+PQ<32F1F2]成立，則橢圓的離心率的取值范圍為 。

解析：由于點[Qc，a2]在橢圓的內(nèi)部，則[c2a2+a24b2<1]，[a24b2<1-c2a2=b2a2]，[b4a4>14]，[b2a2>12]，[e=ca=c2a2=a2-b2a2=1-ba2<22]。因為[PF1+PQ=2a+PQ-PF2≥2a-QF2=3a2]，當(dāng)[P]，[Q]，[F2]三點共線時等號成立，因為橢圓上存在點[P]使得[PF1+PQ<32F1F2]成立，所以[3a2<32F1F2=32×2c，ca>12]，綜上所述，離心率的取值范圍是[12，22]。

評注：求解點和橢圓位置關(guān)系問題時，如果點[P（s，t）]在橢圓[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]上，則[s2a2+t2b2=1]；在橢圓外，則[s2a2+t2b2>1]；在橢圓內(nèi)，則[s2a2+t2b2<1]。當(dāng)要確定橢圓的離心率的取值范圍時，可以考慮根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)建立不等式直接求得[ca]的取值范圍，也可以先求[ba]的取值范圍，再轉(zhuǎn)化為[ca]的取值范圍。

三、利用圖形的幾何性質(zhì)建立不等式

在幾何圖形的性質(zhì)中存在著不等關(guān)系，如三角形的三邊關(guān)系；直角三角形的斜邊大于直角邊；直線與圓相交時，圓心距小于圓的半徑等。解題時可以利用這些不等關(guān)系建立不等式。

［例3］已知點[M（a，b）]是橢圓[x24+y2=1]外一點，過點[M]作橢圓的兩條切線，且兩條切線恰好互相垂直，[A（1，-4）]，[B（0，-1）]，則[MAMB]的取值范圍為 。

解析：設(shè)過[M（a，b）]的一條橢圓切線[l1]的方程為[y-b=k（x-a）]，即[y=kx-ak+b]，

聯(lián)立[y-b=k（x-a），x24+y2=1，]令[-ak+b=m]，得到切線[l1]的方程為[y=kx+m]，整理得到[（1+4k2）x2+8mkx+4m2-4=0]，因為直線[l1]為橢圓的切線，聯(lián)立得到的一元二次方程的判別式等于零，所以[Δ=（8mk）2-4×（1+4k2）（4m2-4）=16（-m2+4k2+1）=0]，即[m2=4k2+1]，把[-ak+b=m]再代入上式，得[4k2+1=（-ak+b）2]，整理得[（4-a2）k2+2abk+1-b2=0]，因為兩條切線均過[M（a，b）]且相互垂直，則[k1k2=-1]，由韋達(dá)定理可知[k1k2=1-b24-a2=-1]，所以[a2+b2=5]，則點[M]的軌跡方程為[a2+b2=5]；又[MAMB=（a-1）2+（b+4）2a2+（b+1）2=22-2a+8b6+2b]，設(shè)[t=22-2a+8b6+2b]，則[2a+（2t-8）b+6t-22=0]，所以原問題等價于直線[AB]與圓[a2+b2=5]有兩個交點，所以圓心到直線[2a+（2t-8）b+6t-22=0]的距離小于半徑，則[6t-224+（2t-8）2<5]，解得[2<t<92]。

評注：本題先確定點[M]的軌跡方程為[a2+b2=5]，再設(shè)[t=22-2a+8b6+2b]，利用“直線與圓相交時，圓心到這條直線的距離小于半徑”這一幾何特征，建立不等式。

四、利用直線與圓錐曲線位置確定的判別式建立不等式

當(dāng)直線與圓錐曲線有公共點時，將直線方程與圓錐曲線聯(lián)立并消元，得到一個存在實數(shù)根的一元二次方程，它的判別式大于等于零，據(jù)此可以建立不等式。

［例4］已知拋物線的方程為[y2=8x]，若過點[O（-2，0）]的直線[l]與拋物線有公共點，則直線[l]的斜率的取值范圍是 。

解析：依題意可知直線[l]的斜率存在，設(shè)斜率為[k]，直線[l]的方程為[y=k（x+2）]。由[y=k（x+2），y2=8x，]消去[y]并整理得[k2x2+（4k2-8）x+4k2=0]①，當(dāng)[k=0]時，①可化為[x=0]，此時[y=0]，即直線[l]與拋物線相交于（0，0）。當(dāng)[k≠0]時，由于直線[l]與拋物線有公共點，所以①有解，于是[Δ=（4k2-8）2-16k4=-64k2+64≥0]，即[k2-1=（k+1）（k-1）≤0]，解得[-1≤k≤1]且[k≠0]。綜上所述，直線[l]的斜率的取值范圍是[-1，1]。

評注：本題設(shè)出直線[l]的方程，并與拋物線方程聯(lián)立，討論[k]的取值并結(jié)合判別式求解。

五、利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)和坐標(biāo)特征建立不等式

圓錐曲線具有一些獨特的幾何性質(zhì)和坐標(biāo)特征，如橢圓[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的焦半徑[PF∈a-c，a+c]；若[P（x0，y0）]是橢圓上的任一點，則[-a≤x0≤a]，[-b≤y0≤b]，解題時也可以用這些性質(zhì)來建立不等式。

［例5］如圖3，已知[A]是圓[C：x2+y2=9]上一點，過點[A]作垂直于[x]軸的直線，垂足為[B]，點[P]滿足[AB=3AP]。若點[F1（-5，0）]，[F2（5，0）]，則[1PF1+1PF2]的取值范圍是 。

解析：根據(jù)題意設(shè)[P（x，y）]，所以[B（x，0）]，因為[AB=3AP]，所以[Ax，32y]。將點[Ax，32y]代入圓[C：x2+y2=9]，則點[P]滿足橢圓[E：x29+y24=1]的方程，所以[1PF1+1PF2=PF1+PF2PF1PF2=2aPF12a-PF1=] [6PF16-PF1=6-PF12+6PF1=6-PF1-32+9]，又[a-c≤PF1≤a+c]，即[3-5≤PF1≤3+5]，

當(dāng)[PF1=3]時，[-PF1-32+9]最大，[1PF1+1PF2]最小且為[23]；當(dāng)[PF1=3-5]或[3+5]時，[-PF1-32+9]最小，[1PF1+1PF2]最大且為[32]，即[23≤6-PF1-32+9≤32]，即[23≤1PF1+1PF2≤32]，所以[1PF1+1PF2]的取值范圍為[23，32]。故答案為[23，32]。

評注：本題先求出點[P]的軌跡方程，得知它的軌跡為以點[F1（-5，0）]，[F2（5，0）]為焦點的橢圓，再由橢圓的定義將[1PF1+1PF2]化簡為[6-PF1-32+9]，最后結(jié)合焦半徑的取值范圍建立不等關(guān)系求解。

六、利用已知條件中參數(shù)取值范圍建立不等式

解答“利用已知條件中參數(shù)的取值范圍，求新的參數(shù)的取值范圍”類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系，再利用函數(shù)思想求解。

［例6］如圖4，已知拋物線[y2=2px（p>0）]，圓[x-p22+y2=1]與[y]軸相切，直線[l]過拋物線的焦點與拋物線交于[A]，[D]兩點，與圓交于[B]，[C]兩點（[A]，[B]兩點在[x]軸的同一側(cè)），若[AB=λCD]，[λ∈1， 4]，則弦長[AD]的取值范圍為 。

解析：拋物線[y2=2px（p>0）]的焦點為[p2，0]，圓[x-p22+y2=1]的圓心為[p2，0]，半徑為[1]，由于圓[x-p22+y2=1]與[y]軸相切，所以[p2=1]，[p=2]。拋物線的方程為[y2=4x]，圓[（x-1）2+y2=1]，設(shè)直線[l]的方程為[x=my+1]，由[x=my+1，y2=4x，]消去[x]并化簡得[y2-4my-4=0]。

設(shè)[A（x1，y1）]，[D（x2，y2）]，不妨設(shè)[A]在第四象限，[D]在第一象限，則[y1+y2=4m]，[y1·y2=-4]，[x1+x2=m（y1+y2）+2=4m2+2]，[x1·x2=y214·y224=1]，由于[AB=λCD]，所以[AB=λCD]，則[AF-1=λDF-1]，[x1+1-1=λ（x2+1-1）]，即[x1=λx2]，則[λx22=1]，[x2=1λ]，[x1=λ]，所以[x1+x2=λ+1λ=4m2+2]，[m2=14λ+1λ-2]，函數(shù)[λ∈1，2]，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)[y=λ+1λ]在[1，4]上單調(diào)遞增，所以[λ+1λ∈2，52]，[λ+1λ-2∈0，12]，[14λ+1λ-2∈0，18]，即[m2]的取值范圍是[0，18]，所以[AD=x1+x2+2=4m2+4∈4，92]。故答案為[4，92]。

評注：本題先由圓與[y]軸相切求得[p]，并設(shè)直線[l]的方程為[x=my+1]，然后根據(jù)[λ]的取值范圍求得[m2]的取值范圍，再利用弦長公式求得弦長[AD]的取值范圍。在拋物線中，求解過焦點的弦長問題，可設(shè)出直線方程并與拋物線方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)的關(guān)系，然后利用弦長公式[d=x1+x2+p]求解。

綜上，本文從六個方面探討了解析幾何中的不等關(guān)系，以此探究求解解析幾何中的取值范圍問題的方法路徑。不難發(fā)現(xiàn)，無論采取哪種策略，歸根到底都是幾何法與代數(shù)法的應(yīng)用，即若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮通過幾何定義性質(zhì)和相關(guān)結(jié)論來解決；若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可優(yōu)先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值或取值范圍。

（責(zé)任編輯 梁桂廣）