一道直線與圓錐曲線綜合題的多角度解讀

［摘 要］文章從不同的視角對一道直線與圓錐曲線的綜合題進行解讀，以使學生從中感悟解題的真諦，提升思維品質。

［關鍵詞］直線；圓錐曲線；綜合題；解讀

［中圖分類號］ G633.6 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1674-6058（2024）26-0017-03

題不在多，而在于精。把一道好題弄懂、想全、做透，能達到“解一題，通一片”的效果。基于此，本文以一道直線與圓錐曲線的綜合題為例，從不同的視角對其加以解讀，以使學生從中感悟解題的真諦，提升思維品質。

一、試題呈現

已知雙曲線[C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]經過點A（4[2]，3），且焦距是10。

（1）求曲線[C]的方程；

（2）已知點[B（42，-3）]，[D（22，0）]，[E]是線段[AB]上一點，直線[DE]與曲線[C]相交于[G]，[H]兩點。求證：[GDGE=HDHE]。

二、解法探究

本題第（1）問屬于基礎題，只需根據題意列方程組求出[a]，[b]，即可得出曲線[C]的方程，主要考查待定系數法和方程思想。解法如下：

由題意可得[32a2-9b2=1 ]，[2c=10 ]，則由[32a2-9b2=1，2c=10，c2=a2+b2，]解得[a2=16]，[b2=9]，所以曲線[C]的方程為[x216-y29=1]。

本題的難點在于第（2）問，先畫出示意圖（如圖1），求解時，需注意[A]和[B]的坐標[（42，3）]和[（42，-3）]，揭示兩者間的位置關系，以及[D]，[E]，[H]，[G]四點共線的幾何特征。根據[D]，[E]，[H]，[G]四點共線可知，要證[GDGE=HDHE]，即證：斜率相等、共線或[GD·HE=GE·DH]。本題第（2）問有多種證法，技巧性很強，能綜合考查學生數學運算、直觀想象、邏輯推理等數學學科核心素養。下面讓我們帶著問題來探究它的多種解法。

方法1：（聯立法+韋達定理式法）

設[E（42，t）]，[G（x1，y1）]，[H（x2，y2）]，當[x=42]時，即[3216-y29=1]，解得[y=±3]，則[t<3]（這里請大家思考：為什么要求“[t<3]”？），又因為雙曲線的漸近線方程為[y=±34x]，所以當直線[DE]與漸近線平行時，其和雙曲線僅有一個交點，此時直線[DE]的方程為[y=±34（x-22）]，令[x=42]，則[y=±322]，故[t≠322]，則直線[DE]的方程為[y=t22（x-22）]（這里請大家思考：設定的依據是什么？），由[y=t22（x-22），x216-y29=1，]得[（9-2t2）x2+82t2x-16t2-144=0]，所以[x1+x2=82t22t2-9]，[x1x2=16t2+1442t2-9]。

[GD·HE-GE·DH]

[=（22-x1，-y1）（42-x2，t-y2）-（42-x1，t-y1）（x2-22，y2）]

[=2x1x2+2y1y2-62（x1+x2）-t（y1+y2）+32]

[=2+t24x1x2-324t2+62（x1+x2）+4t2+32]

[=4（t2+8）（t2+9）2t2-9-4t2（3t2+24）2t2-9+4t2+32=0]

（這里請大家思考：如何用好根與系數關系式？），所以[GD·HE=GE·DH]，所以[GDHEcos0=GEDHcos0]，即[GDGE=HDHE]。

說明：本題第（2）問不能直接計算長度，否則計算量過大，于是轉化為證明向量數量積之間的關系，采取設[E（42，t）]，從而得到直線[DE]的方程，再使用經典的聯立法，得到韋達定理式，然后證明[GD·HE-GE·DH=0]。

方法2：（反設直線聯立法）

設直線[DE]的方程為[x=my+22]（請大家思考：這樣設定的優點有哪些？），令[x=42]得[y=22m]，故[E42，22m]，設[G（x1，y1）]，[H（x2，y2）]，由[x=my+22，x216-y29=1，]得[（9m2-16）y2+362my-72=0]，則[y1+y2=-362m9m2-16]，[y1y2=-729m2-16]，①

要證[GDGE=HDHE]，只需證[y1y1-22m=y222m-y2]，即證[2m（y1+y2）=y1y2]，據①式易驗證，此式成立，故[GDGE=HDHE]成立。

方法3：（設點不聯立法）

設[G（x1，y1）]，[H（x2，y2）]，由[D，H，G]三點共線可得[y1x1-22=y2x2-22]（這里請大家思考：如何注意并用好對稱性？），兩邊平方得[y21（x1-22）2=y22（x2-22）2]，②

又由[x2116-y219=1，x2216-y229=1，]得[y21=9x2116-1，y22=9x2216-1，]將其代入②式化簡得[x1x2+16=32（x1+x2）]，

要證[GDGE=HDHE]，只證[x1-2242-x1=22-x242-x2]，即證[x1x2+16=32（x1+x2）]，故得證。

方法4：（設點不聯立法）

設[G（x1，y1）]，[H（x2，y2）]，由[D，H，G]三點共線可得[y1x1-22=y2x2-22]，所以[x2y1-x1y2=22（y1-y2）]，又由[x2116-y219=1，x2216-y229=1，]得[x21=16y219+1，x22=16y229+1]要證[GDGE=HDHE]，只要證[y1-y2=42-x242-x1]，即證[x1y2+x2y1=42（y1+y2）]，③

[而x1y2+x2y1 =x21y22-x22y21x1y2-x2y1 =16y219+1y22-16y229+1y2122（y1-y2） =42（y1+y2），]

即③式成立，故[GDGE=HDHE]得證。

方法5：（三角萬能公式換元不聯立法）

設[G4·1+t211-t21，3·2t11-t21]，[H4·1+t221-t22，3·2t21-t22]（這里請大家注意：標準方程[x216-y29=1]與三角萬能公式[sec2α-tan2α=1]的關聯，利用三角萬能公式表示[secα]，[tanα]），由[D]，[H]，[G]三點共線可得[3·2t11-t214·（1+t22）1-t21-22=3·2t21-t224·（1+t22）1-t22-22]，化簡得[t1t2=3-22]④，要證[GDGE=HDHE]，只要證[yG-yH=42-xG42-xH]，即證[3·2t11-t21-3·2t21-t22=42-4·1+t211-t2142-4·1+t221-t22]，即證[-t1t2=42-4-（42+4）t2142-4-（42+4）t22]，即證[（42-4）（t1+t2）=（42+4）（t1+t2）t1t2]，即證[42-4=（42+4）t1t2]，⑤

將④式代入⑤式，成立，故[GDGE=HDHE]得證。

三、解后反思

一般而言，解決直線與圓錐曲線綜合題的方法主要有以下三種：

（一）根與系數的關系法（主流方法）

設出動直線的方程并與圓錐曲線方程聯立消元得到關于[x（y）]的一元二次方程，進而得出兩根之和與兩根之積，同時兼顧[Δ>0]或[Δ=0]的要求，利用兩根之和與兩根之積進行整體代換、整體變形而求解。

（二）多變量多參數聯動變換法（圓曲不聯立）

此種方法不聯立方程消元求解，而是直接將所設出的點的坐標代入曲線（直線）的方程和題設中，得到若干個關于點的坐標與參數間的關系式，對這些關系式進行整體變形、整體代換而求解。如弦中點問題常用點差法處理，此種方法是對駕馭多變量多參數代數式的能力及變換技巧的考驗。

（三）設點求點法

上述兩種方法都采用了設而不求的策略。當問題中直線與曲線的交點易求時，可考慮直接求出點的坐標進行求解。

四、一點思考

數學題量無限，而學習時間有限。因此，為了提高學生的解題能力，教師在解題過程中必須注重選題的針對性和解題的有效性。基于此，筆者產生了以下幾點思考：

（一）選好題

新高考年年創新，力求全面考查學生的能力素養。因此，精選試題尤為重要。作為教師，我們每日都能接觸來自四面八方的各種資料中的試題，但不難發現，這些試題中大多含金量不高，有的僅是知識的簡單拼湊，有的解法生硬嫁接，有的則過于繁難偏怪。若全盤接收，顯然失之偏頗。因此，我們應對這些試題進行甄別，精心篩選整理，分類選優，優中取優。只有這樣，才能實現“以一當十，以十當百，以百當千”，從而顯著提升教學與學習的針對性和有效性。

（二）做對題

低層次重復訓練和高強度無效訓練，是當前數學教學中的兩大“頑疾”。為了真正實現給學生減負并增效的目標，我們應著重引導學生做對題。而做對題的前提在于選對方法，這就要求我們引導學生從多個角度深入探究問題，以培養他們思維的靈活性和求異性。在探究過程中，應淡化對特殊方法技巧的依賴，追求本原性方法的掌握。同時，注意思維與表述的準確性和簡潔性，以及解答的規范性，這些要素是提高解題有效性的重要保證。

（三）悟透題

知識在于積累，方法在于感悟。每解完一道題后，我們應徹底領悟其中蘊含的數學概念、原理和思想方法；反思解題中的易錯點；感悟不同解法之間的區別與聯系。通過反思與感悟，將整個解題過程內化為自身知識結構的一部分，進而達到“解一題，通一片”的學習效果。

（責任編輯 黃春香）