巧用米勒定理解決一道中考模擬題

［摘 要］文章從“本手”到“妙手”，對2023年某道中考數學二模試題進行解法探究，并對米勒定理在最大張角問題中的應用進行拓展。

［關鍵詞］米勒定理；最大張角問題；解法探究

［中圖分類號］ G633.6 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1674-6058（2024）26-0005-03

因動點而產生的張角問題是初中數學的難點之一，這類問題考查的知識面廣、綜合性強、題型多、解法靈活，因此在近幾年的各地模擬題中頻頻亮相。本文從“本手”到“妙手”，對2023年某道中考數學二模試題進行解法探究，并對米勒定理在最大張角問題中的應用進行拓展。

一、試題呈現與解法探究

[題1]如圖1，在矩形[ABCD]中，[AB=3]，[AD=4]，點[E]，[F]分別是邊[CD]，[BC]上的動點，且[∠AFE=90°]，當[DE]為 時，[∠AED]最大。

試題分析：本題以矩形、直角三角形以及雙動點作為主要的命題背景和元素，其思維過程和運算過程既體現了轉化與化歸、數形結合等數學思想，又重點考查了學生的推理能力和運算能力，具有一定的難度和區分度，是一道很有“嚼頭”的好題。

思路1：從邊長入手

分析：在[Rt△ADE]中，[tan∠AED=ADDE=4DE]，當[∠AED]增大時，[4DE]也增大，因此題目轉化為求[DE]的最小值，接下來只需圍繞題目中的幾何關系找到[DE]與其他邊長的代數關系即可。

解法1（“本手”）：設[DE=y]，[CF=x]，∵矩形[ABCD]中，[AB=3]，[AD=4]，∴[CD=AB=3]，[BC=AD=4]，[∠B=∠C=90°]，

∴[CE=CD-DE=3-y]，[BF=BC-CF=4-x]，

∵[∠AFE=90°]，∴[∠AFB+∠CFE=90°]，

又∵[∠AFB+∠BAF=90°]，∴[∠BAF=∠CFE]，

∴[△ABF ]∽[△FCE]，

∴[ABCF=BFCE]，即[3x=4-x3-y]，整理得：[y=13（x-2）2+53]，[∴]當[x=2]時，[y]取最小值[53]；[Rt△ADE]中，[∠D=90°]，∴[tan∠AED=ADDE=4y]，要使[tan∠AED=ADDE]取最大值，即[∠AED]最大，[y]應取最小值[53]，即[DE=53]。

評注：解法1是標準答案的解法，其通過圖形中的相似關系——[△ABF ]∽[△FCE]，尋找[DE]與[CF]的代數關系，思維量大，計算量小，對學生的幾何直觀素養、推理能力要求較高。

解法2（“本手”）：設[DE=y]，[CF=x]，[∵]矩形[ABCD]中，[AB=3]，[AD=4]，∴[CD=AB=3]，[BC=AD=4]，[∠B=∠C=90°]，∴[CE=CD-DE=3-y]，[BF=BC-CF=4-x]，在[Rt△ADE]中，[AE2=AD2+DE2=16+y2]，同理得[AF2=9+（4-x）2]，[EF2=x2+（3-y）2]，∵[∠AFE=90°]，∴[AE2=AF2+EF2]，即[16+y2=9+（4-x）2+x2+（3-y）2]，整理得[y=13（x-2）2+53]，后同解法1。

評注：解法2是純代數運算的解法，在設出未知量[DE=y]，[CF=x]后，通過圖中的直角，利用多組勾股定理代數式找到變量[y]與[x]的函數關系，思維量小，計算量大，對學生的運算能力要求較高。

思路2：從角度入手

在介紹解法3前，先給出圓外角和米勒定理的相關內容。

圓外角：如圖2，像[∠P]這樣頂點在圓外，兩邊都和圓相交的角叫作圓外角。

如圖3，[∠P=∠ACB-∠PBC<∠ACB]，因此，對同一個圓而言，圓周角[>]圓外角。

米勒定理：如圖4，已知[A]，[B]是[∠MON]的邊[ON]上的兩個定點，[C]是邊[OM]上的一動點，當且僅當[△ABC]的外接圓與邊[OM]相切于點[C]時，[∠ACB]最大。

證明：如圖5，設[C]是邊[OM]上不同于點[C]的任意一點，連接[AC]，[BC]，[BC]與[△ABC]的外接圓交于點[D]，在[△ABD]中，[∠ADB=∠ACB+∠CAD>∠ACB]，又[∠ADB=∠ACB]，[∠ACB>∠ACB]。

需要注意的是，在使用米勒定理處理解答題時需要證明。限于篇幅，本文在后續題目解答中不作證明。

解法3（“妙手”）：如圖6，取[AE]的中點[O]，連接[OD]，[OF]，∵[∠AFE=∠ADE=90°]，∴[OA=OD=OE=OF]，∴[A]，[D]，[E]，[F]四點共圓，∴[∠AED=∠AFD]，由米勒定理可知，當[⊙O]與[BC]相切時，[∠AFD]的值最大，此時[OF]∥[CE]，[OF]∥[AB]，∴[F]為[BC]的中點，設[⊙O]的半徑為[r]，[DE=x]，則[CE=3-x]，由[AB+CE2=OF]得[r=6-x2]，由[AE2=AD2+] [DE2]得[（2r）2=42+x2]，即[（6-x）2=16+x2]，解得[x=53]，即[DE=53]。

評注：解法3注意到[A]，[D]，[E]，[F]四點共圓，利用圓周角相等及米勒定理將條件轉化為圓[⊙O]與[BC]相切，再通過梯形的中位線及勾股定理即可求出[DE]的長，運算量極少。

二、米勒定理的應用拓展

在近幾年的中考數學試題和各地數學模擬題中，以米勒定理為背景的最大張角問題頻頻亮相。若能從題干中挖掘出其隱含的模型并應用米勒定理解題，則能夠極大地降低思維量，并簡化計算過程，使問題化繁為簡。下面通過相關例題說明米勒定理的應用。

（一）米勒定理在坐標求解中的應用

[題2]如圖7，已知點[A]，[B]的坐標分別是[（0，1）]，[（0，3）]，點[C]為[x]軸正半軸上一動點，當[∠ACB]最大時，點[C]的坐標是（ ）。

A. （2，0）

B. （[3，0]）

C. （[2，0]）

D. （[1，0]）

解：如圖8，過[A]，[B]作[⊙P]，由米勒定理可知，當[⊙P]與[x]軸相切于點[C]時，[∠ACB]最大，連接[PA]，[PB]，[PC]，作[PH⊥y]軸于[H]，[∵]點[A]，[B]的坐標分別是（0，1），（0，3），∴[OA=1]，[AB=3-1=2]，∵[PH⊥AB]，∴[AH=BH=1]，∴[OH=2]，∵[⊙P]與[x]軸相切于點[C]，∴[PC⊥x]軸，[∴]四邊形[PCOH]為矩形，∴[PC=OH=2]，∴[PA=2]，在[Rt△PAH]中，[PH=PA2-AH2=22-12=3]，∴點[C]的坐標為[（3，0）]。

評注：本題在應用米勒定理后，關鍵在于利用垂徑定理、矩形性質和勾股定理求出點[C]的坐標。

（二）米勒定理在數學建模中的應用

[題3]如圖9，某雕塑[MN]位于河段[OA]上，游客[P]在步道上由點[O]出發沿[OB]方向行走。已知[∠AOB=30°]，[MN=2OM=40]米，當觀景視角[∠MPN]最大時，游客[P]行走的距離[OP]是 米。

解：如圖10，取[MN]的中點[F]，過點[F]作[FE⊥OB]于[E]，以直徑[MN]作[⊙F]，∵[MN][=2OM=40]，點[F]是[MN]的中點，∴[MF=FN=20]，[OF=40]，∵[∠AOB=30°]，[EF⊥OB]，∴[EF=20]，[OE=3EF=203]，∴[EF=MF]，∴[OB]是[⊙F]的切線，切點為[E]，由米勒定理知，當[P]，[E]重合時，觀景視角[∠MPN]最大，此時[OP=203]。

評注：對于本題，若考生沒有接觸過米勒定理，將一籌莫展，即使解出也將費時費力。另外，本題在應用米勒定理后，還可以利用切割線定理快速求解，如[OP2=OM·ON=20×60=1200]，[OP=203]。

（三）米勒定理在二次函數問題中的應用

[題3]如圖11，在平面直角坐標系中，[O]是坐標原點，拋物線[y=ax2+bx-3]與[x]軸交于[A（-1，0）]，[B（3，0）]，與[y]軸交于點[C]，其頂點為[D]。

（1）求拋物線的解析式。

（2）連接[BD]，[CD]，動點[Q]的坐標為[（m，1）]。[P]為拋物線上的一點，是否存在以[B]，[D]，[Q]，[P]為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點[P]，[Q]的坐標；若不存在，請說明理由。

（3）連接[OQ]，[CQ]，當[∠CQO]最大時，求出點[Q]的坐標。

解：（1）拋物線的解析式為[y=x2-2x-3]（過程略）。

（2）略。

（3）如圖12，記[△OQC]的外心為[M]，則[M]在[OC]的垂直平分線[MN]上（設[MN]與[y]軸交于點[N]）。連接[OM]，[CM]，則[∠CQO=12∠CMO=∠OMN]，[MC=MO=MQ]，∴[sin∠CQO=sin∠OMN=ONOM]，[sin∠CQO]的值隨著[OM]的增大而減小。∵[MO=MQ]，∴當[MQ]取最小值時，[sin∠CQO]最大，即[MQ]垂直于直線[y=1]時，[∠CQO]最大，此時[⊙M]與直線[y=1]相切，∴[MQ=NF=2.5]，[MN=OM2-ON2=2]，∴點[Q]的坐標為[（2，1）]。根據對稱性，另一點[（-2，1）]也符合題意。綜上，點[Q]的坐標為[（2，1）]或[（-2，1）]。

評注：本題第（3）問考查米勒定理的應用，當[⊙M]與直線[y=1]相切時，[∠CQO]最大，再利用垂徑定理與勾股定理即可求出點[Q]的坐標。

在近幾年的各類數學考試中，涉及動點和最值問題的試題屢見不鮮，且常考常新，數學教師應高度重視。在解答涉及動點和最值問題的試題時，學生由于對相關幾何關系掌握不到位，導致丟分嚴重。如果教師能加強學生邏輯推理素養的培養，并總結出針對“最大張角”這類問題的相關解法，那么學生將能夠迅速且正確地解決問題，從而有效提升他們的解題效率。

［ 參 考 文 獻 ］

[1][2] 徐欣.基于變式教學的初中動點問題教學策略研究[D].重慶：重慶師范大學，2020.

[3] 楊煥榮.四邊形中動點問題的求解[J].數學教學通訊，2012（13）：22-23.

（責任編輯 黃春香）