牛頓-萊布尼茨的微積分發明優先權之爭（中）

中年牛頓的轉變

牛頓在1685—1687年完成了曠世名著《自然哲學的數學原理》（簡稱《原理》，關于這一過程可參見筆者《蘋果》一文）。然而在該書中他使用了傳統的幾何論證給出他的結果，并沒有直接使用他的微積分方法——流數法。不過，在該著第一版中，牛頓提到了這一方法以及萊布尼茨：“十年前，在與技藝高超的幾何學家萊布尼茨先生通信時，我指出我擁有一種求極大與極小、求曲線切線等的辦法，這位名家回復說他也發現了這樣的方法，并將他的方法透露給我。除了詞句和記號外，這方法與我的幾乎沒有不同。”后來，當微積分發明的優先權發生爭議時，牛頓一方認為這段話說明牛頓早已發明了微積分方法，而萊布尼茨一方則認為這段話說明牛頓承認萊布尼茨發明了微積分方法，以及他收到過萊布尼茨關于微積分方法的說明。兩人沖突爆發后，牛頓在《原理》后來的版本中刪去了這段話。

1687年，牛頓完成了《原理》后，性格似乎發生了某些改變。在此之前，牛頓只專注于他的研究，對此之外的事幾乎毫不關心，也很少與人交流。但是這一年，《原理》還在印刷中，牛頓就參與了一項重大政治活動。1685年英王查理二世（CharlesⅡ）去世，詹姆斯二世（JamesⅡ）繼位。自1534年亨利八世（HenryⅧ）因為離婚與羅馬天主教決裂后，英國國教成為英國的主流宗教，但仍有一部分人信奉羅馬天主教，詹姆斯二世就是如此。他上臺后，就試圖將一些天主教徒任命到高位上，最終目標是使英國回歸天主教。1687年，他特旨要求劍橋大學給一位天主教修士授予學位，而免去一切考試和宣誓。這里的關鍵是，按照英國議會通過的法律要求，獲得學位者需要宣誓承認國王是教會的最高權威，而這是遵奉教皇為最高權威的羅馬天主教徒不接受的。此前，國王也時常頒發各種特旨，讓大學對某些人免去常規的義務，比如牛頓本人以前就是靠這種特旨而免去了擔任圣職的義務。但是，這次國王的特旨卻遭到了劍橋大學師生的普遍反對，因為從當時的情況看，國王是準備讓劍橋大學授予該修士學位后就任命他管理劍橋大學。有點出人意料的是，一向埋首學問的牛頓這次竟然是抗議活動的領頭人之一，是向國王請愿團的骨干成員，并撰寫了宣傳小冊子。牛頓雖然并不完全認同英國國教會，但是他顯然更不能接受天主教會。詹姆斯二世撤了當時劍橋大學副校長的職（當時劍橋大學正校長是掛名的，副校長是實際負責人），并對請愿團成員發出威脅，但即便如此，請愿團和劍橋大學最終也沒有屈服。詹姆斯二世向各個重要位置大批任命天主教徒的做法激起了國內的強烈反抗，先后爆發了數次起義。次年（1888年），詹姆斯二世被迫流亡法國，而他信奉新教的女兒瑪麗（Mary）和女婿威廉（William）被議會選為新的統治者，這就是英國憲政歷史上非常著名的“光榮革命”。牛頓于是一舉成為反抗詹姆斯二世的英雄，被選為代表劍橋的兩位議會議員之一。牛頓在議會并不活躍，幾乎從未發言，但他與此時當政的輝格黨人高層建立了密切關系，特別是畢業于三一學院、此時負責財政的蒙塔古（C. Montague，后成為哈利法克斯伯爵）與牛頓成為好友。托他的關系，1696年牛頓被任命為英國造幣廠總監。

很多人都知道牛頓晚年在造幣廠任職，不過并不了解其歷史背景，以為牛頓是有什么特殊的經濟理論或專業才能而被任命的。其實，造幣廠總監一職當時被視為一種待遇優厚的閑職，是蒙塔古等輝格黨人給牛頓的照顧或酬報。這一職位的收入（每年400英鎊）遠高于牛頓作為劍橋大學盧卡斯講座教授的薪金（每年100英鎊）。劍橋雖然給牛頓提供了一個自由的研究環境，但此時的劍橋在學術上并不活躍，而牛頓對教學顯然也沒什么興趣。年過半百的牛頓創造力也開始下降，不想再埋頭做研究，所以決定離開劍橋而去造幣廠任職。不過，牛頓到任后并未像之前的總監那樣坐享清福，而是主動開始承擔其大量管理工作。1699年，前任廠長去世后牛頓繼任了廠長職位（年薪500英鎊+鑄幣利潤分成）。在造幣廠的職位上牛頓很認真地工作，為英國鑄造了大量高質量硬幣，還負責抓捕制造假幣者，在這方面他毫不留情，把多個抓獲的造假幣者送上絞刑架。后來蒙塔古承認，盡管他最初只是想給牛頓一個領薪水的閑職，但幸虧有牛頓對鑄幣工作的高效管理，其貨幣政策才最終得以推行。牛頓被封為爵士也是由于他在造幣廠的工作而不是由于他的科學貢獻。

中年萊布尼茨

萊布尼茨到漢諾威后主要任務是管理圖書館和編撰不倫瑞克（Brunswick）家族的歷史，這使他獲得了資金可以走訪歐洲各地，從各處的圖書館、修道院中查找相關資料，這在當時的學者中是很難得的經歷。萊布尼茨的家族史研究頗具實用價值——由于他的一系列歷史考證證明了這一家族的高貴血統，使他們最終獲得了選帝侯也就是選舉神圣羅馬帝國（德國）皇帝的資格。不過，撰寫這一漫長的家族史耗費了萊布尼茨大量的時間精力，直至他去世也未能完成，而且由于他遲遲未能完成這一歷史著作，他的幾任雇主都對他不太滿意，倒是漢諾威宮廷中的聰明女士們都很喜歡這位淵博的學者。不過，最終該家族地位的真正提升并不來自萊布尼茨的歷史考證，而是來自公爵夫人，她是英國皇室后裔，在斯圖亞特王朝絕嗣后，她的兒子作為新教徒被英國議會選中繼承了英國王位，1714年成為英王喬治一世（George I） 。該家族此后成為英國王室并持續至今，只是后來把名字改為聽起來更英國化的“溫莎王朝”。

在學術方面，萊布尼茨進行了哲學、語言學等多方面的研究和寫作，這使他在后世尤其以哲學家著稱。在數學方面，除了微積分之外，萊布尼茨還發明了二進制、行列式，并開啟了位置分析（拓撲學前身）。不過，萊布尼茨也有一些失敗：在漢諾威他主動提議用風力驅動為一座礦山排水，以解決在旱季原來的水力驅動無法運行的問題，還設計了風車，但這一計劃最后失敗了，使萊布尼茨損失了一大筆錢。但他也因此走訪了許多礦山，成為地質和化石研究的先驅。

總之，萊布尼茨知識淵博，人脈廣闊，學術地位不斷上升。萊布尼茨對組織學術團體也很感興趣，說動普魯士國王資助創辦柏林學會，身在漢諾威的萊布尼茨也成為其首任會長。彼得大帝訪問漢諾威時專門與他交談。他發表的微積分尤其影響廣泛， 很多人從他這里學到了微積分，并習慣采用了他的術語（“微分”“積分”）和符號。

牛頓微積分的公開發表

1693年，牛頓的微積分結果也終于公開發表了，不過發表這一結果的還不是牛頓本人，而是老一輩英國數學家沃利斯（J. Wallis， 1616—1703），學生時代牛頓曾學習過他的著作。

這一時期的英國還遠不是后來稱霸全球的日不落帝國，與當時歐洲文明的中心法國相比各方面都差一大截，因此不少英國人很在意別人的眼光。沃利斯就是這樣，他特別注重宣揚英國學者的成就。他曾從柯林斯（J. Collins）那里知道牛頓的微積分成果，眼看萊布尼茨的著作風行天下，世人都只知道微積分是萊布尼茨發明的，老沃看不下去了。于是他征得牛頓同意，在他1693年出版的一本教科書的附錄中發表了牛頓之前寫的文章，介紹了流數法。

為何此前堅決不肯公開發表這一結果的牛頓此時又同意發表了呢？可能牛頓自發表了《原理》之后自信心大增，性格與以往不同。筆者猜還有一個因素，就是萊布尼茨的微積分也并沒有受到牛頓預想中的攻擊，反之廣為流行并受到好評。沃利斯在書中指出牛頓和萊布尼茨的微積分只是術語和記號不同，實質是完全一樣的。老沃在書中甚至認定牛頓的符號更好，這只能說是用力過猛了，后來幾乎所有的學者都認為萊布尼茨的符號更便利。沃利斯在書中說，牛頓在1676年給萊布尼茨的信中就曾提到這一方法，意思就是牛頓的發明更早，不過他也沒有否認萊布尼茨的獨立發明。沃利斯的這一敘述還是比較符合歷史事實的。

萊布尼茨聽說沃利斯的書后，倒也沒有否認牛頓的獨立發明權。此時，他處在有利的地位上，畢竟是他首先公開發表了微積分。雖然英國人現在聲稱牛頓更早發明了微積分，但在萊布尼茨的理論流行之前沒有公開發表過，其可信度大打折扣。對于英國人的這種說法一些歐陸學者頗為懷疑，如果牛頓那么早就發明了微積分，為什么他在多年里都不公開發表？萊布尼茨的朋友約翰·伯努利（Johann Bernoulli， 1667—1748）就懷疑，牛頓其實是從萊布尼茨的文章那里才學到了微積分，之前牛頓也許只是提出了“流數”的概念，而真正的微積分還有具體的“算法”，牛頓未必都掌握了，否則牛頓為什么在他的《原理》中不使用流數法呢？僅僅提個概念就把微積分的發明權拿走，這也太便宜牛頓了吧？不行，得想個辦法。

最速降線

伯努利是數學史上著名的家族，出了多位學者，不過他們喜歡反復使用幾個名字，讓人很容易搞混。這其中，在微積分上做出主要貢獻的是約翰·伯努利。他想出一個辦法：他要出個微積分難題，看看牛頓能否做出來，這就是歷史上非常著名的最速降線問題。

同一平面上的兩點A， B，A在B的斜上方，那么有無數多條曲線連接A和B。設想一質點在重力作用下從A滑向B，忽略摩擦，什么樣的曲線可以使其最快滑到B？

A和B之間最短的是連接這兩點的直線，但沿直線滑下去并不是用時最短的，因為如果一條曲線一開始的部分比直線AB更陡一些，那么質點就會較早地加速到更高的速度，雖然路程長一些，卻可以更快抵達B點。但最短的線到底是什么呢？解決這一問題的方法是變分法，這是微積分中比較高級的技巧。后來，約翰·伯努利的學生歐拉發展了系統的變分法，而這道題的答案是，最速降線其實是一種旋輪線——想象我們標記一個輪子邊上的一點，那么輪子滾動前進時這一點畫出的軌跡就是旋輪線。

當然，約翰·伯努利沒法直接對牛頓說“老牛，我不信你真會微積分，來做做我的考試題”。所以，1696年，他在《學者學報》（Acta eruditorum）上公布了這個面向全歐洲學術界的挑戰題，限期6個月到當年年底。同時他也專門給牛頓、沃利斯等英國人寄去了這一挑戰題。不過，一開始牛頓等人并未理會。于是，他又再次發文給出挑戰，將挑戰延期了幾個月，聲稱到1697年復活節會公布自己和萊布尼茨的解答，并且寫了一段話，赤裸裸地將能否解出這一題目與是否真正掌握了微積分聯系起來。這次牛頓回應了。據說，1697年1月某日，牛頓在造幣廠辛苦工作了一天后，凌晨4點才回到家中，看到了寄來的題目，馬上開始做，用了2小時，趕在早班郵遞員到來時寫出答案寄走了，而約翰·伯努利本人當初是花了兩個星期才做出來的。牛頓寄給約翰·伯努利的答案并沒有署名，但約翰·伯努利“從爪印中認出了獅子”。

按時完成挑戰題目的只有牛頓、萊布尼茨、伯努利兄弟和他們的學生洛必達（de L’Hopital）侯爵（今天學習微積分的學生都知道的“洛必達法則”其實是約翰·伯努利給出的，但發表在洛必達撰寫的微積分教科書中）。挑戰結果公布后，萊布尼茨感嘆，做出這道題目的人都在他意料之中，都是真正深入理解微積分的人，除了牛頓外，就是他自己和他的弟子們。他這話惹怒了一個人，紛爭開始了。

爭端初起

一開始，牛頓和萊布尼茨彼此默認各自獨立發明了微積分。但是，這種和平很快就被打破。1699年，伯努利的瑞士同鄉、萊布尼茨的師弟、牛頓的疑似同性戀人尼古拉·法蒂奧·德·杜里耶（Nicolas Fatio de Duillier， 1664—1753）開始公開質疑萊布尼茨剽竊了牛頓的結果。法蒂奧少年時代就在天文、光學等方面發表了多篇論文，他給出了黃道光的正確解釋——黃道面上的碎石和塵埃反射的太陽光。后來他向惠更斯學習數學，從這個角度說可以算萊布尼茨的師弟，惠更斯對他頗為欣賞并介紹他與萊布尼茨通信，但不知何故這二人話不投機。另一方面，法蒂奧倒是和牛頓一見如故。

有人懷疑牛頓是同性戀，這是因為他和法蒂奧一度關系很親密，有段時間他們經常在一起參加各種活動，法蒂奧還說要幫助牛頓修訂《原理》。法蒂奧有一次生病以為自己將不久于人世，于是給牛頓寫了封信，牛頓回信口吻非常親密和關切，表示要和他住在一起并親自照料他，這在牛頓一般是客套而冷淡的通信中可謂絕無僅有。但是不知何故，1693年后，二人的關系突然疏遠了。而也就在這一時期，牛頓經歷了一次精神崩潰，在長時間失眠后寫了胡言亂語的絕交信給他的好友、英國經驗主義哲學家洛克（J. Locke， 1632—1704）和著名日記作者、英國海軍主管佩皮斯（S. Pepys， 1633—1703），不過后來牛頓逐漸恢復了正常。所以有人猜測，法蒂奧是牛頓的同性戀人，而牛頓精神崩潰與二人關系破裂有關。不過，也有學者認為這種猜測屬于捕風捉影，二人的關系可能被過度解讀了，甚至牛頓的精神崩潰是否與二人關系有關都難以確定。由于缺乏更多史料，這是一樁難以定論的懸案。總之，法蒂奧后來逐漸淡出了科學圈，成為一個小教派的傳教者，不過在此之前，他首先開啟了微積分發明優先權之爭。

法蒂奧也解出了最速降線問題，但沒趕上截止期。萊布尼茨認識他，卻沒把他列入精通微積分、有可能解出此題的人選之內，這讓他感到自己被輕視了。1699年法蒂奧出版了一篇專著，給出了自己的解答。他聲稱早在1687年，自己在讀到萊布尼茨的1684年論文前，也獨立地發明了微積分，雖然時間比萊布尼茨稍晚。不過法蒂奧接著說，他在認識牛頓后發現，牛頓才是微積分的第一發明者，而且牛頓非常謙虛，不像萊布尼茨那樣到處宣揚自己。他在文中暗示萊布尼茨是從牛頓那里“借走了”流數法，變成他的微積分。法蒂奧此時已和牛頓疏遠了6年，但終其一生他一直對牛頓崇敬有加。

萊布尼茨通過沃利斯給皇家學會寫信回擊法蒂奧，說學者們應該相互尊重，而不是像潑婦們一樣互相指責和爭吵。萊布尼茨聲稱他對牛頓極為尊重，但在他1684年發表第一篇微積分論文時根本沒聽說過牛頓的流數法，何談“借走了”牛頓的流數法？

萊布尼茨說的是否是真話呢？此前，牛頓在1676年給他的兩封信中曾暗示自己有一種數學方法，事后看其實就是流數法或者說微積分，不過牛頓并沒有明確地說出來。但是萊布尼茨還在柯林斯那里讀到過牛頓的《分析》（見本文上篇），按說他應該是知道牛頓的微積分發明的，否則萊布尼茨當年回信時也不大可能把自己的微積分結果告訴牛頓。不過，萊布尼茨當時的關注點是無窮級數，在匆匆的閱讀中對論文中關于微分和積分的部分并沒有太在意，多年之后遺忘了也不是完全沒有可能。而且，在《分析》中牛頓并沒有用他后來使用的“流數”等術語，所以萊布尼茨說他此前沒有聽說過流數法也說得通。但另一方面，萊布尼茨此時也有很強的動機否認當年已知道牛頓發明了微積分，因為承認這一點不僅將使他淪為第二發明者，而且還會被質疑為何他的1684年論文只字不提牛頓。此時，柯林斯早已去世，這件事也只有萊布尼茨自己知道，他連好友約翰·伯努利也沒有告訴。因此，萊布尼茨在這封信中的說法很可能并不完全誠實。

不過，萊布尼茨也沒有否認牛頓獨立于他發明了微積分。萊布尼茨在給沃利斯的信中指出，牛頓在《原理》中也肯定了他獨立地發明了微積分，因此萊布尼茨斷言法蒂奧對他的指責牛頓都不會同意。的確，牛頓在此次爭議中一言未發。這場爭論的結果似乎是，雙方各自默認對方獨立發明了微積分。

萊布尼茨的匿名書評

也在1699年，沃利斯又出版了一本書，這次書里又附上了牛頓1676年通過奧登堡（H.Oldenburg）發給萊布尼茨的那兩封信。在此之前，雖然牛頓在一些場合提到過他和萊布尼茨1676年寫信交流的事，但別人并不清楚他們到底交流了什么，有人甚至誤以為牛頓從萊布尼茨那里學到了微積分，而這些信件的公布以及其中字謎的解密清晰地表明了牛頓的優先權。這些信件當年通過奧登堡轉發，在皇家學會中留有存檔，為牛頓提供了客觀證據。沃利斯在出版這些信件前征得了萊布尼茨同意，不過萊布尼茨的一些友人憂心忡忡，對萊布尼茨說英國人是要把這一發明的光榮從萊布尼茨手中奪走。接著，又有幾位英國學者相繼出版了關于牛頓流數法的著作，都聲稱牛頓的發明具有優先權。這些對萊布尼茨作為微積分發明者的地位構成了挑戰，萊布尼茨對牛頓的態度此時開始發生變化。

牛頓這邊，1703年老對手胡克去世了，牛頓重返皇家學會，隨即被選為皇家學會會長，從此學會的實權也從秘書長轉移到會長。此時皇家學會有所衰落，定期會議的內容相當無聊，牛頓打算重整學會，使其再度輝煌，為此牛頓每次都親自出席并主持學會會議。不用再擔心老對手胡克攻擊的牛頓此時也出版了他的《光學》，并在書的附錄中發表了他撰寫的兩篇數學論文，其中《曲線的求積》一文給出了流數法的完整闡述。

針對牛頓的這一著作，萊布尼茨于1705年在《學者學報》上匿名發表了一篇書評。盡管對牛頓《光學》的總體評價還算正面，但對于這一附錄，其中寫道：“代替萊布尼茨的微分，牛頓先生如他一貫的那樣使用了流數……他優雅地在《原理》以及其后的其他著作中都使用了這一方法，正如法布里在他的《幾何簡介》中用他的運動法代替卡瓦列里的無限小一樣。”盡管不承認自己是作者，但萊布尼茨后來解釋說，這里提到法布里（H. Fabrius， 1607—1688）和卡瓦列里（B. F. Cavalieri， 1598—1647）這兩位之前的數學家，是因為他們使用的術語分別類似于牛頓的“流數” 和萊布尼茨的“無窮小”，如果是這樣，表面上看這一評價似乎沒什么特別。但是，當時的數學家都知道，法布里剽竊了卡瓦列里，所以這也可被理解為譏諷牛頓剽竊了萊布尼茨。

那么，萊布尼茨是否只是在這篇書評中一不小心用詞不當造成誤會呢？不是的。在這一時期發表的多篇匿名評論中，萊布尼茨針對流數法以及牛頓的學說都給出了一些批評或貶低。如果說，這些還勉強可以辯解只是不留情面的學術批評的話，他還讓人在一本書中發表了一個牛頓《原理》第一版中的錯誤清單，假托是已經去世的惠更斯寫的。其實，這個錯誤清單是牛頓自己為了在《原理》第二版中修訂而總結的，經由法蒂奧之手流傳到荷蘭，并最終傳到萊布尼茨手中，顯然托名發表《原理》的錯誤清單也是有意識地打擊牛頓學術聲望的一招。

萊布尼茨和牛頓此前雖然關系疏遠，但顯然兩人都知道對方的學術水平，在公開場合也總是彼此互相稱贊，萊布尼茨更是高度公開贊譽牛頓。據說，某次普魯士王妃問萊布尼茨牛頓的數學如何，萊布尼茨說如果把有史以來的數學發現排在一起，牛頓的發現要占一大半。萊布尼茨對牛頓獨立發明微積分也并未公開提出質疑，那么他為何要在匿名書評中搞這些小動作呢？這種心理值得分析。也許萊布尼茨不甘放棄自己微積分最早發明者的地位，法蒂奧對他的攻擊更使他反感牛頓，因而內心深處有貶低牛頓的欲望。萊布尼茨開始匿名發表一些批評或貶低牛頓的評論，可能他覺得反正是匿名的，牛頓追究不到自己頭上。但是，萊布尼茨似乎有點一廂情愿，眾所周知他是《學者學報》的創辦者之一，而且這些評論根據其內容和受益者很容易被猜出是他寫的，而這招致牛頓一方的報復是遲早的事，雙方的關系開始惡化。

[1]Whiteside D T， eds. The mathematical papers of Isaac Newton， vols 1-8. Cambridge： Cambridge University Press， 1968.

[2]Newton I. The Principia， Mathematical Principles of Natural Philosophy. Translation by Cohen I B and Whitman A， guide by Cohen I B. Oakland： University of California Press， 1999.

[3]Westfall R. Never at Rest， a biography of Isaac Newton. Cambridge： Cambridge University Press， 1980.

[4]Rupert Hall A. Philosophers at War， the quarrel between Newton and Leibniz. Cambridge： Cambridge University Press， 1980.

[5]Bardi J S. The Calculus Wars， Newton， Leibniz， and the Greatest Mathematical Clash of All Time. New York： Thunder’s Mouth Press， 2006.

[6]Antognazza M R. Leibniz， An Intellectual Biography. Cambridge： Cambridge University Press， 2009.

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