超對稱波導實現光子拓撲態的完美激發

光是人類獲取和傳遞信息的重要載體。近幾十年來，在先進微納加工技術的推動下，光學研究前沿經歷了從簡單到復雜，從宏觀到微觀的高速變革。然而，相較發展成熟的集成電路體系，盡管片上光子器件已經有了長足的發展，但大規模、芯片化集成還面臨諸多困境。最為突出的是，光信息的傳遞往往需要通過波導表面的倐逝波耦合來實現，因此對結構極其敏感。現有的片上波導工藝仍然不可避免存在幾十納米量級的加工誤差，這將嚴重影響光子集成器件的性能。為解決這一問題，研究人員做了諸多嘗試與努力。其中，拓撲光子學作為一項有趣而富有潛力的課題，逐漸走進人們的視野[1]。

拓撲光子學的概念與發展

拓撲是一個數學術語，研究幾何對象在連續形狀變換下的守恒性質。例如水杯和甜甜圈，看似具有兩種完全不同的幾何形狀，但如果對它們進行連續操作（彎曲、拉伸等），水杯的形狀可以變成甜甜圈的形狀，同樣，甜甜圈的形狀也可以變成水杯的形狀。從拓撲學的角度看二者完全等價——均具有一個孔洞。該孔洞數可由物體表面上高斯曲率的表面積分得到，雖然水杯和甜甜圈的高斯曲率完全不同，但由表面積分得到的孔洞數始終是恒定的，如果不對它們執行拆分或連接這類操作，孔洞數就不會發生突變。這里的孔洞數就是一種拓撲不變量，叫作歐拉示性數。

GhMqBrnG+u7OKehsFbDXs/jjKYByClzEo35w29t1XKs=

此后研究人員發現，在凝聚態物理中物體動量空間的能帶也具有類似的物理特性，存在一類拓撲絕緣體，它在整體上絕緣，但表面存在導通的表面態。這種表面態的物理性質非常穩定，環境條件發生一定程度的改變都不會對其有影響——就像揉捏橡皮泥不會改變其孔洞數一樣。在描述波的性質中，最重要的參量便是波矢（反映波的傳播動量）。波矢在動量空間的變化和演化同樣可以產生各種形狀，這些形狀通過傅里葉變換能反映出波在實空間中的運動。數學上的高斯曲率在動量空間中對應貝里曲率，孔洞數對應陳數等拓撲不變量。正如拓撲學中幾何表面的連續變換（即不額外打開或閉合孔洞）不會影響歐拉示性數的取值一樣，拓撲絕緣體中的擾動同樣不會改變動量空間中的拓撲不變量。因此，拓撲絕緣體所支持的表面態受到了拓撲保護——不會因為微擾而被破壞。

研究人員在光子晶體結構中實驗驗證了這一現象，通過施加均勻的磁場在光子能帶的帶隙中得到拓撲邊界態。這種拓撲邊界態的傳播不會被散射體破壞，從而驗證了其基于拓撲保護產生的對結構擾動的魯棒性[2]。

近十幾年來，光子拓撲絕緣體在諸如光波導、微環陣列等更加精細的結構中被構造出來。拓撲光子學的理論和實驗研究也得以迅速發展。研究人員在絕緣體上硅波導陣列中構造出了支持拓撲非平庸界面態的結構，標志著硅基光子學與拓撲系統的結合[3]。由于對缺陷和擾動具有較好的魯棒性，光子拓撲態也逐漸應用于構造多種光器件，諸如具有拓撲保護的定向光耦合/分束器和激光陣列等[4，5]。與傳統光器件相比，基于光子拓撲態的拓撲光器件具有更好的穩定性，展現出巨大的應用潛力。

光子拓撲態激發的難點

光子拓撲態展現出卓越的光場調控能力。拓撲態通常局域在拓撲相（具有同樣拓撲不變量的光子態集合）不等價的界面，具有獨特的性質，特別是抵抗結構缺陷與無序的魯棒性。這一性質對于光子集成和量子計算尤為重要。這是因為，光學芯片中往往需要大規模、高精度的波導和集成元件，稍有擾動就會使光場的振幅和相位出現較大波動，錯誤疊加累積，最終使系統偏離預期功能。

利用光波導的拓撲態有望緩解這一問題。但是光波導陣列中的拓撲態通常具有復雜的場分布，很難被實際激發并加以利用。比如，僅僅采取常規的單波導輸入，將不可避免地激發一些多余的模式。而這些模式是不受拓撲保護的，會降低光傳遞信息的質量。為了更好地發掘拓撲態的潛能，對拓撲態的完美激發（即精準激發）十分重要，在先前的工作中，研究人員嘗試使用分叉波導結構，利用光程差實現相位匹配，通過分光和彎曲損耗實現振幅匹配，盡可能更加準確地激發拓撲態[6]。然而這種設計思路僅在設計波長下起到較好的效果，當波長偏離設計波長時，激發效果明顯下降，并且該方案對于結構誤差極為敏感。

因此，尋找一種能夠簡單、普遍地激發光子拓撲態，且激發過程具備寬帶性和魯棒性的方法，對于拓撲光子學的發展與應用十分有必要。

超對稱變換準確激發拓撲態

在諸多探索中， 超對稱（supersymmetry， SUSY）的概念給予研究人員啟發。SUSY變換最早誕生于量子場論中，用于在玻色子和費米子之間建立聯系。應用SUSY變換，可以靈活地調控光學勢（模式的等效折射率），利用光學勢的保護來調節模式的場分布，但其傳播常數（即模式的波矢大小）依然保持不變。這為諸多難以實現的光子集成功能提供了新的可能性，例如片上模式轉換、單模激光陣列等。2024年，研究人員將SUSY、絕熱演化的概念與拓撲態結合，在一維波導結構中產生了精確的拓撲零模，展現了SUSY調控拓撲態的優秀能力。

在這一工作中，以一維SSH（Su-SchriefferHeeger）模型為例展示SUSY的設計原理。SSH模型是一維體系中常見的一種拓撲模型，以3位科學家的名字命名，他們在聚乙炔鏈中發現一種孤子態電子波，具有拓撲保護的特性，這一概念后來被推廣到光學領域。在波導系統中，SSH模型描述一種耦合系數交替強弱調制的波導陣列，如果交替耦合出現缺陷（如相鄰為“強-強”或“弱-弱”耦合），在弱耦合的邊界上會出現拓撲零模（傳播常數保持與原單根波導一致，不會被耦合影響）。研究人員以一維的硅波導陣列為體系，基于耦合模理論，調控波導間距實現耦合系數的調制。對SSH模型的哈密頓量矩陣進行SUSY變換，可以得到對應的SUSY伙伴結構。SUSY伙伴結構具有與原結構完全一致的本征能譜（即傳播常數），類似孿生兄弟具有相似的基因，但卻表示出不同的個性（所支持的模式分布不同）。在得到的SUSY伙伴中，零模被單獨隔離開，從而集中在單根波導中。可以看作SUSY變換將光子拓撲態“選擇”出來，“投影”到單獨隔離的格子里。將SUSY伙伴作為輸入端，目標的SSH晶格作為輸出端，并將二者絕熱連接，從而可以使單波導模式絕熱地演化為目標拓撲零模。

通過這樣的SUSY設計，可以用“簡單”的單波導輸入，得到“復雜”的拓撲光子態輸出，并且由于在傳播過程中，所需模式一直固定在零能級上，因此也不會因為波長的變化或結構的微擾而導致光信號串擾到其他不需要的模式上，使得光波導陣列具有良好的魯棒性。此外，由于波長的變化不會破壞系統的絕熱條件，也可以視為一種對結構的微擾，并不會對光傳輸過程造成顯著破壞。因此，SUSY波導也具有良好的寬帶性。

與此同時，研究人員在實驗上驗證單波導輸入的情況，發現由于不可避免地激發出其他模式，光場在傳播中會發生空間干涉的現象，并且在一些波長下失去拓撲態的局域性質，預示其不再受到拓撲保護。

此外，如果要求一個系統滿足絕熱條件，即光模式之間不會串擾，那么它在傳播距離上的變化應當極為緩慢，這勢必會導致系統尺寸較大。上述設計思路中，在傳播方向上，SUSY波導的相鄰波導間的耦合系數線性變化，使得各處的變化速率一致，從而能夠滿足絕熱條件。但對于光子拓撲態完美激發這一目標而言，絕熱要求顯然只是充分條件。如何找到更加緊湊的結構，使得SUSY光波導在打破絕熱條件的同時，依然能準確得到目標的拓撲態？由于耦合模方程的含時演化是一個非常復雜的問題，似乎很難找到某種合適的絕熱捷徑理論來實現這一目標。

受逆向設計的思想啟發，研究人員發展出一套目標導向的設計方法——以最終模式的吻合度為評價函數，將問題轉化為一個受約束的最優化問題。在波導總長給定的情況下，連接方式單獨決定了輸入將轉化為何種輸出。利用Matlab軟件的最優化函數得到波導參數，使逆向設計后得到的波導陣列可以在長度減半的情況下依舊準確激發出拓撲態。對其過程分析發現，光場在傳播過程中被允許暫時偏離拓撲零模，但最終仍然回歸。這一設計使得連接方式更加特殊，盡管體系的寬帶性能有所下降，但卻極大減少了波導器件的占用面積，這對于大規模光子集成來說也相當重要。

SUSY方法在復雜拓撲體系中的可能應用

SUSY方法不僅能應用在光波導體系中，對于勢能能夠含時調控的聲學波導、冷原子、微波系統等領域也可以適用。當然，有了這一強有力的拓撲態激發手段，不由得讓人暢想，對于更加復雜的拓撲光子系統，其中的拓撲態能否得到更好的研究？例如，對于高維的拓撲絕緣體，由于晶格變得更加復雜，拓撲態的模式也隨之更加復雜，亦可能出現能級簡并的情況，這使得傳統的激發方式可能不再有效[8]。把SUSY方法拓展到更高維度，將有助于對高維拓撲效應的進一步觀察和研究。

例如，近期研究人員通過亞波長光柵波導實現了Ⅱ型外爾異質結，構造出新穎的拓撲界面態[9]。通過SUSY方法，有望與外爾界面處的光場實現更好的模式匹配，使得其中的拓撲界面態以及界面處光的透反射調控等現象變得更加顯著。此外，研究人員以非厄米自由度作為新的人工合成維度，在片上彎曲波導結構中成功構建了新的外爾界面態，發現了合成維度中的外爾環，大大拓寬了拓撲態的存在空間和調控的靈活性[10]。SUSY方法則為研究不同外爾結構之間的界面模式提供了更多可能性。

除了這些新奇有趣的拓撲光子結構，SUSY方法亦有可能與非線性效應、非阿貝爾物理等概念結合。由于克爾效應等非線性效應，在強非線性結構中，光強的增加將使得局部折射率發生變化，這使得輸入的初態能夠影響后續光場演化，甚至改變整個器件的性質；而在非阿貝爾系統中，物理場作用的效果將不再可交換，輸出的結果將與中途的結構順序直接相關。利用SUSY方法，可以自由地制備初態和中間態，從而可能在這些體系中探索發現新的拓撲效應，開發新的應用。

總結與展望

SUSY方法為拓撲光子學提供了無限的可能，借助這一思想，研究人員可以更加自由地設計結構以調控光子拓撲態，從而發現新的物理效應，有助于拓撲效應的觀測，以及提升拓撲光子器件的效率，在大規模光子集成和光量子計算中具有應用潛力。

[1]Lu L， Joannopoulos J D， Solja？i？ M. Topological photonics. Nature Photonics， 2014， 8（11）： 821-829.

[2]Wang Z， Chong Y D， Joannopoulos J D， et al. Observation of unidirectional backscattering-immune topological electromagnetic states. Nature， 2009， 461： 772-775.

[3]Blanco-Redondo A， Andonegui I， Collins M J， et al. Topological optical waveguiding in silicon and the transition between topological and trivial defect states. Physical Review Letters， 2016， 117（16） ：129901.

[4]Song W G， Sun W Z， Chen C， et al. Robust and broadband optical coupling by topological waveguide arrays. Laser & Photonics Reviews， 2020， 14（2）：1900193.

[5]Zhao H， Miao P， Teimourpour M H， et al. Topological hybrid silicon microlasers. Nature Communications， 2018， 9（1）： 981.

[6]Song W G， Sun W Z， Chen C， et al. Breakup and recovery of topological zero modes in finite non-Hermitian optical lattices. Physical Review Letters， 2019， 123（16）： 165701.

[7]Liu X Y， Lin Z Y， Song W G， et al. Perfect excitation of topological states by supersymmetric waveguides. Physical Review Letters， 2024， 132（1）： 016601.

[8]Cerjan A， Jürgensen M， Benalcazar W A， et al. Observation of a higher-order topological bound state in the continuum. Physical Review Letters， 2020， 125： 213901.

[9]Song W G， Lin Z Y， Ji J T， et al. Bound-extended mode transition in type-Ⅱ synthetic photonic Weyl heterostructures. Physical Review Letters， 2024， 132： 143801.

[10]Song W G， Wu S J， Chen C， et al. Observation of Weyl interface states in non-Hermitian synthetic photonic systems. Physical Review Letters， 2023， 130： 043803.

關鍵詞：拓撲光學模式 波導陣列 SUSY變換 完美激發 ■