用好學(xué)生經(jīng)驗(yàn) 促進(jìn)數(shù)學(xué)理解

學(xué)生經(jīng)驗(yàn)是正在進(jìn)行的新課改中的一個(gè)重要術(shù)語(yǔ)，在《義務(wù)教育國(guó)家課程方案（2022年版）》和《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中多次提到。按照對(duì)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的理解及對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐解讀，學(xué)生經(jīng)驗(yàn)主要指向?qū)W生的生活現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和其他學(xué)科現(xiàn)實(shí)，它包含學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知加工水平（思維水平）經(jīng)驗(yàn)。新課改強(qiáng)調(diào)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)建立在學(xué)生已有的基礎(chǔ)之上進(jìn)行，教學(xué)設(shè)計(jì)、素材選取、情景創(chuàng)設(shè)等都要貼近學(xué)生現(xiàn)實(shí)和認(rèn)知加工水平，“以利于學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)情景中抽象出數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的過(guò)程、發(fā)展抽象能力、推理能力等”。

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中用好學(xué)生經(jīng)驗(yàn)，能更好地凸顯學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位，建立學(xué)習(xí)中心課堂，落實(shí)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解，發(fā)展學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)。

一、聯(lián)結(jié)生活經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)數(shù)學(xué)理解

“數(shù)學(xué)是源于現(xiàn)實(shí)世界的抽象。”小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容更能直觀(guān)地反映數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，小學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解與掌握離不開(kāi)生活經(jīng)驗(yàn)的支撐。教學(xué)中應(yīng)選取貼近學(xué)生生活現(xiàn)實(shí)的素材，創(chuàng)設(shè)“真實(shí)情景”，讓學(xué)生在“熟悉的實(shí)物，以及自然、社會(huì)的現(xiàn)象和問(wèn)題”中追溯和建構(gòu)數(shù)學(xué)的“真實(shí)原型”，依托這可具體感知“原型”，理解數(shù)學(xué)知識(shí)，習(xí)得數(shù)學(xué)方法、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，感悟數(shù)學(xué)思想、積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

如，教學(xué)“小數(shù)除法”，創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情景問(wèn)題：有4位朋友一起吃飯，一共吃掉97元。每人應(yīng)付多少錢(qián)？（AA制）

學(xué)生先獨(dú)立解決這個(gè)問(wèn)題，有學(xué)生得到這樣有余數(shù)的結(jié)果：

面對(duì)這個(gè)真實(shí)的情景，用以前“有余數(shù)的除法”知識(shí)解答，答案是24元余1元。問(wèn)題就來(lái)了：是24元，還是25元？這個(gè)AA制問(wèn)題引發(fā)了學(xué)生新的認(rèn)知沖突，也催發(fā)了學(xué)生尋求正確答案的強(qiáng)烈愿望，推動(dòng)學(xué)生進(jìn)行更深度的互動(dòng)交流。基于現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)和計(jì)算驗(yàn)證，每個(gè)人應(yīng)付的錢(qián)肯定大于24元，而小于25元。學(xué)生聚焦“余下的1元怎么分”進(jìn)行了深度的交流，最終獲得了一種合理解釋且實(shí)際可以進(jìn)行的操作：余下的1元就是10角，10角平均分成4份，每人分到2角，還剩下2角；同樣的道理，這剩下的2角就是20分，20分再平均分成4份，每人分得5分錢(qián)。所以1元平均分給4個(gè)人，每人就是2角5分，化成單位“元”就是0.25元，最終每人應(yīng)付24.25元。

也有學(xué)生想到利用元角分之間的進(jìn)率轉(zhuǎn)化關(guān)系得到這樣的結(jié)果：

顯然，這樣的思考同樣出自學(xué)生對(duì)“錢(qián)”的生活理解，可以進(jìn)一步幫助學(xué)生理解小數(shù)除法的算理或者說(shuō)對(duì)前者“說(shuō)法”的有效驗(yàn)證。

以上兩種解釋為經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，結(jié)合十進(jìn)制位值原理，聯(lián)系整數(shù)除法、小數(shù)的意義，進(jìn)而再對(duì)數(shù)進(jìn)行計(jì)算。在教師的點(diǎn)撥指導(dǎo)下學(xué)生認(rèn)識(shí)到可以把整數(shù)1看作10個(gè)0.1，再用10個(gè)0.1除以4，每份分得2個(gè)0.1，即0.2。余下的0.2又可以看作20個(gè)0.01，再用20個(gè)0.01除以4，每份分的5個(gè)0.01。最終編制出小數(shù)除法豎式計(jì)算程序，建構(gòu)出小數(shù)除法豎式計(jì)算模型：

上面的案例中，“理解算理，掌握算法”屬于“基本技能”，“小數(shù)除法怎樣除，小數(shù)點(diǎn)怎樣處理，為什么這樣算？”一般的老師會(huì)用“直接告訴”的方式“傳遞”給學(xué)生，但優(yōu)秀的教學(xué)不是簡(jiǎn)單地“告訴”，而是引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入“現(xiàn)實(shí)情景”，引發(fā)認(rèn)知沖突，助推學(xué)生生活現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)的聯(lián)結(jié)，讓學(xué)生結(jié)合生活現(xiàn)實(shí)理解，努力“說(shuō)理”，經(jīng)歷算法的產(chǎn)生過(guò)程，從中理解算理，抽象算法，在習(xí)得知識(shí)、方法的同時(shí)獲得數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

二、溝通數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，促進(jìn)數(shù)學(xué)理解

小學(xué)數(shù)學(xué)教材內(nèi)容是按“螺旋上升”的方式編排的，隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不斷深入，學(xué)生所積累的數(shù)學(xué)基本知識(shí)和方法，具備的數(shù)學(xué)基本技能和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)也就越豐富、越厚實(shí)，這些數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的素材，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠定了經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。對(duì)原有數(shù)學(xué)知識(shí)、方法的考查、分析、反思，溝通相關(guān)聯(lián)的知識(shí)和方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，找出“同質(zhì)點(diǎn)”，通過(guò)歸納概括，推理“發(fā)現(xiàn)”并建構(gòu)出一類(lèi)問(wèn)題的解決方法或原理應(yīng)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要思維方式，也是促進(jìn)數(shù)學(xué)理解、數(shù)學(xué)思維進(jìn)階的重要途徑。

如，教學(xué)“租船問(wèn)題”：全班42人去公園劃船，租10只船正好坐滿(mǎn)。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租的大船、小船各有多少只？

當(dāng)學(xué)生用“畫(huà)圖”和“列表”的方法，運(yùn)用“一一列舉”策略解答后，老師選擇學(xué)生的畫(huà)圖法和列舉法同時(shí)重新并排展示在大屏幕上，進(jìn)一步提出要求：“我們一起再來(lái)觀(guān)察、比較這兩種不同的解題策略，特別是認(rèn)真分析他們的思考過(guò)程，有沒(méi)有什么異曲同工之處？”

學(xué)生展開(kāi)了更有深度互動(dòng)的交流，逐漸將數(shù)學(xué)的眼光聚焦于“人數(shù)變化”上，將思維落在“變化規(guī)律”上：

“不管是畫(huà)圖思考還是列表一一列舉嘗試尋找，每次調(diào)整前都要和總?cè)藬?shù)進(jìn)行比較，每次都是減少2人。”

“把一只大船換成一只小船就可以少坐2人。要少坐8人，只要把4只大船換成4只小船就可以了，列式是8÷2=4，算出來(lái)的就是要租小船的只數(shù)。最后10-4=6，就算出了要租大船的只數(shù)。”

“老師，你說(shuō)過(guò)學(xué)數(shù)學(xué)要學(xué)會(huì)想象，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開(kāi)計(jì)算。我發(fā)現(xiàn)，其實(shí)不管是畫(huà)圖還是一一列舉，一開(kāi)始都用到了假想和計(jì)算。我就用了假想和計(jì)算的方法。第一步我在腦海中先假想有10只大船，一共可以坐50人。第二步就和實(shí)際人數(shù)比較，發(fā)現(xiàn)多出8人。我就想怎樣把這8人抵消掉呢？一只小船可以坐的人數(shù)比一只大船少2人，就只要把幾只大船換成幾只小船。8人是4個(gè)2人，腦海中就把4只大船換成4只小船，也就是算出了要租小船的只數(shù)是4只，大船就是6只。我是這樣列式的：（5×10-42）÷（5-3）=4（只），10-4=6（只）。”

這是六年級(jí)下冊(cè)第三單元“選擇策略解決實(shí)際問(wèn)題”的例題2，實(shí)質(zhì)是雞兔同籠問(wèn)題的變式題。教材的教學(xué)目標(biāo)定位是要求學(xué)生能選擇“畫(huà)圖”或“列表”的方法，運(yùn)用“一一列舉”的策略來(lái)解決問(wèn)題。課堂教學(xué)實(shí)踐證明，這樣的教學(xué)目標(biāo)，學(xué)生基本都能達(dá)到。這對(duì)于即將小學(xué)畢業(yè)的六年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，顯然沒(méi)有難度，在數(shù)學(xué)思維上顯得有點(diǎn)“低階”，還停留在“淺層思維”的層面，通過(guò)“畫(huà)圖”或“列表”的方式來(lái)“一一列舉”的方法并沒(méi)有構(gòu)建出解決“雞兔同籠”這一類(lèi)經(jīng)典數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。在課堂中，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生多走一步，更進(jìn)一步，借助學(xué)生已有畫(huà)圖或列表的“列舉”策略經(jīng)驗(yàn)，把可視、顯性的“列舉過(guò)程”再次轉(zhuǎn)化成學(xué)習(xí)的素材，組織、啟發(fā)學(xué)生對(duì)“列舉”過(guò)程進(jìn)行再次觀(guān)察，深度思考，在素材結(jié)構(gòu)化的組織和呈現(xiàn)中，有意識(shí)地、適度地去培養(yǎng)、發(fā)展學(xué)生抽象思維、邏輯思維和推理能力，完成“假設(shè)法”的建構(gòu)，助推學(xué)生對(duì)一類(lèi)經(jīng)典數(shù)學(xué)問(wèn)題解決方法的本質(zhì)理解和建模。

三、整合其他學(xué)科知識(shí)，促進(jìn)數(shù)學(xué)理解

古人云：“它山之石可以攻玉。”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能只是“獨(dú)善其身”“閉門(mén)思考”，小學(xué)豐富的學(xué)科課程使小學(xué)生的“跨學(xué)科學(xué)習(xí)”成為可能。在教學(xué)中，教師要努力打破學(xué)科界限，在各學(xué)科中尋找與數(shù)學(xué)的契合點(diǎn)、整合點(diǎn)，凝練數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主題，創(chuàng)設(shè)真實(shí)的問(wèn)題情景、開(kāi)發(fā)實(shí)踐時(shí)空，讓學(xué)生在各學(xué)科之間開(kāi)展“縱橫捭闔”，具身實(shí)踐，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識(shí)與方法解決現(xiàn)實(shí)世界中的真實(shí)問(wèn)題，通過(guò)真實(shí)問(wèn)題的解決促進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和運(yùn)用，培養(yǎng)實(shí)踐精神，發(fā)展核心素養(yǎng)。

如，封閉圖形上的行程問(wèn)題：甲、乙兩人沿著400米的環(huán)形跑道跑步。他們同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，同向而行。甲的速度是280米/分，乙的速度是240米/分。經(jīng)過(guò)多少分鐘甲第一次追上乙？

解決該類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是學(xué)生缺乏“甲第一次追上乙時(shí)的路程差是多少”的準(zhǔn)確認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)。顯然，這和“勻速變化”的物理現(xiàn)象相關(guān)，也是和體育相關(guān)的問(wèn)題。有心的老師便會(huì)和體育老師聯(lián)合組織學(xué)生開(kāi)展專(zhuān)項(xiàng)活動(dòng)，讓學(xué)生帶著“真實(shí)問(wèn)題”，用數(shù)學(xué)的眼光去觀(guān)察運(yùn)動(dòng)中的“數(shù)學(xué)事實(shí)”，在學(xué)生親歷的學(xué)科實(shí)踐活動(dòng)中見(jiàn)證到“第一次相遇時(shí)，快速者總比慢速者多跑1圈”的事實(shí)規(guī)律。

【注：本文系無(wú)錫市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題“以參與者經(jīng)驗(yàn)為起點(diǎn)的小學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)研究”（編號(hào)：B/XC/2023/10）的階段性研究成果】