側(cè)重教材熱點(diǎn)　洞察高考本質(zhì)

集合間的基本關(guān)系是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是每年高考的必考內(nèi)容，高考常以選擇題的形式進(jìn)行考查。下面就這部分常見的解題技巧與方法進(jìn)行剖析。

一、判斷兩個(gè)集合的包含關(guān)系

兩個(gè)集合之間的包含關(guān)系是指集合A中的所有元素都在集合B 中，也就是說(shuō)“集合A 包含于集合B”或“集合B 包含集合A”，這種關(guān)系類似于代數(shù)中的“小于或等于”。

例1 （1）已知集合M ={x|x=1+a2，a∈N* }，P={x|x=a2-4a+5，a∈N* }，則M 與P 的關(guān)系為（ ）。

A.M =P B.M ?P

C.P?M D.M ?P

（2）已知集合P ={x|x=m2 +1，m ∈N* }，Q={y|y=n2-6n+10，n∈N* }，則集合P 與Q 的關(guān)系為（ ）。

A.P=Q B.P?Q

C.Q?P D.P?Q 且Q?P

解：（1）①對(duì)于任意的x∈M ，則x=1+a2=（a+2）2-4（a+2）+5。因?yàn)閍∈N* ，所以a+2∈N* ，所以x ∈P。由子集定義知M ?P。②當(dāng)1∈P 時(shí)，由a2-4a+5=1，可得a=2，而1+a2=1在a∈N* 上無(wú)解，所以1?M 。由①②可得，M ?P。應(yīng)選D。

（2）由題意可知集合P = {2，5，10，17，26，37，50，65，82，101，122，145，…}，Q ={1，2，5，10，17，26，37，50，65，82，101，122，145，…}，所以?x∈P，都有x∈Q。而1∈Q，1?P，所以P?Q。應(yīng)選B。

評(píng)注：集合之間的包含關(guān)系是根據(jù)集合中元素的關(guān)系來(lái)判斷的。

二、確定集合的子集與真子集

子集和真子集是集合中兩個(gè)非常重要的概念，子集強(qiáng)調(diào)包含關(guān)系，而真子集相對(duì)于子集來(lái)說(shuō)，強(qiáng)調(diào)包含關(guān)系和不相等關(guān)系，真子集是子集的一種特殊情況。

例2 （1）滿足條件{1，2}?M ?{1，2，3，4，5，6，7}的所有集合M 的個(gè)數(shù)是____。

（2）已知集合M ={x∈N|2x-3<2}，則集合M 的非空子集的個(gè)數(shù)是____。

解：（1）由集合M 滿足條件{1，2}?M ?{1，2，3，4，5，6，7}，可得集合M 至少含元素1，2，將1，2看成一個(gè)整體用a 來(lái)表示，則上述集合關(guān)系即為{a}?M ?{a，3，4，5，6，7}，則此時(shí)集合M 為集合{3，4，5，6，7}的真子集。所求問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求集合{3，4，5，6，7}的真子集的個(gè)數(shù)。因?yàn)?5-1=31，所以滿足題意的集合M 的個(gè)數(shù)是31。

（2）因?yàn)榧螹 ={x∈N|2x-3＜2}={x∈N x＜5/2} ={0，1，2}，即集合M 中有3個(gè)元素，所以集合M 的非空子集的個(gè)數(shù)是23-1=7。

評(píng)注：子集實(shí)際上比真子集的范圍要大一些，子集中允許包含全集這種情況，而真子集不包含全集這種情況，要注意兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系。

三、利用集合相等求參數(shù)

利用集合相等求參數(shù)時(shí)，要理解題設(shè)中兩個(gè)集合不同的語(yǔ)言表達(dá)方式，要注意兩個(gè)集合元素的有關(guān)性質(zhì)，關(guān)鍵是集合相等的性質(zhì)的靈活應(yīng)用。

例3 （1）已知集合A ={1，a，b}，B ={-1，a2，b2}，若A=B，則a·b=（ ）。

A.1 B.0

C.-1 D.無(wú)法確定

（2）已知集合A={a，a+b，a+2b}，B={a，ac，ac2}，若A=B，則c 的值為。