轉換性數學學習：內涵與價值

［摘 要］轉換性數學學習表征了數學學習活動中主體的主動性、意義的建構性和常識的轉化性，關聯著數學學習中多個維度的轉換性，但并不是轉換性學習理論在數學學習活動中的簡單推演，也不能被視為數學學習理論現代發展的主要方向或者唯一的研究范式，而是要將數學的學科特質和學習思維等屬性嵌入到那些看似相同或相似的轉換性過程中，需要重視數學活動中意義的視角和圖式，在變化、變換和變式中建構與完善數學知識結構，將數學知識轉化為數學能力和核心素養。好的轉換性數學學習不僅能引導數學教與學關系的轉變，而且能助推學生數學學習力提升和涵養核心素養教育的全面落實。

［關鍵詞］轉換性數學學習；數學知識；數學思維；核心素養

［中圖分類號］G720 ［文獻標識碼］A ［文章編號］1005-5843（2024）05-0023-08

［DOI］10.13980/j.cnki.xdjykx.2024.05.004

轉換性數學學習表征了數學學習活動中主體的主動性、意義的建構性和常識的轉化性，契合了學生核心素養培養的需要。倡導并落實轉換性數學學習，對于健全學生數學學習機制，幫助教師依據數學課程標準理念，優化數學教學設計，化解核心素養培養制約因素具有非常重要的意義。本文基于轉換性學習理論的再認識，初步探討轉換性數學學習的內涵與價值。

一、關于轉換性學習

在成人教育領域，轉換性學習指向了學習者世界觀、人生觀、方法論的檢視、質疑、修正、調整、改造以及相關價值觀的重建，強調學習要適應新情境、積累新經驗。轉換性學習最初由美國哥倫比亞大學師范學院教授、成人教育學者杰克·麥基羅（Jack Mezirow ）在20世紀70年代提出，在學術界被認為世界范圍內成人學習領域影響最為深遠的一種學習理論［1］。后來的研究者，比如保羅·弗萊雷（Paulo Freire）、羅伯特·博伊德（Robert Boyd）、克蘭頓（Patricia Cranton）、愛德華·泰勒（Edward W.Tayler）等人，基于已有學習理論的實踐與反思，融入了建構主義、解放教育思想、批判性思維和認知心理學等有關內容，并因此推動了轉換性學習理論的深化與拓展［2］。

（一）轉換性學習中的改變與轉變以意義為核心要素

就內容而言，轉換性學習涉及學習者感知事物方式的改變，是一種與成人學習密切相關的過程或模式。這種學習觀認為學習不僅僅是學習者知識結構的改變，而且是學習者在觀點及信念體系上的轉變。學習者通過改變、轉變獲得許多新的信息，通過質疑原有觀念開啟以轉換、轉化為導向的學習。在轉換性學習過程中，學習者要從知識、技能的單純接受轉向意義的建構，要通過使用先前的解釋來分析業已變化或修訂了的某一經驗的意義，促進其所學知識及認知思維向深層次轉變。關聯著轉換性學習的核心要素是意義，這是因為，每個人都有由意義視角、意義圖式組成的固定的意義結構。對學習者而言，有沒有發生轉換性學習，需要評價其已有意義結構是否發生了改變。好的轉換性學習將有助于學習者建立更有開放性、包容性和區分性的新的意義結構，可通過獲得的意義指導自身的行為。學習者的經驗與體驗是學習者自我建構的結果，學習者可基于經驗與體驗生成學習的意義，建構特定的知識與理解。學習者所擁有的相關經驗、體驗對于學習中轉化的實現不僅是不可或缺的，而且也是其在學習中進一步進行自我解構的前提和基礎。

不同于單純知識或機械技能的簡單性傳遞、轉移，轉換性學習不僅重視學習者對于知識結構的改變，而且重視學習者對于自身認知體系的轉變。在轉換性學習過程中，既有對所學知識及其意義的主動建構，又有對已有知識、技能、過程、方法、信念或價值觀的評估和重構，并因此顯現了學習中建構與解構的意義［3］。就學習的過程與方式而言，轉換性學習并非一個簡單的線性過程，而是有其個性化、經驗性、流動性等方面的特點。學習者不同的生活背景、知識基礎、實踐經驗和活動情境會對學習的發生、維持與深化產生不同的影響，不同學習者的思維碰撞、合作探究和實踐反思有助于轉換性學習的效果改善。對個體而言，轉換性學習更多的是基于其已有的認知、理解、關聯、分析、整合和反思而實現，為了將知識轉化為能力，需要開展具有一定批判性、反思性的學習檢視，并注重與他人進行的互動、交流。

（二）轉換性學習離不開學習者的自我主導力

較之于其他維度的改變，學習者心理結構和信念系統的改變是根本性的學習改變。為了實現這種改變，學習者需要學習的自我主導力。缺少這種主導力，學習者的學習會丟失其轉變的基礎，難以取得有價值的學習成果［4］。學習者之所以要學習，說到底是為了改變，改變是學習者學習的目的。

為了實現有效改變的目的，參與式學習需要被進一步倡導，這將有利于學習者在深度參與的過程中實現知識、技能和觀念等方面的有效轉變。學習者在參與式學習過程中的主導力可表現在多個方面。一方面，可表現為學習者對所學知識的主動質疑，因為只有對原有觀念進行主動質疑，學習者才有機會理性地檢視、發現其原有觀念所存在的問題，才能據此進一步了解、明晰其原有觀念“因為什么及究竟是怎樣限制了自己對世界或他人的觀察、理解、感受”。另一方面，可表現為學習者的批判性反思，這種反思不僅涉及對學習者原有觀念來源及相關后果的批判性評估，而且涉及學習者在新境遇、新經驗中對原有觀念適切性、有效性的檢視，涉及學習者對于觀念之選擇、計劃之行動、實踐之角色和主體間關系等維度的審思。

在數字化、自動化和人工智能等技術日益廣泛運用的時代，個體能否形成有效的轉換性學習，往往取決于個體能否對其原有的意義視角進行批判與反思，批判性思維有助于其主體性的安頓、重塑［5］，學習者對學習的批判性反思是其轉換性學習的關鍵。從實踐層面來分析，對于批判性的自我反思也可具化為學習者對學習中自我或他我的對話。事實上，轉換性學習是基于學習者已有經驗的學習，學習者對所學知識及其認知框架的改變也是學習者自我主導力的重要方面，學習者通過轉換性學習對原有認知結構進行深刻性反思，可對所獲得的外部知識進行組織、重新組織及基于評估而重構。由于轉換性學習不一定要通過理性的批判，不一定要局限于語言文字溝通等顯性的方式，所以轉換性學習也可借助于諸如想象、默想等超理性的活動或對話展開［6］。

（三）轉換性意義存在于學習者的心理、信念和行為等層面

轉換性學習的目的不僅在于獲得知識與技能，而且在于促進學習者成為主動、能動的思考者，能通過具有批判性的自我反思有效調整、修正其業已存在或已經固化了的意義圖式，并因此使學習者能從原有的意義視角中解放出來，改變那些已經不能適應當前變化的一些世界觀、人生觀、價值觀或方法論，建立更新的意義視角，建構更新的世界觀、人生觀、價值觀或方法論。

正是經歷了轉換性學習，才賦予了學習者心理、信念和行為等不同層面的轉換性意義。在心理層面，轉換性學習促進了學習者的自我了解以及相關意識的改變，重視自我發展要適應時代發展和社會需求，強化了學習者的深度學習和認知重構，并因此在不斷變化、充滿復雜性的社會環境中保持學習者應有的靈活性、適應性和發展性。在信念層面，轉換性學習促進了學習者在世界觀、人生觀、價值觀和方法論等信念系統要素的改變，并因此使學習者在面對復雜多變的社會環境時能靈活地調整自己的認知系統，更好地適應和應對來自不同方面的挑戰。在行為層面，轉換性學習促進了學習者生活態度和方式的改變，強調了學習者主動參與、內在動機對于學習及由此產生改變的重要性。

二、轉換性數學學習的內涵

轉換性數學學習表征了數學學習活動中主體的主動性、意義的建構性和常識的轉化性，關聯著數學學習中多個維度的轉換性。然而，轉換性數學學習并不是轉換性學習理論在數學學習活動中的簡單推演，也不能被視為數學學習理論現代發展的主要方向或唯一的研究范式。

（一）轉換性數學學習具有轉換性學習的一般屬性

從學習的一般屬性來分析，轉換性數學學習包含了主體、認知、非認知、目標、方法、策略和環境等多種因素，需強調學習主體的目標性、主動性、能動性、創造性、實踐性及其作為學習活動組織者的引導作用。這也表明，轉換性數學學習和其他學科的轉換性學習一樣，都具有某種相似或共同的轉換性過程，都是按照某種基本相同或相似的法則展開具體的學習過程。

比如，對大多數學生而言，轉換性數學學習是通過諸如上課、閱讀、交流、理解、分析、思考、探究、實踐等途徑而發生，不僅習得了數學的知識與技能，而且建構了有關的思想與方法，產生了數學認知行為或行為潛能比較持久的變化。作為一個過程，轉換性數學學習涉及新舊知識間的連接及思維與認知從無序到有序的轉化，涉及學習者認知結構的組織與重新組織。作為一個結果，轉換性數學學習關聯著知識結構與認知結構，既有知識、技能和能力等顯性成分，也有經驗、體驗、思維、情意等隱性成分。這也表明，轉換性數學學習并不僅僅局限于概念、命題、公理、定理等內容的學習與轉換，而是要深入到學習者核心素養的建構與發展，需對“三維一體”學習目標升級或轉換。這是因為，轉換性數學學習一方面是對學生所擁有的具體數學知識的轉換，另一方面還同時轉換了學生的數學觀點與認知信念體系，豐富或優化了學生的數學知識結構，提升了學生的數學化綜合素質。

（二）轉換性數學學習是嵌入數學學科特質和思維建構要求的轉換性學習

從數學學科的特殊屬性來分析，轉換性數學學習是具有數學學科這一特殊屬性的轉換性學習。

轉換性數學學習聚焦學生的概念理解和問題解決，重視數學知識與思維的建構，是一種具有科學性公共語言的轉化學習，是抽象活動的轉化學習，與抽象思維、邏輯推理、模型建構和知識系統的轉換密切相關。理解轉換性數學學習要高度重視數學學科特殊屬性在數學學習活動中的內化，要圍繞數學學習的本真問題開展轉換性數學學習的分析、研究，并據此進行轉換性數學學習的內涵建構。事實上，轉換性數學學習所具有的邏輯性不僅體現于其數學活動中嚴格的命題推理和嚴密的邏輯推導，而且體現在內嵌于學習中的抽象性而需要抽象概念的學習、應用及以此為基礎的推理和證明，需要關注一般性規律和普遍性問題的研究。相應地，轉換性數學學習也發生于從具體到抽象、從特殊到一般之間的動態轉換。

轉換性數學學習是有意義的抽象學習，需強調抽象學習過程中的意義賦予和抽象學習材料的潛在意義，強調學習者在面對抽象學習任務時要具備有意義的抽象學習心向，善于在已有知識及其與要學習新材料間建立聯系。數學學科的數學化屬性決定了轉換性數學學習是注重思維參與的數學化學習，轉換性體現于數學化過程中數學思維由淺層次向深層次的轉換，學習者通過數學思維的轉換獲得數學思維發展及數學認知結構完善。這也表明，轉換性數學學習要重視學生數學思維建構與發展這一關鍵，平衡好數學思維活動中意義性、常識性、抽象性、結構性之間的關系。

從不同思維類型來分析，轉換性數學學習也是學習者在不同數學思維間進行轉換的學習，是學習者不同思維相互協同、動態平衡的學習。為此，不僅要認識到抽象思維、邏輯思維對數學轉換性學習的本真作用，而且要認識到合情推理思維對數學轉換性學習所具有的重要價值。

為了深化學生的數學轉換性學習，數學教學過程中要突出3個方面的努力。第一，高度重視數學概念的教學，防止不知不覺陷入“掐頭去尾燒中段”的概念教學陷阱。這種陷阱突出了“一個定義”，強調了“三點注意”，然后進行大容量數學解題訓練，教學過程貌似嚴密、無懈可擊，但并不真正有利于學生建構數學概念的意義，相反會模糊概念內涵與外延的清晰界限。第二，高度重視數學知識間的關系，促進學習者的思維從工具性理解、運算性理解走向關系性理解、結構性理解、創造性理解、文化性理解，重視學生對數學思想、數學方法、數學精神的感悟，關注學生知識、經驗、體驗的累積、激活、轉換、改造和創生。第三，高度重視學習不同維度的平衡，比如抽象思維與具體操作的平衡，學科邏輯與數學現實的平衡，邏輯推理與合情推理的平衡，等等。

（三）轉換性數學學習的轉換性體現了基于常識的結構性、層次性

轉換性數學學習的轉換性是基于常識的轉化性，有其內在的結構性、層次性。根據弗賴登塔爾（H.Freudenthal）的觀點，數學是一種系統化常識，是轉換性數學學習的思維支架。事實上，無論是隱性數學知識的動態生成還是顯性數學關系的抽象建構都離不開學生以常識為基礎的數學現實，轉換性數學學習是與“常識”“經驗性”“擬經驗性”密切相關的轉換性學習。一方面，轉換性數學學習是源于、寓于學習者“常識”“數學現實”的能動性數學學習，學生已有數學知識、活動經驗和有序的數學認知活動必然有利于學生轉換性數學學習的建構與發展。另一方面，轉換性數學學習發生于學習者基于“常識”的“數學化”“再創造”“反思”等數學活動，轉換本身是一種過程性的學習體驗與數學活動經歷，意味著學習者數學知識結構、數學認知結構的優化。數學知識及其相關的邏輯思維隱藏于數學活動的實踐之中，實現學習者經由轉換性學習促進學習與思維結構化的關鍵在于教師的教學設計，特別是能否基于學生“常識”“數學現實”精心設計聚焦數學核心內容、具有一定邏輯結構、體現序列化特點的問題。

轉換性數學學習的轉換性還體現了基于常識的層次性，這是因為，在普通常識轉化為數學知識的過程中，需經過必要的抽象、提煉和組織，并據此凝聚成可在高一層次成為新常識的法則。由此，轉換性數學學習在本質上也是由常識轉化為法則再轉化為新常識的螺旋上升過程。學習者頭腦中常識經由數學教學法加工而實現有效轉化與轉換，這一過程不僅涉及對一些數學概念、數學定理和數學公式的分析、理解、內化和應用，而且還涉及到對一些數學思想方法的感悟與數學思維模式的建構。數學轉換性學習在常識上的層次性還表現為學習者在不同階段所存在著的常識的層次差異。比如，對于小學生而言，生活常識構成了數學轉換性學習的重要基礎，學生基于生活常識可設計一系列主體性數學活動，不同數學活動間與同一數學活動內部相互關聯、相互轉化，形成數學轉換性學習中結構框架的基礎，這時，數學常識既有個性化、直觀性特征，又有活動性、實踐性特點。到了初高中之后，學生的數學常識與數學關系、數學結構更為緊密相關，不僅顯現了思維性、抽象性、關系性的特征，而且顯現了數學邏輯與生活邏輯的整合。在此情況下，抽象不僅是轉換性數學學習中的基本思想，而且是學生形成、發展理性思維的重要基礎，學生通過對抽象和關系的把握建構數學活動中分析性、論證性、創造性、實踐性的思維和相關的數學思維。從對學生學習引導來分析，把握了學生不同階段常識性特征，可更加合理地設計與常識密切相關的情景問題，使學生在常識性的學習平臺上落實數學現實向數學實現的有序轉化。

較之于其他學科中學習的引導，轉換性數學學習中教師對學生引導要更加重視學生有序的“思想實驗”和從操作層面落實概念性知識的學習與運用，并因此促進學生對所學數學知識的深刻理解。做不到這點，相關實踐就容易異化轉換性數學學習本身，形成難以避免的局限性。比如，有一線數學教師將轉換性數學學習簡單地理解為變式數學學習，重視一題多變、一式多變、一圖多變、一題多解和一法多用，這些做法雖增進了學生對所學數學知識的結果理解，但并沒有提升學生在思維或方法上的創新性、創造性，相反，是將具有復雜性、探究性、問題性的數學過程學習進行了降格處理，不僅窄化了轉換性數學學習的內涵，而且弱化了轉換性數學學習的功能與價值。

三、轉換性數學學習的價值

盡管轉換性數學學習并不能被視為數學學習理論現代發展的主要方向或唯一研究范式，但由于轉換性數學學習本身強調了數學學習中意義視角、意義圖式的轉變，強調了從知識學習、技能訓練轉向概念理解、問題解決、思維進階和能力提升，所以利于學生從多個角度審視、理解所學的數學概念、數學命題及所探究的數學問題，通過變化、變換和變式更有層次、更有深度地推進數學活動，引導學習者結合所學內容、所用方法對數學學習的價值和理念進行反思；利于學習者在數學活動中內化知識，實現由知識到能力、學力和素養進行轉化的目標傳導，彰顯轉換性數學學習的獨特價值。

（一）引導數學活動中教與學關系的轉變

在轉換性數學學習視野中，數學教師不再只是數學活動信息的提供者，而是逐漸轉變為能動性數學活動的設計者、開發者、組織者和促進者，需將學習內容轉換為學生可接受的形式，通過必要的教學準備、內容表征、方法選擇和活動調適引導學生進行轉換性學習［7］。轉換性數學學習是主體解放性的數學學習，學生需收集、分析、處理數學活動的信息，但不再被動地接收數學活動信息，而是轉向自主、能動的轉化學習和數學活動意義的自我建構。推動轉換性數學學習不僅有助于數學課堂中教育教學方式的完善和良好師生關系的建立，而且有助于師生及時轉變那些并不恰當但已習慣化了的數學教與學關系。之所以如此，是因為轉換性的數學學習可為理解數學課堂中教與學關系的改變提供值得借鑒的行動框架和具有指導意義的方法論，利于學習者深刻洞察數學課堂中的教學關系及基于教學關系的深刻洞察而對具有豐富性、實踐性的數學教學活動的優化、改進。

從數學課堂中知識轉換角度來分析，轉換性數學學習不僅關注學生對于數學課堂中客觀性知識的學習與理解，更重要的是引導學生經歷“從具體到抽象再到具體”“從特殊到一般再到特殊”不斷循環的轉化過程，將接收到的客觀性知識內化為學習者個體性知識。例如，為了引導學生學習點、線、面、數、式、函數、映射、關系等抽象概念，教學中不是要簡單、直接地進行相關概念的抽象化描述或提出一些形式化數學定義，而是以一些具體對象作為基礎，然后進行必要的逐級抽象、描述、分析。但是，教學并不止于學生對數學知識的具體、特殊的感官體驗或直觀理解，而是通過逐級抽象或一般化的數學過程建構學生的抽象思維，構建有意義的高階數學認知。有經驗的數學教師可在提供大量相反意義量這一生活原型基礎上引入數學中正負數的概念，可通過對生活中諸如黑板面、墻面、地面、桌面、水面等自然界中的具體物體進行必要抽象，揭示數學中“平面”這一概念所具有的“無限延伸性”“沒有厚度”等本質特征。這些做法可幫助學生更好地建構概念恰當的心理表征。更一般地說，為了降低數學學習中抽象的層次，教師可合理采用具體對象對一些抽象對象進行替代，并在此基礎上通過具體對象抽象化、特殊問題一般化的數學活動過程實現知識的意義重構。通過轉換性學習，不僅深化了學生對于有關數學概念、數學命題、數學思想、數學方法和數學策略的理解，而且提升了學生對于公共性、抽象性數學知識進行內化的能力，利于學生將已內化的個體性知識進一步轉化為可分享的公共知識。

從學習過程中思維轉換來分析，課堂中要關注學生的數學思維，要引導學生善于將新知識、新命題轉化為其已掌握的舊知識、舊命題，學會師生角色轉換，從學生角度思考數學教學的目標與任務，合理利用變式教學，通過“一題多解”“一法多題”“多角度思考”等方法激活學生數學思維，引導學生克服舊有思維惰性和數學學習路徑依賴，學會靈活地改變數學思考的方向、角度，變換數學思維的方式、方法，通過改變問題的方向或角度，將待解問題從一種形式或形態轉換成另一種形式或形態。例如，面對一個待解的實際問題，教師可引導學生先進行橫向數學化，將待求實際問題轉化為已經學習過的諸如函數、方程或不等式等問題，引導學生思考能否將所給實際問題中有關數據關系用某一具體函數、線性方程或不等式來表示，能否進行相關圖像及其性質分析，在此基礎上進行一系列縱向數學化，通過數學問題的轉化、求解與反思來剖析待解實際問題的答案。通過類似的轉換性學習，教師可引導學生更有效地實現復雜問題的簡化、抽象問題的具化、陌生問題的熟化。

從數學課堂教學模式轉換來分析，轉換性數學學習要求關注學生的個性化數學學習、跨學科性數學學習、探究性數學學習和創新思維發展，要求關注學生的數學化，重視學生對于數學方法、數學理論的掌握，并用它們來分析、理解、解決問題。例如，在小學階段“認識千米”這一知識學習中，可圍繞特定的知識主題，設計數學與體育、語文、信息科技以及道德法治等學科進行橫跨的學習活動。就與體育的橫跨而言，可設計跑步比賽中如何進行距離測量的數學活動，在此活動中，學生不僅要認識“千米”的意義，而且要測算出每分鐘跑步的速度、預估完成1千米所需的時間。教師可在數學活動中設計出標注了起點、終點、中途點的運動軌跡圖，幫助學生在認識“千米”基礎上初步理解體育運動中距離和速度兩者間的關系。就與語文的橫跨而言，教師可指導學生閱讀與長跑有關的報刊文章，從中提取出與距離、速度、時間等有關的信息，將所提取信息有效整合到具體的數學問題中，在完成數學問題基礎上，引導學生寫一篇有個人體驗的短文，描述自己一次長跑經歷及結合有關數學知識學習討論如何進行跑步策略優化。就與信息科技的橫跨而言，可使用地圖軟件標記不同地點間距離，幫助學生初步了解諸如地理信息系統等軟件的具體應用，同時探索如何利用計算機編程對跑步比賽中的過程進行模擬，理性分析不同速度對于完成1千米跑步距離所需時間的影響。就與道德法治的橫跨而言，可引導學生討論在長跑比賽中為何要遵守競賽規則、應遵守哪些行為準則及如何通過精確數學計算和活動安排保證長跑比賽公平性。這樣的轉換性數學學習不僅可使學生獲得多個學科學習體驗，增加數學知識的理解性、致用性，而且通過對舊有教學模式的變革，可更好地激發學生卷入數學活動的熱情，更有效地增強學生深度數學學習的動力。

（二）助推學生數學學習力提升

轉換性數學學習不僅關注問題解決過程中的形式轉換，而且關注數學知識、數學經驗如何被學生內化并轉化為對數學學習力提升具有重要影響的核心信念和價值觀，關注所學數學思想與方法的普遍性意義。比如，在數學解題學習中，不僅注意解題活動中具體的數學思維，而且跳出具體問題的數學解題思維，通過解題后的歸納與總結，用更加凝練的語言提升、推廣解題活動中的數學思維，從一般的思維活動中尋覓由數學解題意義視角、意義圖式所組成的數學解題意義結構，從更為一般的角度揭示解題活動中所蘊含的思想與方法的普遍性意義。從更廣泛的角度來審視，轉換性數學學習中諸如“活動經驗”“實踐反思”“深度互動”“整體性思維”“大概念”“結構化”“跨學科”等主觀或客觀重組要素都契合了數學學習力提升要求。

通過轉換性數學學習，學生會更加關注作為數學學習力核心要素的數學思維，通過數學思考和問題轉換學會數學思維，通過合法性邊緣參與激活數學學習思維，通過優化數學思維和分析、求解問題獲得更加清晰、深入、全面、合理的思維轉換思路和問題探求精神，將直觀、具體的思維轉換為理性、抽象的思維，并逐步走向具有求真、明體、達用的理性精神。較之于對理性認知因素的重視，轉換性數學學習也重視了與數學學習力提升密切相關的非理性因素，將學生數學情意、空間想象、數學直覺等視為轉換性數學學習得以實現不能缺位的因素和重要的動力。例如，在初中“等腰三角形的基本性質”這一數學知識轉換性學習中，學生的數學直觀就是數學活動不能缺位的因素和重要的動力。這是因為，在引導學生對“兩個底角相等”“頂角平分線、底邊上中線、底邊上高相互重合”這些性質的探究中，教師首先需要學生通過直觀進行相關數學性質的感知、猜想而非嚴格意義上的數學證明或概念界定，數學直覺對于學生理解等腰三角形性質及與此相關的學習力就可起到關鍵性作用。畢竟，等腰三角形兩個底角相等是一個直觀概念，這種直觀感知能讓學生快速地識別、應用等腰三角形性質，可直接領悟、洞察“等腰三角形三線合一”的性質。認知與非認知兩類因素相互協同，既強化了學習者對思維習慣的改變，又強化了學習者對于數學知識的理解、轉化與應用，重視數學課堂中通過互動與交流提高數學洞察力、達成數學學習共識。

轉換性數學學習在關注學生數學知識或數學技能發展過程的同時，也關注學生數學活動過程與方法的優化，要求學生持續地進行數學思考，不斷增加數學活動的方向感、目標感、實踐感及反思性和進階性，并因此使數學學習從一種狀態、形式轉變為另一種狀態、形式。例如，教師可通過引導學生對于符號化、數形結合、函數、方程、轉化、對應、假設、比較、分類討論、模型化等思想方法的掌握，寓思想方法于具體的數學知識學習中，能有效增加學生對所學數學知識本質的認識及與學習本身有關的方向感、目標感、體系性，不斷提高學生數學轉換性學習能力。就具體的數學解題活動而言，擁有轉化思想方法的學生不僅能正向地思考、分析待探究的數學問題，而且可通過逆向性的數學思維，從待探求結果出發，逐步地分析、推導出當前待探究問題的前因，并因此找到問題求解關鍵點。好的轉換性數學學習會營造有意義的數學活動環境，搭建師生互動交流的數學學習平臺，激發學生深度數學學習的動機，促進學生主動、能動的數學活動參與和批判性的數學思考，使學生能基于抽象、推理和模型建構進行理性對話。

轉換性數學學習可涵養學生可遷移、可持續數學學力。例如，正是從“轉換”和“遷移”角度分析，可看到新數學知識學習也是已學數學知識重新梳理與再認識的過程。就數認識的擴展而言，數系擴張不僅僅是從一元數系到二元數系的簡單擴展，而且是涉及代數、拓撲和Galois理論等數學分支的復雜性數學化過程，與此相關，學習者數學學力也就涵養于轉換性中的學習遷移和可持續性數學思考。中小學階段，先后經歷了從整數到有理數、從有理數再到實數、從實數到復數的擴張，數系擴張學習也是轉換性數學學習，從中可逐步地擴展學生對于數的理解和運算能力。在小學階段，經歷了從自然數到正有理數擴張。在初中階段，經歷了從有理數到實數擴張。在高中階段，經歷了從實數到復數擴張，復數學習過程就變成實數域上有關知識重新復習與認識過程。學生可用新學習的復數知識重溫初中階段代數式各種運算的知識，可用新學習的復數知識重新認識幾何變換，重新理解高中階段所學向量、三角、不等式與解析幾何等知識。這樣的轉換性數學學習，學生不僅感受到新舊數學知識間的差異性，而且使以前所學舊知識在新情境中獲得了新生，舊知識成為新知識的特殊情況，新知識成為舊知識的拓展、提升，學生對于舊知的復習過程和新知的內化過程也成為數學學力的涵養過程。事實上，在轉換性數學學習中，學生需優化數學學習內容和數學活動方式，需探究問題、解析概念、轉化思維、明理達用，需改變數學學習信念、數學活動價值觀念、數學思維方式，在循理而行的數學化活動過程中體會所學數學知識的本質內涵，領悟數學思想方法，提升所學數學知識理解的層次和數學活動的實踐品性，并通過所學數學知識體系建立和新舊知識間相似性發現，促進數學學習中高通路遷移實現。

（三）涵養核心素養教育的全面落實

轉換性數學學習不僅關注不同數學學習內容中的相似性、關聯性、結構性，關注師生對于核心素養及其培養理念的理解，而且注重從已有數學知識出發，通過改變特定問題的情境、條件、障礙或待解的目標，進行數學問題、數學命題的變化、轉換，提出新的概念、方法、問題、命題，引導教師使用與核心素養建構相適配方法優化教學設計，激發學生建構數學知識的自主性、能動性，自覺地加強對所學知識的深入理解和靈活應用。這些做法將有助于學生在數學知識的交流、應用與傳遞中實現數學學習的價值創造，將不復雜的工具性數學學習及時轉向較復雜的溝通性數學學習，并在此基礎上進一步轉向最復雜的解放性數學學習［8］。可見，轉換性數學學習能將學生所學數學知識與技能轉化為數學學習能力與品格，促進師生運用更加合理、有效的途徑落實以核心素養培養為目標的教學轉化工作。根據Mezirow對轉換性學習的研究［9］，轉換性數學學習可更好地聚焦學生所秉持的數學學習目的、數學學習價值、數學學習情感和數學學習意義，有助于核心素養的落實。這是因為，轉換性數學學習是與傳統授受式數學學習方式不同的學習，它以增長學生數學知識、發展學生數學能力為學習目的，以學生數學思維發展、核心素養建構為學習價值，以學生正確價值觀建立為學習情感，是轉變學生數學學習觀及數學活動信念體系的能動性數學學習。通過轉換性數學學習，學生可將已有數學知識、數學技能、數學思想、數學方法合理應用到新情境中，從而提升其抽象、推理、模型化的數學能力和分析問題、解決問題的綜合素質，這本身就是以核心素養為導向的數學教育教學活動所倡導并強調的關鍵數學能力與必備數學品格。美國著名數學教育家舍費爾德（Schoerfeld）指出：“我所希望的并非僅僅是教會我的學生解決問題——特別是別人所提出的問題，而是幫助他們學會數學思考。”［10］從實踐角度來分析，轉換性學習不僅利于學生進一步認識自己的數學學習目標，而且利于學生改進數學思考方式和問題分析、解決的策略，于知識、思維和觀念的縱向聯結中提升核心素養。比如，通過思維導圖、逆向思維、合情推理思維等方法與技術，學生可打破其固有的思維模式，促進自己從不同角度思考如何進行數學問題轉換、如何進行學習內容間聯系、如何進行問題分析與解決途徑拓展等。在這樣的轉換性學習過程中，學生可經由聯系提升思維的深刻性，經由轉換提升思維的靈活性，并因此使數學學習經歷從數學知識的進階、綜合走向數學思維的分化、深化，然后走向數學觀念的整合、提升。

轉換性數學學習有助于涵養核心素養教育還表現為轉換性數學學習對數學差生的轉化。轉換性數學學習作為一種深度數學學習的方式，對差生的幫助不僅僅表現為對差生數學知識積累及其品質的關注，而且表現為對差生數學觀、數學學習情意以及能否學好數學信念的關注，重視對差生不當觀念、不當信念的轉變。許多學生之所以淪為數學差生，不是因為他們不想學數學，而是因為他們不會學數學、學不會數學。通過轉換性數學學習，可循序漸進地對差生進行學法指導，使他們在教師幫助下主動參與數學活動，更積極地思考數學，更自覺地重視學習內容的深度理解，科學地克服死記硬背等機械化數學學習方式，努力建構品質更加良好的數學認知結構。例如，在數學問題求解過程中，教師可借用波利亞（George Polyd）所倡導的數學啟發法對學生進行解題計劃、方法和策略的引導。調研表明，數學差生很容易在學習策略、自尊心和自信心等方面存在缺陷或不足。通過轉換性數學學習，可幫助數學差生有針對性地獲得有效學習策略，使學生逐步學會問題轉換、命題轉化，更理性地進行數學學習目標自我設定和數學活動過程自我引領，建立積極、主動、自覺的數學學習態度，在成功的數學活動體驗中提高自尊心、自信心和數學學習自我效能感。

參考文獻：

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［9］Mezirow J.Transformation theory and cultural context：A reply to Clark and Wilson［J］.Adult Education Quarterly， 1991（03）：188-192.

［10］鄭毓信，梁貫成.認知科學：建構主義與數學教育［M］.上海：上海教育出版社，1998：245.

Transformational Mathematics Learning： Meaning and Value

Abstract： Transformative Mathematics Learning represents the initiative of the subject， the constructiveness of meaning and the transformation of common sense in mathematics learning activities， it is related to the convertibility of many dimensions in mathematics learning， but it is not a simple deduction of the convertibility learning theory in mathematics learning activities， it should not be regarded as the main direction or the only research paradigm of the modern development of mathematics learning theory， but should embed the characteristics of mathematics subject and learning thinking into those seemingly same or similar transformative processes， it is necessary to pay attention to the angle of view and schema in mathematics activities， to construct and perfect the structure of mathematics knowledge in the process of change， transformation and variation， and to transform mathematics knowledge into mathematics ability and core accomplishment. A good transformative mathematics learning can not only guide the change of the relationship between mathematics teaching and learning， but also promote the improvement of students mathematics learning ability and the implementation of the education of self-cultivation core competency.

Key words：transformative mathematics learning; mathematical knowledge; mathematical thinking; core quality