一種鋰電池在線荷電狀態估計算法

摘要：針對三元鋰電池的在線荷電狀態估計問題，提出了一種基于開路電壓在線計算和查表法的鋰電池在線荷電狀態估計算法。首先，對鋰電池進行一階戴維南等效建模，通過等效電路模型，推導并化簡得到端口電壓、端口電流和開路電路之間的關系；然后，利用遞歸最小二乘法完成了開路電壓的在線求解，通過鋰電池工作中的端口電壓、電流參數實現了開路電壓近似值的實時計算；最后，介紹了所提出在線荷電狀態估算算法的實現流程，并通過典型數據集對所提出算法的估計精度、運算量等性能進行了對比分析和實驗驗證。實驗結果表明：所提出的在線荷電狀態估計算法的估算誤差低于15%，運算速度是改進卡爾曼濾波法的2.5倍，表明所提在線荷電狀態估計算法精度較高且運算速度較快，適合用于在線荷電狀態估算。

關鍵詞：鋰電池；等效電路模型；開路電壓計算；在線荷電狀態估計；低運算量；參數估計

中圖分類號：TM93 文獻標志碼：A

DOI：10.7652/xjtuxb202409016 文章編號：0253-987X（2024）09-0164-09

An Online State of Charge Estimation Algorithm for Lithium Batteries

LI Wenfan1， YANG Kun2， MA Haifeng1， WANG Yaoxiong1， WANG Junxiong1

（1. Northwest Institute of Mechanical and Electrical Engineering， Xianyang， Shaanxi 712000， China;

2. School of Electrical engineering， Xi’an Jiaotong University， Xi’an 710049， China）

Abstract：An online state of charge estimation algorithm for ternary lithium batteries is proposed based on online calculation of open circuit voltage and table lookup method. Firstly， the first-order Thevenin equivalent model is applied to the lithium battery， and the relationship between port voltage， port current， and open circuit voltage is derived through the equivalent circuit model. Then， the recursive least squares method is used to solve the open circuit voltage online， and real-time calculation of the approximate open circuit voltage is achieved through the port voltage and current parameters during the operation of the lithium battery. Finally， the implementation process of the proposed online state of charge estimation algorithm is introduced， and the estimation accuracy， computational complexity， and other performance of the proposed algorithm are compared， analyzed， and experimentally verified using typical datasets. The experimental results show that the estimation error of the proposed online state of charge estimation algorithm is less than 15%， and the computational speed is 2.5 times that of the extended Kalman filter method. This indicates that the proposed online state of charge estimation algorithm has high accuracy and low computational complexity， which make it suitable for online state of charge estimation.

Keywords：lithium battery; equivalent circuit model; open circuit voltage calculation; online state of charge estimation; low computational burden; parameter estimation

三元鋰離子電池具有儲能密度高、功率密度大、自放電率低、使用壽命長等特點［1-3］，近年來在電動汽車、電網等儲能系統中取得了廣泛應用［4-5］。荷電狀態是電池剩余電量的直接評估指標，是電池管理系統中的關鍵參數，對鋰電池的均衡控制、充放電控制、效率管理和安全運行等有至關重要的作用［6-9］。

類似于汽車的油表，荷電狀態無法直接測量得到，必須采用相關手段進行估算。根據相關文獻報道，目前主要的荷電狀態估計算法包括數據驅動計算法［10-12］、直接計算法［8，13-15］和模型計算法［16-22］。基于數據驅動的荷電狀態估計算法需要大量實驗數據對算法進行訓練，不僅估計結果取決于實驗數據的數量和質量，且運算量較大，因此目前尚未在工業中廣泛應用。

直接計算法通過數學或者算法對荷電狀態進行直接求解，其中安時積分法是主要的荷電狀態直接計算法之一。安時積分法通過對電流的累計計數實現剩余電量的估計，表達式如下

St=S0－∫tt0i（τ）Ctdτ， 0≤St≤1（1）

式中：St為荷電狀態在t時刻的值；S0為荷電狀態初值；Ct為電池的容量；i為電池端電流；τ為時間積分變量。St為0表示電池電量全部釋放完，剩余電量為0；St為1表示電池為滿電狀態，剩余電量為100%。安時積分法原理簡單，運算量小，僅通過式（1）就可實現荷電狀態的在線估算，是傳統廣泛應用的荷電狀態估計算法之一。但該算法的計算結果受初始值影響，初始誤差無法消除，且電流傳感、采樣和數據計算等不可避免地存在一定誤差，導致計算結果會有累積誤差。雖然學者針對該算法進行了大量的改進和研究，但初始誤差和累積誤差始終是限制安時積分法估計精度的兩大難題。

三元鋰電池的荷電狀態S與開路電壓V之間存在較為穩定的數學關系式，因此開路電壓也可以用于荷電狀態的估算［23-26］。首先，通過實驗標定出荷電狀態-開路電壓表達式（記為S-V）；然后，測量并記錄電池的開路電壓；最后，通過查表或S-V表達式計算出對應的荷電狀態值。然而，電池的開路電壓并不等于端口電壓，無法直接在輸出端測量，必須在電池停止使用并靜置數小時之后，才可以用端口電壓測量值來近似開路電壓，因此開路電壓法多用于離線荷電狀態估計應用場合。

基于模型的荷電狀態估計算法研究和應用較多，主要模型包括電化學模型［5，16，27-28］、等效電路模型（ECM）［9，18，29-31］等。電化學模型根據電池內部的化學反應過程進行建模，計算結果比較精確，但電化學模型包含復雜的數學方程，求解運算量很大，難以應用到在線荷電狀態估計領域。等效電路模型在建模復雜度和荷電狀態估計精度方面做了權衡，結合改進卡爾曼濾波（EKF）等相關算法，實現了較為精確的荷電狀態在線估計，但EKF法的運算量仍然較大，對處理器的性能要求較高。

本文提出一種開路電壓在線求解的方法，對荷電狀態在線估計問題進行研究，并結合S-V曲線，通過查表法實現荷電狀態值的在線求解。

1 基于等效電路模型的在線開路電壓計算

通常情況下，開路電壓測量需要在電池停止工作的狀態下進行，而且通常需要將電池靜置數小時后測量才能得到較為精確的開路電壓，因此無法借助S-V曲線通過查表法實現在線荷電狀態計算。本文介紹一種基于ECM的開路電壓在線計算法，通過電池工作時的端電壓、端電流數據即可實現開路電壓的在線求解，進而可以利用S-V曲線，借助查表法實現在線荷電狀態求解。該方法實現過程簡單，運算量小，可以基于數字信號處理器實現在線荷電狀態計算。

1.1 開路電壓與電池端電壓、端電流的數學關系

采用一階ECM對鋰電池進行建模等效，其等效電路如圖1所示。uOCV用于表征鋰離子電池的開路電壓，R1用于表征鋰電池的歐姆內阻，R2、C2分別為鋰離子電池的極化電阻和極化電容，u、i分別為電池工作時的端電壓和端電流。uOCV、歐姆內阻、極化電阻、極化電容均為與電池荷電狀態、溫度T、充放電次數k等相關的時變量。

根據基爾霍夫電壓定律、基爾霍夫電流定律，可以得到ECM的基本方程如下

u（t）=uOCV（t）－i（t）R1（t）－uC（t）

i（t）=C2（t）C（t）+uC（t）/R2（t）（2）

式中：uC（t）、uOCV（t）分別為t時刻的極化電容電壓、電池開路電壓。

方程中包含的未知參數有：uOCV（t）、R1（t）、R2（t）、C2（t）、uC（t）。其中，uC（t）可以通過其他參數表示，并非獨立變量，因此可以將其消去。對式（2）兩端求導，有

（t）=OCV（t）－（t）R1（t）－i（t）1（t）－C（t）（3）

因為uOCV、R1（t）、uC（t）隨著電池的荷電狀態S、溫度T、充放電次數k的變化而變化，所以OCV（t）可以表示為S、T、k的偏導數形式

OCV（t）=

uOCV（t）S uOCV（t）T uOCV（t）kStTtkt（4）

同理，可將歐姆內阻1（t）表示為偏導數的形式

1（t）=R1（t）S R1（t）T R1（t）kStTtkt（5）

假設電池進行1C放電工作，荷電狀態從1減小到0的理論時間為3600s，S/t≈3×10－4，大倍率電池的放電倍率通常也只能達到10C左右，因此可近似認為荷電狀態的時間導數為0。一方面，電池對溫度T較為敏感，因此電池管理系統會對電池溫度進行嚴格的監控，確保其工作在正常溫度范圍內；另一方面，正常工作時，電池的溫度變化非常緩慢，因此Tt的值可以近似為0。充放電一次的時間包括充電時間和放電時間。假設電池以1C放電、1C充電，則k/t≈1.4×10－4，可近似認為等于0。綜上所述，式（4）可以簡化為

（t）≈－（t）R1（t）－C（t）（6）

由式（2）～（4）消去uC（t）、C（t）可得

（t）≈－R1（t）（t）－R2（t）+R1（t）R2（t）C2（t）i（t）－

1R2（t）C2（t）u（t）+uOCV（t）R2（t）C2（t）（7）

從式（7）可以看出，uOCV（t）可以通過電池端電壓、端電流以及等效電路參數計算得到。端電壓、端電流在電池工作時可以直接測得，因此前面介紹的開路電壓在線求解問題可以轉化為等效電路參數在線辨識問題。

1.2 開路電壓在線計算

為了便于推導，將式（7）中的系數用ai （i=1，2，3，4）表示，表達式為

a1=－R1（t）a2=－R2（t）+R1（t）R2（t）C2（t）a3=－1R2（t）C2（t）a4=uOCV（t）R2（t）C2（t）（8）

則式（7）可以改寫為

（t）≈a1（t）+a2i（t）+a3u（t）+a4（9）

式（9）為時間連續域中的表達形式，在開路電壓計算中，需要對其進行離散化處理。設采樣周期為Ts，令（t）=（xn+1－xn）/Ts，x（t）=xn，x可取u或i，則可將式（9）整理為如下的離散化形式

un+1=b1in+1+b2in+b3un+b4Ts（10）

式中：b1=a1；b2=a2Ts－a1；b3=a3Ts+1；b4=a4。

觀察式（10）發現，該式中的各個參數可以通過經典的遞歸最小二乘法進行求解。首先利用電池端電壓、端電流的在線監測數據求出b1、b2、b3、b4，進而間接求得a1、a2、a3、a4，最后求得uOCV（t）的值為uOCV（t）=－a4/a3，uOCV（t）即為在線求解得到的開路電壓。需要說明的是，若有其他計算需要，R1（t）、R2（t）、C2（t）也可同時求得。

必須指出，雖然本文提出的方法能夠實現開路電壓的在線計算，但該方法也有一定的局限性。式（9）包含電池輸出端口電壓和端口電流的導數（t）、（t），因此，當輸出電流為恒定值或者變換非常緩慢時，（t）近似為0，此時式（9）可以簡化為

（t）≈a2i（t）+a3u（t）+a4 （11）

式（11）只有3個待求參數，即a2、a3、a4，而鋰電池的等效電路模型包含uOCV（t）、R1（t）、R2（t）、C2（t）共4個待求參數，式（8）中待求參數數量大于方程數量，無法對電池等效電路模型的參數進行求解，因此這種情況下該算法將不再適用。此外，連續系統的離散化處理涉及采樣頻率、測量噪聲等因素，也可能引起相應的分析誤差。在將式（9）離散化的過程中，涉及采樣頻率fs，當采樣頻率過低時，會由于采樣周期太大而引入分析誤差。采樣頻率越高，離散化系統越能夠真實地反映原時域系統的特性。通常，在鋰電池狀態監測中采用的采樣頻率不低于1Hz，以確保離散化處理時的計算精度。在一些測量環境比較惡劣的工況下，較大的測量噪聲也會引入一定的分析誤差。針對這種情況，可以結合具體應用情況進行噪聲分析，在數據輸入端加入適當的濾波處理，以提高分析精度。

2 在線荷電狀態計算

本文提出的基于開路電壓實時估算的在線荷電狀態估計算法的關鍵在于獲取準確的開路電壓，在線得到開路電壓之后，利用鋰電池開路電壓與剩余電量荷電狀態之間的非線性對應關系，通過查表法就可以得到荷電狀態。

本文所提出的基于開路電壓實時估算的在線荷電狀態估計算法主要包括離線標定和在線計算兩部分。當環境溫度不同時，電池的S-V曲線不同，因此，實際中需要以5℃為步長，對工作環境溫度區間內的參數進行標定。本文以室溫25℃為例對所提出的方法進行介紹。

首先，需要離線標定S-V曲線，具體流程如圖2所示。對鋰電池而言，充電、放電過程對應的S-V曲線不完全相同，因此，為了提高荷電狀態估算精度，需要分別對充放電過程的S-V曲線進行實驗標定。混合脈沖功率特性（HPPC）實驗是常用的電池測試方法，通過HPPC實驗數據可以得到一系列荷電狀態及其對應的開路電壓，然后結合曲線擬合的數學手段，可以得到S-V曲線表達式，進而可以得到充放電過程中的S-V數據表。實際工程應用中，可以將S-V數據表存儲在FLASH中，供在線荷電狀態估計算法查表使用。

鋰電池在線工作時的荷電狀態估計流程如圖3所示，圖中Ith表示系統啟動閾值電流。工作中以Ts為采樣周期，對電池輸出電壓、電流數據進行采集，并根據采集的電流數據判定電池是否處于充電/放電狀態。當檢測到電池端電流大于設定閾值時，表示電池處于工作狀態，通過前面介紹的在線開路電壓求解方法可計算得到實時開路電壓參數。當端電流流出電池時，表示電池處于放電狀態，根據離線標定得到的放電曲線查表得到對應的荷電狀態；當端電流流入電池時，表示電池處于充電狀態，根據離線標定得到的充電曲線查表得到對應的荷電狀態。通過上述流程，即可在線得到開路電壓和對應的荷電狀態，實現電池剩余電量的在線估計。

各部分相應的實現流程詳述如下。

（1）離線標定。①在不同環境溫度下，測試電池充放電過程的S-V曲線數據；②通過數據擬合方法得到電池充放電過程的S-V表達式；③根據曲線表達式，將荷電狀態、開路電壓數據對保存至FLASH，供在線查表使用。

（2）在線計算。①對電池端電壓、端電流進行周期采樣，采樣周期通常設置為1s；②判斷電池是否處于充放電狀態：如果端電流遠小于工作電流，表明電池未工作，跳至①；如果端電流大于設定閾值，表明電池進入工作狀態，跳至③；③通過采樣數據計算開路電壓；④根據電池充放電狀態，選擇充放電S-V數據表，查表得到對應的荷電狀態，跳至①。

電池管理系統必須時刻對電池電壓、電流進行監測，當檢測到電池進入充放電狀態時，啟動荷電狀態在線計算算法；當檢測到電池停止工作時，停止荷電狀態在線計算算法。

3 實驗驗證

以電動汽車電池測試中常用的室溫條件下城市道路循環（UDDS）工況、混合脈沖工況為例，對所提出的在線荷電狀態估計算法進行實驗驗證。實驗數據來源于麥克馬斯特大學開源數據集，電池型號為LG HG2 18650，額定電壓為3.7V，額定容量為3A·h。數據集包含整個充放電過程中荷電狀態實際值，可以用于算法估計結果的評估分析。

在進行在線荷電狀態估計之前，根據離線標定流程得到鋰電池放電過程的S-V曲線表達式，以0.01荷電狀態為步長對荷電狀態進行取樣，并計算相應的開路電壓，并將開路電壓與荷電狀態數據對保存至存儲器，以便進行在線荷電狀態估算時查表使用。

3.1 城市道路循環工況

通常情況下，電池荷電狀態控制在0.9～0.1的范圍內，下面針對該電池荷電狀態從0.9下降至0.1 的過程進行在線荷電狀態估算。電池端電壓、端電流的采集頻率為10Hz，采集到的電壓和電流波形如圖4所示。

從圖4可以看出，在UDDS工況下，電池端電壓隨著放電時間的增加不斷降低。定義電流流出電池為負方向，放電過程中的電流有正有負，但總趨勢以流出電池的放電狀態為主。采用本文所提出的在線開路電壓計算方法，利用端電壓、端電流參數對實時開路電壓參數進行在線計算。為了對開路電壓計算精度進行分析，利用S-V曲線得到了放電過程中開路電壓的理論值。計算值與理論值的對比結果及誤差定量分析如圖5所示。

圖5（a）中，紅色點劃線表示根據本文所提算法實時計算得到的開路電壓，藍色實線表示根據實驗荷電狀態數據和S-V之間的關系得到的開路電壓理論值；圖5（b）為針對開路電壓實時計算值進行的誤差定量分析。可以看出，通過本文所提算法計算得到的開路電壓與通過S-V曲線得到的開路電壓理論基本吻合，估計誤差低于2.5%，說明所提出的基于電池端電壓、端電流的在線開路電壓計算方法效果良好。

在線計算得到開路電壓之后，通過查表法即可得到實時荷電狀態估計值。荷電狀態估計值與實際值的對比及誤差定量分析如圖6。

圖6（a）中，紅色點劃線表示根據本文算法得到的實時荷電狀態估計值，藍色實線表示UDDS實驗得到的荷電狀態實際值；圖6（b）為針對本文荷電狀態在線估計算法進行的誤差定量分析。從波形可以看出，在電池放電實驗中，荷電狀態逐漸降低，整個過程中，利用本文所提出方法估計得到的荷電狀態與實際值基本一致，其誤差低于8%。

為了進一步對本文所提出荷電狀態在線估計算法進行評估，采用EKF法對同樣的數據進行分析，得到的荷電狀態及其誤差如圖7所示。

圖7（a）中，紅色點劃線表示根據EKF法得到的實時荷電狀態估算值，藍色實線表示UDDS實驗得到的荷電狀態實際值；圖7（b）為針對EKF法進行的荷電狀態估計誤差定量分析。可以看出，EKF法得到的荷電狀態估計值誤差低于8%，與本文所提出的方法相近。

3.2 混合脈沖工況

采用數據集中混合充放電工況下的數據對在線荷電狀態估計算法進行性能驗證，驗證流程與UDDS工況類似。混合充放電工況下，電池端電壓、端電流的采集頻率為10Hz，采集到的電壓和電流波形如圖8所示。

圖8（a）為端口電壓波形，圖8（b）為端口電流波形。在混合脈沖工況下，電流時正時負，但電池端電壓逐漸波動減小，整個過程以放電為主。通過所提出的在線開路電壓計算方法，根據端口電壓、電流進行開路電壓在線估計，并分析其估計誤差，結果如圖9所示。

圖9（a）中，紅色點劃線表示估計得到的開路電壓，藍色實線表示根據實驗荷電狀態數據和S-V曲線得到的開路電壓理論值；圖9（b）是開路電壓實時估計誤差。可以看出，通過本文所提算法計算得到的開路電壓與通過S-V曲線得到的開路電壓理論值基本吻合，估計誤差低于4%，說明本文提出的基于電池端電壓、端電流的在線開路電壓計算方法效果良好。

在線估計出開路電壓之后，通過查表法得到實時荷電狀態估計值，如圖10所示。

圖10（a）中，紅色點劃線表示本文算法得到的荷電狀態估算值，藍色實線表示荷電狀態實際值；圖10（b）為對本文荷電狀態估計算法的誤差。從波形可以看出，在電池放電實驗中，荷電狀態值漸降低，整個過程中，本文算法估計得到的荷電狀態與實際值基本一致，其誤差低于15%。

同理，為了進一步對本文所提出的荷電狀態在線估計算法進行評估，采用EKF法對同樣的數據進行了分析，得到的荷電狀態及其誤差如圖11所示。

圖11（a）中，紅色點劃線表示根據EKF法得到的實時荷電狀態估計值，藍色實線表示UDDS實驗得到的荷電狀態實際值；圖11（b）為EKF法進行荷電狀態估計的誤差。可以看出，EKF法得到的荷電狀態估計值誤差在15%以內，與本文所提出的在線荷電狀態估計算法相近。

為了充分驗證本文算法的有效性，針對其他多種工況也進行了相應的驗證實驗，限于篇幅原因，這里不再介紹。必須指出的是，本文算法不適用于恒流及電流變化速率很低的工況，否則會引入很大的誤差。在電流變化速率較低的工況下，可考慮與安時積分法結合使用，以實現較高的估計精度。

3.3 運算速度對比

為了分析本文所提算法的運算速度，采用本文算法和EKF法分別對15000組端電壓、端電流采集數據進行分析，并計算兩種算法對每組數據的處理時間。這相當于用兩種算法進行15000次數據處理，分析其每次數據處理的平均時間。采用的計算機處理器參數為Intel（R） Core（TM） i7-7700HQ CPU @ 2.80GHz 2.80GHz。結果顯示，本文所提算法對每組數據的平均處理時間約為15.5μs，EKF法對每組數據的平均處理時間約為39μs，約為本文算法的2.5倍，說明本文所提出的在線荷電狀態估計算法的運算速度較EKF法快2.5倍，具有運算速度快的特點。

4 結 論

本文針對三元鋰電池的荷電狀態估計問題進行了相關研究，對三元鋰電池工作時端口電壓、端口電流與開路電壓開路電壓之間的數學表達式進行了推導，并通過最小二乘法實現了開路電壓的在線實時計算；結合鋰電池固有的荷電狀態-開路電壓特性曲線，利用在線開路電壓計算和查表法實現了荷電狀態在線估計；對所提出荷電狀態估計算法的實現流程進行了詳細介紹，并通過典型實驗數據對所提出荷電狀態估計算法進行了實驗驗證；采用EKF法對所提出的算法進行了性能、運算速度的對比分析。結果表明：所提出的在線荷電狀態估計算法能夠實現較為精確的荷電狀態在線估計，且運算速度較快。必須指出的是，該算法不適用于恒流或電流變換非常緩慢的工況，否則會引入較大的分析誤差。

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（編輯 亢列梅）