吸引子共存的四維多穩態混沌系統及同步電路

摘" 要： 文中設計了一種具有多翼吸引子的四維混沌系統，通過改變系統的多組參數，觀察到吸引子結構由四翼變為雙翼。采用相圖、Lyapunov指數譜、分岔圖和復雜度等方法，驗證系統的動力學特性。結果表明，通過改變系統參數和選擇不同的初始值，系統呈現出極性相反但結構相似的吸引子共存現象。使用Multisim仿真軟件進行了電路仿真，發現數值分析和模擬仿真結果一致，驗證了系統的可實現性。最后，采用線性反饋同步法對該系統進行了同步控制，并成功實現了同步電路仿真。所設計系統具有豐富的多穩態特性，主從系統在極短的時間內達到了同步，同步效果良好，可廣泛應用于保密通信領域。

關鍵詞： 四維混沌系統； 多翼吸引子； 多穩態性； Lyapunov指數譜； 同步控制； 電路仿真

中圖分類號： TN876.4?34； TP309.7 " " " " " " 文獻標識碼： A" " " " " " " " " 文章編號： 1004?373X（2024）14?0053?10

Four?dimensional multistable chaotic systems and synchronous

circuits with attractor coexistence

YANG Yang1， BAI Yulong2， LI Yan1， ZHANG Qing1

（1. School of Physics and Electronic Information Engineering， Ningxia Normal University， Guyuan 756000， China;

2. School of Physics and Electrical Engineering， Northwest Normal University， Lanzhou 730070， China）

Abstract： A four?dimensional chaotic systems with multi?winged attractors is designed， which can change the attractor structure four wings to two wings by changing the system parameters. The phase diagram， Lyapunov exponential spectrum， bifurcation diagram and complexity methods are used to verify the dynamic characteristics of the system. The results show that， by changing the system parameters and choosing different initial values， the system can exhibit the coexistence of attractors with opposite polarity but similar structure. Multisim simulation software is used for the circuit simulation， and it is found that the numerical analysis and simulation results are consistent， thus verifying the realizability of the system. The linear feedback synchronization method is used for the synchronous control of the system， and the simulation of synchronization circuit is realized successfully. The master?slave system can realize the synchronization in a very short time， and the synchronization effect is good， which can be widely used in the field of secure communication.

Keywords： four?dimensional chaotic system; multi?wing attractor; multi?stability; Lyapunov exponential spectrum; synchronous control; circuit simulation

0" 引" 言

自1963年洛倫茲混沌系統出現以來，混沌系統引起了學術界的廣泛關注，并相繼提出了不同類型的混沌系統。1986年，蔡少棠首次將混沌與電路相結合，研究出了著名的蔡氏電路[1]。此后，Chen系統、[Lu]系統等經典混沌系統[2?3]被相繼發現。由于混沌系統具有豐富的動力學行為，因此在信息、通信、經濟等領域具有廣泛的應用[4?9]。

近年來，多穩態特性的分析成為一個研究熱點。多穩態性是指在固定系統參數下，當初始條件發生變化時，系統會產生獨立的吸引或者不同形狀的拓撲結構。多穩態性是非線性系統中常見的現象，它反映了系統的狀態多樣性和結構多樣性[10?12]。

2017年，G. Sivaganesh等人發現通過選取合適的參數，Lorenz系統所產生的吸引子從蝴蝶狀演變為兩個獨立的單渦卷[13]。Wu等人在一個簡單的三維線性系統中引入了兩個正弦非線性變量，構建了一個具有9個平衡點和多種不同類型共存吸引子的新混沌系統[14]。

文獻[15]對廣義三維[Lu]系統在一定參數范圍內的行為進行了觀察，發現其可以轉變為多組對稱的共存吸引子。文獻[16]通過引入絕對值函數和符號函數，增加了共存吸引子的數量。

2021年，顏閩秀等人在Sprott?A系統的基礎上，提出了一個具有無窮共存吸引子的三維保守混沌系統[17]。同年，鮮永菊等人構造了一個只有一個平衡點，但存在至少12種多翼吸引子共存的四維混沌系統[18]。2022年，黃麗蓮等人提出了一個具有一線平衡點，可以產生無限多對稱的同質吸引子的四維混沌系統[19]。

本文設計一個形式簡單的新四維多穩態混沌系統，通過改變系統的多組參數，研究了系統存在不同類型的共存吸引子的現象。文中介紹了新混沌系統的數學模型，并對該系統的基本特性進行了分析；通過分析Lyapunov指數譜、分岔圖、Poincare截面和復雜度等，驗證了該系統具有復雜的動力學行為和豐富的運動軌跡；選擇適當的參數研究了系統的多穩態特性；設計了系統的模擬電路仿真圖，對該系統進行了同步控制，并設計了同步電路圖。

1" 混沌系統的模型與基本特性

1.1" 系統模型

建立一個新的四維混沌系統的數學模型，其狀態方程可以表示為：

[x=ax-yzy=bx-ay+xzz=dxy-cz+eww=yz ]" " "（1）

式中：[x]、[y]、[z]、[w]是系統的狀態變量；[a]、[b]、[c]、[d]、[e]是系統的參數。當選取參數[a=5，b=0.5，c=16，d=4，e=0.01]以及初始值[x0，y0，z0，w0=1，2，3，4]時，系統會表現出復雜的四翼混沌吸引子現象，其相圖如圖1所示。

通過分析發現，當保持初始值和其他參數不變，改變參數[b=0]時，吸引子的相圖拓撲結構會發生明顯變化，從四翼變為雙翼吸引子，如圖2所示。

1.2" 耗散性、平衡點、穩定性

根據耗散性公式，可以得到：

[?V=?x?x+?y?y+?z?z+?w?w=-c ]" " " " "（2）

當[c=16]時，耗散度[?V=-16lt;0]，證明系統模型式（1）是耗散的，并且以指數形式[e-c]收斂到一個確定的區域。這意味著系統所有的軌跡趨于0，混沌吸引域是有界的。令式（1）等于0，可得：

[ax-yz=0bx-ay+xz=0dxy-cz+ew=0yz=0 ]" " " " " " （3）

求解式（3），從而得到系統（1）的唯一平衡點[S0=0，0，0，0]，在平衡點處進行線性化處理，得到雅可比矩陣：

[J= a -az -ay 0b+z -a x " 0 dy " "dx -c e 0 " " z " y 0 ]" " " " （4）

令[detλI-J=0]，可得到系統的特征值為：[λ1=-5，λ2=5，λ3=-16，λ4=0]。由此可以確定該平衡點為不穩定的鞍點，具有混沌特性。

2" 混沌系統的動力學行為分析

2.1" Lyapunov指數譜和分岔圖

取參數[a=5，b=0.5，c=16，d=4，e=0.01]，初始值[x0，y0，z0，w0=1，2，3，4]，通過計算可以得到系統的Lyapunov指數為[LE1=1.792 5，LE2=0.005 9，][LE3=-0.004 9，LE4=-17.788 2]。根據式（5）計算得到Lyapunov維數為分數，系統處于混沌狀態。

[DL=j+1LEj+1i=1jLEi=3.1 ]" " " " （5）

參數[b=0.5，c=16，d=4，e=0.01]，初始值為[1，2，3，4]。令參數[a]為控制變量，當[a∈0，10]時，通過對比發現，隨著[a]變化，Lyapunov指數譜和分岔圖的動力學行為一致。當參數[a∈0，2.8]和[a∈8.1，10]時，系統處于周期狀態；當參數[a∈2.8，8.1]時，系統進入混沌狀態，如圖3所示。

參數[a=5，c=16，d=4，e=0.01]，初始值為[1，2，3，4]。令參數[b]為控制變量，當[b∈-5，5]時，通過對比發現，隨著[b]變化，Lyapunov指數譜和分岔圖的動力學行為一致。當參數[b∈-5，-3.6]和[b∈3.8，5]時，系統處于周期狀態；當參數[b∈-3.6，3.8]時系統進入混沌狀態，如圖4所示。

參數[a=5，b=0.5，c=16，e=0.01]，初始值為[1，2，3，4]。令參數[d]為控制變量，當[d∈0，10]時，通過對比發現，系統始終存在一個大于0的Lyapunov指數，并且隨[d]變化的Lyapunov指數譜和分岔圖的動力學行為一致，由此可驗證系統一直處于混沌狀態，如圖5所示。

2.2" Poincare截面圖和功率譜圖

Poincare截面是在系統的相空間中截取一個截面，通過觀察截面上點的分布情況來判斷系統的復雜度。對式（1）分別取截面[x=0]，[y=0]，[z=0]，得到的截面圖如圖6所示。可以看出，Poincare截面上形成了連續的密集點，表明該系統具有混沌特性。混沌系統產生的混沌信號是非周期信號，對應的功率譜是連續譜。圖6d）給出了該系統的功率譜圖，可以觀察到其是連續譜，表明該系統是混沌系統。

2.3" 0?1測試和復雜度分析

通過0?1測試，可以得到混沌系統的[p，s]圖，圖7所示給出了x、y變量的測試圖。其運動軌跡呈不規則分布，且與典型的布朗運動相似，從而證明了系統具有混沌特性。混沌系統的復雜度是分析混沌系統動力學行為的一個重要方法，SE復雜度反映了混沌序列的無序狀態，SE值越大，表明復雜度越高；CO復雜度采用傅里葉變換，反映了混沌序列中不規則的比例，對應不規則部分能量比例越高，復雜度越大。固定參數[b=0.5]，[c=16]，[d=4]，[e=0.01]，計算了參數[a]的SE和CO復雜度，如圖8a）、圖8b）所示。

圖8c）、圖8d）繪制了參數a的SE和CO復雜度混沌圖，圖中顏色越深表示復雜度越高，在實際應用中為參數的選擇提供了很好的參考依據。

3" 多穩態特性

系統參數確定時，混沌系統在不同的初始值條件下對應于不同的吸引子，這些吸引子被稱為共存吸引子，表明系統具有多穩態特性。固定參數不變，選擇不同的初始值進行數值分析。圖9中淺色點集代表初始值為（1，2，3，4）的分岔圖，深色點集代表初始值為（1，-2，3，4）的分岔圖。隨參數[a]變化的過程中，不同的初始值對應不同的吸引子，如圖10所示。

當[a=2.21]時，存在兩個周期吸引子共存；當[a=3.0]和[a=6.0]時，存在兩個混沌吸引子共存；當[a=8.6]時，存在兩個擬周期吸引子共存。

在相同的參數取值下，參數[a=5，b=0.5，c=16，e=0.01]不變，取[d=6.8]，不同的初始值會產生不同形狀的拓撲結構，如圖11所示。當初始值為（1，2，3，4）時，吸引子呈現四翼結構；當初始值為（1，-2，3，4）時，吸引子演變為雙翼結構。當d=7.0時，吸引子多翼拓撲結構的變化與初始值的關系正好相反。

4" 電路仿真

在Multisim仿真軟件上，利用運算放大器、乘法器和電阻等器件設計了電路原理圖，并進行了模擬仿真。圖12所示為電路原理圖。

由于混沌序列中變量的動態范圍超過了元器件的工作電壓范圍，因此需要進行比例變換。首先將變量值均勻壓縮為原來的[110]，然后進行時間尺度變換，令[τ=τ0t]，[τ0=1 000]，得到壓縮后的變量值為：

[x=5 000x-5 000yzy=500x-5 000y+1 000xzz=4 000xy-16 000z+10ww=1 000yz ] （6）

[x=-1R1C1-x-1R2C1yzy=-1R3C2-x-1R4C2y-1R5C2-xzz=-1R6C3-xy-1R7C3z-1R8C3-ww=-1R9C4-yz ]" "（7）

令[C1=C2=C3=C4=100 nF]，對比式（6）和式（7），可得各電阻的阻值為：

[R1=2 kΩ，" " " " " " R2=0.2 kΩ，R3=20 kΩ，" " " " "R4=2 kΩ，R5=1 kΩ，" " " " " "R6=0.25 kΩ，R7=0.625 kΩ，" R8=1 000 kΩ，R9=1 kΩ]" "（8）

其余電阻均為[10 kΩ]。圖13展示了電路的仿真結果圖，與圖1進行對比可以發現，數值分析和電路仿真所得到的吸引子相圖一致，驗證了該四維多穩態混沌系統電路的可行性和正確性。

5" 線性耦合同步控制

5.1" 同步數值仿真

將本文所設計的混沌系統作為驅動系統，在式（1）的基礎上加上反饋項得到響應系統，本研究方法不再需要同步控制器。

[x1=ax1-y1z1+k1x-x1y1=bx1-ay1+x1z1+k2y-y1z1=cx1y1-dz1+ew1+k3z-z1w1=y1z1+k4w-w1 ] （9）

式中：[k1]、[k2]、[k3]、[k4]為隨機的耦合控制參數；[a]、[b]、[c]、d、e表示意義同上。

誤差系統為：

[e1=x1-xe2=y1-ye3=z1-ze4=w1-w ]" " " " " （10）

將式（1）和式（9）代入到式（10）中，可得誤差系統方程為：

[e1=ae1-ay1z1+ayz+k1e1e2=be1+ae2+k2e3+x1z1-xze3=-de3+ee4+k3ew+cx1y1-cxye4=k4e4+y1z1-yz ] （11）

參數[k]的取值影響同步性能。由線性反饋的原理可知，當反饋參數[k1=k2=k3=k4gt;LEmax]時，驅動響應系統達到同步。

通過計算，該系統（1）的最大Lyapunov指數為1.792 5。所以，當耦合控制參數[k1=k2=k3=k4gt;LEmax]時，兩系統可以達到同步。

取驅動系統的初始值為（1，2，3，4），響應系統的初始值為（-1，-2，-3，-4），取不同的k值對誤差系統進行仿真分析，得到的時域波形圖和同步誤差圖如圖14、圖15所示。由仿真結果發現，當[k=3]時，驅動系統（1）和響應系統（9）在極短的時間內達到同步，時域波形圖吻合，誤差結果為0，從而驗證了線性反饋同步機理的正確性。

5.2" 同步電路仿真

為了驗證上述線性耦合同步控制方法的可行性，對同步控制進行同步電路設計，同步電路原理圖如圖16所示。圖17給出了同步電路仿真結果，電路達到同步，時域波形基本重合，誤差曲線呈現為一條傾斜的直線，驗證了電路仿真與數值仿真結果的一致性，實現了混沌同步的電路設計。

6" 結" 論

本文設計了一個具有多翼吸引子的四維混沌系統，并對其進行了動力學特性分析。介紹了新混沌系統的數學模型，并對該系統的基本特性進行了分析；通過分析Lyapunov指數譜、分岔圖、Poincare截面和復雜度等內容，驗證了該系統具有復雜的動力學行為和豐富的運動軌跡；選擇適當的參數研究了系統的多穩態特性，設計了系統的模擬電路仿真圖，結果驗證了該系統具有復雜的混沌特性，并且電路分析與數值分析結果一致。

通過改變參數，可以觀察到系統吸引子出現四翼—雙翼切換現象。

采用線性反饋同步法對系統進行了同步分析，并設計了同步電路進行仿真，兩者結果相吻合，電路達到同步，時域波形基本重合，誤差曲線呈現為一條傾斜的直線，驗證了電路仿真與數值仿真結果的一致性，實現了混沌同步的電路設計。

注：本文通訊作者為楊陽。

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