淺談帶電粒子在“運動磁場”中的受力及運動問題

摘 要：基于對帶電粒子在“運動磁場”中做擺線運動的討論，利用洛倫茲變換確定不同慣性參考系下電磁場的分布，指出在實驗室參考系中，運動磁源會在空間產生磁場和感生電場，感生電場力對帶電粒子做功，洛倫茲力表達式中的速度v是相對于觀察者的，永不做功；遷移分析相關的高考和模擬題，指出傳統的求解對學生物理觀念的形成存在誤導，以此淺談對此類問題的教學與命題建議。

關鍵詞：運動磁源；洛倫茲變換；感生電場；洛倫茲力

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2024）8-0068-4

１９０５年，愛因斯坦在創立狹義相對論時曾舉例，磁鐵與線圈發生相對運動時，以磁鐵為參考系產生動生電動勢，以線圈為參考系則產生感生電動勢，同一物理現象在不同參考系下描述結果不同，根本原因在于電磁場的分布與參考系的選取是有關的。

中學生對運動電荷在靜止勻強磁場中的運動規律非常熟悉。但在高三復習備考乃至高考中，常常會出現“運動磁場”對靜止電荷作用使其運動等相關問題，學生常常會感到困惑，到底是什么力對電荷做功使其具有動能，洛倫茲力公式中的速度ｖ究竟是相對磁場還是相對觀察者的？基于對一道典型試題的分析，利用洛倫茲變換確定不同慣性參考系下電磁場的分布，指出在實驗室參考系中，運動磁源在空間中會產生磁場和感生電場，在感生電場力和洛倫茲力的共同作用下帶電粒子做擺線運動。遷移分析其他典型試題，指出傳統的處理結果雖然正確，但對學生物理觀念的形成存在誤導，以此淺談對此類問題的教學和命題建議。

１ 提出問題

例１ 如圖１所示，假定空間中存在垂直紙面向里的勻強磁場Ｂ，并以速度ｖ向左勻速運動，在其中放置一個電荷量為ｑ、質量為ｍ的帶正電的初速度為０的微觀粒子，不計帶電粒子的重力，試分析帶電粒子在該磁場中的運動。

分析與解答 此題為帶電粒子垂直進入靜止勻強磁場的逆過程，即相對于地面，初始情況下粒子靜止而磁場運動。通常處理這類問題的思路是利用伽利略相對性原理，將帶電粒子相對地面的運動視為其相對磁場運動與磁場相對地面運動的矢量和。

以磁場Ｂ為參考系，帶電粒子以速度ｖ向右垂直進入磁場。此時，帶電粒子在洛倫茲力的作用下，相對磁場做逆時針方向的勻速圓周運動。不難得出，帶電粒子相對地面的運動為勻速圓周運動與勻速直線運動合成后的擺線運動［１］，其運動軌跡如圖２所示。

提出問題 中學生對上述解答過程是不難接受的，但大多數學生常常會有疑惑：相對于地面，帶電粒子初速度為０，運動磁場與之作用過程中，是什么力對帶電粒子做功使其具有動能，洛倫茲力究竟做不做功？通常情況下，教師會引導學生從能量守恒的角度思考問題，即維持磁場勻速運動的外力是需要對此系統做功，是外力做功轉化為帶電粒子的動能。此番引導很難消除學生對洛倫茲力永不做功的質疑，即外力做功是怎么轉化為帶電粒子的動能呢？有必要對此問題進一步研究。

２ 追根溯源

２．１ 場的特性

物理學早已證實，場是一種客觀存在的物質，反映空間某點的情況，它是把物理狀態作為空間和時間的函數來描述。若物理狀態與時間無關，則為靜態場；反之，則為動態場或時變場。沒有運動的場，只有運動的場源，磁體的運動只會帶來空間各處變化的磁場和渦旋電場，而不會帶來運動的場［2］。因此，題干中關于運動磁場的表述是不妥的，確切表述應該是帶電粒子在運動磁源產生的電磁場空間內的運動。為便于討論，在此仍沿用習慣上“運動磁場”的表述。

２．２ 不同參考系下電磁場的分布

相對論指出，將電磁場分為電場部分和磁場部分只有相對的意義，電磁場作為一個整體，在不同慣性參考系下滿足同樣的規律，不同慣性參考系下的電磁場分布可用洛倫茲變換找到聯系。下面分別表達相對于地面靜止的∑系與相對于運動磁源靜止的∑'系，三維空間中的電場Ｅ和磁場Ｂ的分布，如圖３所示。在∑'系中

２．３ 感生電場力做功，洛倫茲力永不做功

由以上討論，相對磁源（∑'系），只存在B'z=

-B，帶電粒子只受到洛倫茲力，做勻速圓周運動，此時洛倫茲力不做功；相對地面（∑系），同時存在Bz=-B和Ey=vB，帶電粒子將受到感生電場力，即F=qEy=qvB，大小恒定，方向向上，F對帶電粒子做功使其獲得速度，洛倫茲力只是改變其速度方向，并不做功，在F和f的共同作用下，帶電粒子做擺線運動。

由此，f表達式中的速度始終是相對于觀察者的，永不做功；在實驗室參考系，運動磁源產生了感生電場，是感生電場力對帶電粒子做功使其具有動能。中學階段受數學等因素所限，常常轉變參考系，對感生電場避而不談［3］。但在高考和各地模擬試題中出現類似試題時，其求解過程常常對學生造成誤導，下面各列舉一道高考題和模擬題進行點評分析。

３ 相關高考和模擬試題

例２ 如圖４所示，將一質量為ｍ、電荷量為ｑ的帶正電小球輕放在光滑絕緣地面上，使其處于“Ｕ”形磁鐵間的磁場中，磁場視為勻強磁場，大小為Ｂ，方向垂直紙面向外。試問為使帶電小球恰好可以離開地面，應怎樣移動磁鐵（ ）

點評 此題出自于某地的模擬卷，考查學生對左手定則的掌握以及簡單的受力分析能力，參考答案是Ｄ。根據二力平衡，qvB=mg，化簡得v=，再借助左手定則易得答案為Ｄ。解答過程對學生來說不難，但大部分學生可能會想當然地認為這里的qvB是洛倫茲力，表達式中的ｖ是小球相對磁場的速度。實際上，這種想法是不妥的。真實情況是由于磁體相對地面向右運動，產生了向上的感生電場E=vB，小球受到的力是感生電場力，即F=qE=qvB。因此，這里很容易誤導學生，使其認為洛倫茲力qvB中的速度是相對磁場的。

例３ 如圖５所示，兩條相距為ｄ的平行金屬導軌位于同一水平面內，其右端接一阻值為Ｒ的電阻。質量為ｍ的金屬桿靜止在導軌上，其左側的矩形勻強磁場區域ＭＮＰＱ的磁感應強度大小為Ｂ，方向豎直向下，當該磁場區域以速度v0勻速地向右掃過金屬桿后，金屬桿的速度變為ｖ。導軌和金屬桿的電阻不計，導軌光滑且足夠長，桿在運動過程中始終與導軌垂直且兩端與導軌保持良好接觸。求：

（１）ＭＮ剛掃到金屬桿時，桿中感應電流的大?。?；

（２）ＭＮ剛掃到金屬桿時，桿的加速度大?。?；

（３）ＰＱ剛要離開金屬桿時，感應電流的功率Ｐ。

點評 此題為２０１７年江蘇省高考計算題第１題，考查學生對簡單電路計算及基本動力學問題的分析能力。試題第（１）（２）問，學生易得感應電動勢E=Bdv0；試題第（３）問，學生也不難得到ＰＱ剛要離開金屬桿時的感應電動勢為E=Bd（v0-v）；然后，分別結合閉合電路歐姆定律、牛頓第二定律以及焦耳定律完成作答。

大多數學生在處理此題時都會將這里的感應電動勢理解為動生電動勢，即由于導體棒切割磁感線而產生的，由此錯誤地認為課本上講的動生電動勢E=Blv中的速度為導體棒相對磁場的速度。實際上，動生電動勢表達式中的速度ｖ是相對觀察者的，因為其非靜電力與洛倫茲力有關，而f=qvB中的速度ｖ是相對觀察者的。在默認地面為參考系的情況下，本題第（１）問應是運動磁場產生感生電場E=v0B，從而使金屬桿產生感生電動勢E=Bdv0；而第（３）問的電動勢，應為運動磁源產生的感生電動勢與導體棒運動產生的動生電動勢的代數和，即E=E-E=Bdv0-Bdv。雖然結果都一致，但不得不說此類試題在一定程度上潛移默化地使學生對物理概念產生錯誤的理解。

４ 教學與命題建議

中學教材中磁源相對實驗室參考系一般都是靜止的，這就避免了對感生電場的討論。相對實驗室參考系，一旦磁源運動起來，將產生感生電場，空間同時存在著電場和磁場。分析此類問題時，以磁場為參考系雖然可以避免感生電場的討論，但常常會促使學生錯誤地認為洛倫茲力公式中的速度ｖ是相對于磁場的。在一定條件下，洛倫茲力是可以做功的，也會誤導學生認為電磁感應中的動生電動勢表達式中的速度也是相對磁場的，不利于學生養成科學的物理觀念。因此，面對普通學生，有關場源運動類的試題應該盡量避免出現。（下轉第73頁）

（上接第70頁）

需要指出的是，高等物理《電動力學》將電磁力=q（+×）統稱為洛倫茲力［4］，這是洛倫茲力廣義上的定義。從這個意義上說，當電磁力對電荷做功時，也確實可以說是洛倫茲力能做功。中學階段只將運動電荷在靜止磁場中的受力定義為洛倫茲力，這是面對初學者受制于數學等因素而采取的對洛倫茲力狹義上的定義，按照這個定義洛倫茲力永不做功。因此，對于數學功底扎實的部分優秀中學生，在競賽和培優等教學過程中，滲透此類問題并展開分析討論，是利于學生形成清晰準確的物理觀念，可助力對拔尖創新人才的培養［2，５］。

參考文獻：

［１］范雄兵．“配速法”巧解復雜曲線運動問題——２０２３年江蘇省高考物理最后一題的兩種求解［Ｊ］．中學物理，２０２３，41（17）：５４－５５．

［2］李勇．巧借一道“錯題”促進學生深度學習［Ｊ］．物理教學，２０２２，44（５）：５８－６０，64．

［3］阮傳志．ｑｖＢ是什么性質的力［Ｊ］．中學物理教學參考，２０２３，５２（22）：１１－１２．

［4］羅琬華．電動力學［Ｍ］．重慶：西南師范大學出版社，２０１０．

［５］李勇．用能量觀點巧解一道高中物理競賽題［Ｊ］．物理教學探討，２０１８，３６（１１）：４３－４５．

（欄目編輯 蔣小平）