“矢量的合成與分解”學(xué)習(xí)進(jìn)階設(shè)計(jì)研究

摘 要：在學(xué)習(xí)進(jìn)階思想指導(dǎo)下，對(duì)矢量、矢量求和的方法、合力、分力等相關(guān)概念進(jìn)行梳理，劃分出最契合學(xué)生思維跨度的學(xué)習(xí)進(jìn)階層級(jí)，幫助學(xué)生更好地理解和掌握矢量的合成與分解。學(xué)會(huì)力的合成與分解的原則和實(shí)際操作步驟之后，可以進(jìn)一步推廣到其他矢量，比如“速度”“加速度”，以及在之后學(xué)習(xí)曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)的合成與分解。矢量的合成與分解的概念涉及到曲線運(yùn)動(dòng)、勻強(qiáng)電場(chǎng)、勻強(qiáng)磁場(chǎng)等十分廣闊的范圍，具有內(nèi)容占比大、應(yīng)用廣、難度高的特點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：學(xué)習(xí)進(jìn)階；矢量；合成與分解

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2024）8-0038-6

１ 問(wèn)題提出

“矢量”是物理學(xué)科的重要概念之一，“矢量的合成與分解”貫穿于整個(gè)高中物理的學(xué)習(xí)過(guò)程中。學(xué)生在初中物理接觸過(guò)“速度”“力”的概念，能模糊地認(rèn)識(shí)到“力”既具有大小，又具有方向；在高一下學(xué)期又通過(guò)數(shù)學(xué)課接觸了“向量”“平面向量”等概念，這為學(xué)習(xí)“矢量的合成與分解”打下了基礎(chǔ)。比如，學(xué)習(xí)“力的合成”會(huì)經(jīng)歷一維共線—二維平面—三維空間的過(guò)程；對(duì)物體“運(yùn)動(dòng)軌跡”的了解也會(huì)經(jīng)歷相似的過(guò)程。再如，研究平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)，我們需要根據(jù)受力特點(diǎn)，將運(yùn)動(dòng)分解成水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)（水平方向不受力）和豎直方向的勻加速直線運(yùn)動(dòng)（只受重力）；求解自行車前進(jìn)時(shí)氣門(mén)芯的運(yùn)動(dòng)軌跡，需要將其分解為水平方向的直線運(yùn)動(dòng)和豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)；帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)也會(huì)涉及到分解。這些都建立在掌握“矢量的合成與分解”的基礎(chǔ)上，并結(jié)合“牛頓第二定律”進(jìn)行處理。

在高中物理中，“矢量的合成與分解”具有內(nèi)容占比大、應(yīng)用廣、難度高的特點(diǎn)。以“學(xué)習(xí)進(jìn)階”為研究方法對(duì)“矢量的合成與分解”進(jìn)行研究，摸清該概念的學(xué)習(xí)進(jìn)階路徑，進(jìn)行合理劃分，可以幫助教師優(yōu)化教學(xué)安排，有針對(duì)性地設(shè)計(jì)配套的習(xí)題，在實(shí)踐中及時(shí)發(fā)現(xiàn)和解決問(wèn)題，還可以在綜合復(fù)習(xí)過(guò)程中為學(xué)生提供框架性、系統(tǒng)性的指引。

２ 學(xué)習(xí)進(jìn)階理論下“矢量的合成與分解”建構(gòu)

學(xué)習(xí)進(jìn)階在科學(xué)教育領(lǐng)域被正式提出是在２００４年。學(xué)習(xí)進(jìn)階的可操作性定義為：學(xué)習(xí)進(jìn)階聚焦于基礎(chǔ)性和生成性的核心概念或?qū)嵺`能力，通過(guò)確定學(xué)生的表現(xiàn)預(yù)期來(lái)設(shè)定進(jìn)階過(guò)程的“錨點(diǎn)”，進(jìn)而明確學(xué)生在各個(gè)階段應(yīng)該學(xué)習(xí)的知識(shí)與能力，最后進(jìn)行針對(duì)性教學(xué)干預(yù)［１］。

郭玉英基于對(duì)學(xué)習(xí)進(jìn)階的理解，建構(gòu)了對(duì)科學(xué)概念理解的發(fā)展層級(jí)模型［２］。本文基于以上理論基礎(chǔ)和《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（２０１７年版）》［３］，以“矢量的合成與分解”為例進(jìn)行物理概念的學(xué)習(xí)進(jìn)階研究。利用郭玉英等提出的學(xué)習(xí)進(jìn)階發(fā)展層級(jí)模型，劃分“矢量的合成與分解”的學(xué)習(xí)進(jìn)階，使學(xué)生在一個(gè)長(zhǎng)時(shí)間跨度內(nèi)學(xué)習(xí)這一重要概念時(shí)，能夠經(jīng)歷循序漸進(jìn)、由淺入深的認(rèn)知過(guò)程，經(jīng)歷由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由單一到綜合的訓(xùn)練過(guò)程。便于教師能夠通過(guò)該學(xué)習(xí)進(jìn)階的劃分，明確學(xué)生在各階段應(yīng)該學(xué)習(xí)的知識(shí)與能力，合理地設(shè)置教學(xué)目標(biāo)和選擇教學(xué)策略，也便于教師基于學(xué)習(xí)進(jìn)階進(jìn)行作業(yè)設(shè)計(jì)和教學(xué)評(píng)價(jià)，使評(píng)價(jià)與課程標(biāo)準(zhǔn)的要求更加一致，達(dá)到“教-學(xué)-評(píng)”一致性。

（１）矢量（ｖｅｃｔｏｒ）

向量最初應(yīng)用于物理學(xué)中，被稱為矢量。最先使用有向線段表示向量的是英國(guó)科學(xué)家牛頓［４］。在數(shù)學(xué)中，向量的表示包括代數(shù)表示、幾何表示、坐標(biāo)表示，我們主要看幾何表示和平面坐標(biāo)表示。

幾何表示：具有方向和長(zhǎng)度的有向線段，如圖１所示。圖中矢量的線段長(zhǎng)度記作，叫作矢量的模，即為大小；箭頭表示方向。若要說(shuō)兩個(gè)矢量相等，則需要大小和方向都相同。

圖1 矢量的幾何表示圖

坐標(biāo)表示：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位矢量 和 作為一組基底。= 為平面直角坐標(biāo)系中的任意矢量（圖２）。有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)（x，y），使得==x +y ，因此把實(shí)數(shù)（x，y）叫作矢量的坐標(biāo)，即點(diǎn)Ｎ的坐標(biāo)。和叫作矢量的分量。獲得分量的過(guò)程叫作投影。

圖2 矢量的坐標(biāo)表示圖

關(guān)于向量投影的兩個(gè)定理：

定理 １：向量的投影等于其模乘以投影軸的正方向與此向量方向所成夾角的余弦。

定理 ２：向量的投影和等于各向量在同軸上投影的代數(shù)和。

（２）矢量的運(yùn)算

①幾何法求矢量和

求任意兩個(gè)矢量和的和，可以將兩個(gè)矢量首尾相連，將所得折線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)連接，即矢量就是這兩個(gè)矢量的和（圖３），表示為=+。以和為鄰邊作平行四邊形，對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的矢量即為矢量和。以此類推，也可得到矢量求和的多邊形法則（圖４），=+++。

圖3 雙矢量求和的示意圖

圖4 多矢量求和的多邊形法則示意圖

②建立坐標(biāo)系法求矢量和

如圖５建立平面直角坐標(biāo)系，將矢量和置于坐標(biāo)系中，將其投影到坐標(biāo)軸上，分別得到x軸和y軸的分矢量，再進(jìn)行一維運(yùn)算，得到x軸上矢量和＋＝，y軸上矢量和＋＝。由=＋得到＋＝。

圖5 建立坐標(biāo)系法求矢量和的示意圖

（３）“力是矢量”

皮亞杰說(shuō)：“物理現(xiàn)實(shí)與用來(lái)描述這種現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)工具之間有永恒的一致性”，數(shù)學(xué)中的抽象關(guān)系是現(xiàn)實(shí)的某些具體原型提供的，經(jīng)過(guò)模型化后又普遍適用于一類物理系統(tǒng)［５］。將物理現(xiàn)實(shí)與數(shù)學(xué)抽象進(jìn)行轉(zhuǎn)譯的過(guò)程具有相當(dāng)大的思維跨度，對(duì)初學(xué)的學(xué)生來(lái)說(shuō)是有難度的。

在日常生活中，“力”這個(gè)概念往往與我們的肌肉所施加的“推”“拉”“提”等動(dòng)作聯(lián)系起來(lái)。我們能夠感性地感受到“力”有不同的大小和方向，這是我們自然擁有的感覺(jué)。但是，“力”又是看不見(jiàn)、摸不著的，我們只能從物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化或者形狀的改變中窺見(jiàn)真容。為了更容易理解，我們建立了“力的圖示”來(lái)表征力，借用數(shù)學(xué)中的“向量”來(lái)轉(zhuǎn)譯“力”這一概念，將力學(xué)系統(tǒng)中的具體關(guān)系轉(zhuǎn)譯為數(shù)學(xué)系統(tǒng)中的抽象矢量運(yùn)算。因此，可以這樣定義“矢量”：那些既有大小又有方向，可以用有向線段表示，可以按平行四邊形法則相加的物理量。比如，速度、位移、加速度、力。也可以定義“標(biāo)量”：那些只有大小沒(méi)有方向，不能用有向線段表示、按算術(shù)法則相加的物理量。比如，質(zhì)量、溫度、路程、電流等。

（４）“合力”與“分力”

人教版教材對(duì)“合力”和“分力”的定義如下：假設(shè)一個(gè)力單獨(dú)作用的效果跟某幾個(gè)力作用效果相同，這個(gè)力就叫作那幾個(gè)力的“合力”（ｒｅｓｕｌｔａｎｔ ｆｏｒｃｅｓ）。假設(shè)幾個(gè)力共同作用的效果跟某個(gè)力單獨(dú)作用的效果相同，這幾個(gè)力就叫作那個(gè)力的“分力”（ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｆｏｒｃｅｓ）［６］。圖６中的等于和的合力，圖７中的和可以看成的分力。

在教材的這一表述中，混淆了“合力”與“分力”是真實(shí)存在的力（具有施力物體）還是數(shù)學(xué)抽象運(yùn)算的結(jié)果——合矢量與分矢量。不厘清這一區(qū)別，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生找不準(zhǔn)分解的對(duì)象，在受力分析中容易出現(xiàn)多力或者少力的情況。在后續(xù)“運(yùn)動(dòng)的合成與分解”中，“選不準(zhǔn)分解對(duì)象”這一問(wèn)題還會(huì)進(jìn)一步放大。

在物理領(lǐng)域中，可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)物體受到的多個(gè)力及其共同作用效果進(jìn)行測(cè)量，從而在此過(guò)程中認(rèn)識(shí)到力既具有數(shù)量性，又具有方向性，力的合成存在某種規(guī)則。如果另一個(gè)相同的物體在只受到一個(gè)外力作用的情況下產(chǎn)生了相同的效果，那么單獨(dú)作用的這個(gè)力可以等效替代“多個(gè)力”作用，稱之互為“等效力”。兩種情境中涉及的力均為有施力物體的真實(shí)存在的力。

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，“有向線段”叫作向量，可以在坐標(biāo)系里被分解或者被合成，合成就是向量的加法運(yùn)算。如圖８所示，向量是向量和的合向量，向量和是向量的分向量。它是一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)運(yùn)算結(jié)果，并不是一個(gè)真實(shí)存在的力。

我們把力學(xué)系統(tǒng)和數(shù)學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行類比和轉(zhuǎn)譯之后，就完成了力學(xué)系統(tǒng)中的“等效替代”關(guān)系與數(shù)學(xué)系統(tǒng)中的“矢量合成”關(guān)系的映射。等效力的存在是對(duì)矢量運(yùn)算結(jié)果的驗(yàn)證，給“合力”這個(gè)概念賦予了經(jīng)驗(yàn)的意義。“合力”是基于研究對(duì)象所受到的真實(shí)存在的力進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算的結(jié)果，表征多個(gè)力的復(fù)合作用。“合力”是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算的結(jié)果，它不是與“多個(gè)力”同時(shí)真實(shí)存在于同一個(gè)物體上的“力”［７］。

同樣的道理，在力的分解中用來(lái)作為分解的“力矢量”是真實(shí)存在的力，但分解后得到的“分力”不是與“單獨(dú)的一個(gè)力”同時(shí)存在于同一個(gè)物體上的力，它只是數(shù)學(xué)運(yùn)算得到的結(jié)果。

（５）相關(guān)概念在現(xiàn)行教材中的呈現(xiàn)順序

物理領(lǐng)域：人教版初中物理八年級(jí)下冊(cè)第七章《力》介紹了“力”的定義和力的圖示及示意圖；第八章《運(yùn)動(dòng)和力》介紹了“二力平衡”。學(xué)生初步了解“力”是一個(gè)有大小、有方向的矢量，只涉及同一直線上兩個(gè)力的求和運(yùn)算。人教版高中物理必修一第一章《運(yùn)動(dòng)的描述》涉及了“位移”“速度”“加速度”這三個(gè)矢量，在定義加速度的過(guò)程中，需要對(duì)速度矢量進(jìn)行減法運(yùn)算得到“速度的改變量Δ”，它也是一個(gè)矢量。第三章《相互作用——力》第4節(jié)“力的合成和分解”涉及同一平面上不共線的“力矢量”的求和運(yùn)算。人教版高中物理必修二第五章《拋體運(yùn)動(dòng)》第2節(jié)“運(yùn)動(dòng)的合成與分解”涉及“速度”“位移”“加速度”的合成與分解。

數(shù)學(xué)領(lǐng)域：人教版高中數(shù)學(xué)必修二第六章《平面向量及其應(yīng)用》第３節(jié)“平面向量基本定理及坐標(biāo)表示”涉及向量求和的平行四邊形法則以及向量的正交分解。但教材中是通過(guò)位移和力的合成引入的。

（６）“矢量的合成與分解”學(xué)習(xí)進(jìn)階層級(jí)劃分及相應(yīng)能力要求

綜上分析，數(shù)學(xué)中相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)都是出現(xiàn)在相關(guān)物理內(nèi)容之后，因此在我們的教學(xué)安排和備課中必須充分考慮到這個(gè)現(xiàn)實(shí)情況。結(jié)合學(xué)習(xí)進(jìn)階理論，現(xiàn)將“矢量的合成與分解”學(xué)習(xí)進(jìn)階層級(jí)進(jìn)行劃分（表１）。

本文對(duì)“矢量的合成與分解”學(xué)習(xí)進(jìn)階的劃分，旨在幫助學(xué)生建立更小的思維難度跨越階梯，為解決復(fù)雜問(wèn)題提供切入口和抓手。在學(xué)會(huì)力的合成與分解的原則和實(shí)際操作步驟之后，可以進(jìn)一步推廣到其他矢量，比如“速度”“加速度”，為之后學(xué)習(xí)曲線運(yùn)動(dòng)提供抓手。矢量的合成與分解的適用范圍包括曲線運(yùn)動(dòng)、勻強(qiáng)電場(chǎng)、勻強(qiáng)磁場(chǎng)等十分廣泛的范圍。

３ 小 結(jié)

學(xué)習(xí)進(jìn)階的劃分不是本研究的終點(diǎn)，最終要以教學(xué)設(shè)計(jì)和課堂實(shí)施的形式進(jìn)行檢驗(yàn)，在實(shí)踐中修正和完善。研究“矢量的合成與分解”這一概念的學(xué)習(xí)進(jìn)階劃分的過(guò)程本身也是為物理概念教學(xué)、作業(yè)設(shè)計(jì)與評(píng)價(jià)提供研究方法。可以用這種方法繼續(xù)做其他重要物理概念的研究，有助于提高教師備課的精確度。這一方法也可以指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行綜合復(fù)習(xí)，幫助學(xué)生將龐雜的物理情境整合進(jìn)幾個(gè)重要的核心概念中，提升學(xué)生知識(shí)的系統(tǒng)性。

參考文獻(xiàn)：

［１］劉楊，杜雯，任媛媛．國(guó)外學(xué)習(xí)進(jìn)階研究的知識(shí)圖譜分析［Ｊ］．生物學(xué)通報(bào)，２０２３，５８（５）：６－１０．

［２］郭玉英，姚建欣．基于核心素養(yǎng)學(xué)習(xí)進(jìn)階的科學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)［Ｊ］．課程·教材·教法，２０１６，３６（１１）：６４－７０．

［３］廖伯琴．以學(xué)生發(fā)展為本改進(jìn)普通高中物理課程——《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（２０１７年版）》解讀［Ｊ］．人民教育，２０１８（１０）：４３－４６．

［４］人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心．普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１９：６．

［５］皮亞杰．發(fā)生認(rèn)識(shí)論原理［Ｍ］．王憲鈿，譯.北京：商務(wù)印書(shū)館，１９８５：８６－９６．

［６］人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開(kāi)發(fā)中心．普通高中教科書(shū)物理必修第一冊(cè)［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１９：７２．

［７］趙曉丹．高中物理力矢量建構(gòu)的研究［Ｄ］．濟(jì)南：山東師范大學(xué)，２０１５．

（欄目編輯 鄧 磊）