經歷概念形成，促進概念理解

【摘要】數學概念是整個數學知識結構的基礎，有了概念才可能進行數學推理、判斷及論證.數學概念的教學是整個數學教學的重要環節，怎樣讓學生獲得概念、明了概念的內涵與外延是教師概念教學的關鍵.本文以初中數學二次函數的概念教學為例，對二次函數概念的形成、概念的表述、概念的辨析、概念的運用的教學理念和教學策略進行闡述.

【關鍵詞】二次函數；概念教學；初中數學

1 概念的形成——合作探究，形成概念

二次函數是初中階段學生學習了一次函數、反比例函數之后，要學習的最后一類重要的代數函數，它也是描述現實世界變量之間關系的重要的數學模型.在二次函數的概念教學中，本文在結合學生已學函數的認知經驗的基礎之上，采取漸進式的方式，讓學生從實際問題中通過類比并抽象出二次函數模型，進而自然而然地形成二次函數的概念.

例1 （1）已知一個正方形的邊長為a，它的面積為S，則S與a之間的關系為________.

（2）若福建與深圳鐵路總長大約1400km，若一趟列車從深圳開往福建，每小時運行速度為vkm，運行了t小時，則v與t之間的關系為________.

（3）現有一個矩形的鄰邊之和為10，若其中一邊為x，矩形面積為y，則x與y之間的關系為________.

（4）如圖1，現有一個正方形的邊長為a ，若在正方形的四個角都減去邊長為1的小正方形，若剩下的面積為S，則S與a之間的關系為________.

（5）李明去購買一批單價為50元的服裝，當他購買x件時，他應付商店的費用為y元，則y與x之間的關系為________.

師 上面的問題中哪些是變量？它們構成函數嗎？它們中有我們已學的函數嗎？是否有新的函數存在？

生1 有變量，如a，x，y，S等.

生2 存在函數，如y隨x的變化而變化，S隨a的變化而變化等.

生3 有我們所學的正比例函數、一次函數、反比例函數.

生4 有新的函數，既不是一次函數，也不是正比例函數和反比例函數.

師 請你觀察新的函數，概括新的函數特征，并用一般形式和條件來表示它.

生 y=ax2+bx+c（a≠0，其中a，b，c為常數）.

2 概念的理解

概念的理解是一個辨別和運用的過程，必須揭示其本質特征，進行逐層剖析.其次，通過對概念的理解，可以加深、鞏固學生對數學概念的掌握，并且在概念運用過程中也有利于培養學生思維能力.對概念的深化理解需要注意以下兩點.

2.1 概念的辨別——概念辨析，加強理解

有的概念敘述簡練，寓意深刻，對于這類概念，必須深刻揭示概念中關鍵詞、句的真實含義.對二次函數概念的理解要注重以下幾點：（1）它與正比例函數、一次函數和反比例函數都是初中所學的基本初等函數；（2）形式上區別于其他，函數必須滿足y=ax2+bx+c；（3）注重一般式中常數a，b，c的條件.

例2 下面各函數中，哪些是二次函數？如果是，請寫出它的a，b，c，若不是，請說明理由.

（1）s=－12+3t2；

（2）y=－2x；

（3）y=22+x；

（4）y=－12x2；

（5）y=x－12－x2.

學生完成后，教師投影學生的做題情況并確定答案，并進行以下教學活動.

師 談談（1）和（4）中的函數為什么是二次函數？說說你的理由.

生1 問題（1）可以寫成一般形式“s=3t2－12”再來判斷，滿足自變量x的最高次數為2，其中a=3，b=0，c=12

生2 問題（4）符合y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c為常數），其中a=-12，b=0，c=0.

師 談談問題（2）（3）（5）中的函數為什么不是二次函數？

生1 問題（2）中的函數是反比例函數.

生2 問題（3）中的函數自變量最高次數不為2.

生3 問題（5）中的函數化簡后不滿足自變量最高次數為2的條件.

師 通過以上問題，說說你的收獲.

生 判斷的依據是在建立在二次函數一般式y=ax2+bx+c（a≠0，其中a，b，c為常數）的前提下，注重它的形式和條件必須同時滿足，同時要區分初中已學的其他函數.

2.2 概念的理解——小組合作，概念深化

概念的教學在整個數學教學中是重點，也是難點，概念教學的過程中不能僅僅停留在知識的講解層面，需幫助學生理解概念的本質，通過基本概念的正用、反用、變用等，促進學生對概念的理解.

例3 已知如圖2，在Rt△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，動點P從B點出發以每秒2cm的速度向C運動，與此同時，動點Q從C點出發以每秒1cm的速度向A運動，當運動時間為x秒時（當其中一點達到時另一點立即停止運動），△PCQ的面積為ycm2.

（1）請寫出y與x的函數關系式，并寫出x的取值范值；

（2）請填寫表1.

教師安排學生們完成第（1）問，并請學生F在黑板上寫出y與x的函數關系式并講解.

師 這是什么函數？你是怎么發現的？自變量的取值范圍又是怎樣的？

生1 是二次函數.

生2 可以通過化為函數一般式來判斷.

生3 可以通過函數關系式發現，由兩個一次自變量x相乘取得.

生4 依題意可得自變量的取值范圍0<x≤4.

師 填寫完表1，談談隨著x的變化，y是如何變化的？通過變化規律，你能發現什么？

小組代表 我們可以發現：（1）y隨x的變化先變大后變小；（2）y有最大值；（3）它的圖象不是直線.

讓學生充分體驗二次函數模型思想，也讓學生進一步加深對二次函數概念的理解，即由兩個一次自變量相乘取得，讓學生有所獲，更有所悟.另外，通過x和y的值變化情況了解自變量和因變量之間的變化規律，為后續函數的性質的學習做好準備，同時通過讓學生歸納總結初步感知二次函數的用途，明確學習目的（解決生活中的最值問題）.

3 結語

通過上述這種開放性問題的設計能很大程度上促進孩子對概念的理解，以及提高學生學習數學的興趣，同時讓學生把二次函數和一元二次方程自然地聯系起來，起到了承上啟下的作用.

參考文獻：

［1］史寧中.數學課程標準［M］.北京：北京師范大學出版社，2011.

［2］曹才翰，章建躍.數學教育心理學［M］.北京：北京師范大學出版社，2006.