反比例函數與一次函數綜合問題的解題策略探討

【摘要】在數學的學習中，反比例函數與一次函數的綜合問題常常是重點和難點，這類問題具有較強的綜合性和靈活性，能夠充分考查學生對函數知識的掌握程度和運用能力．本文深入探討反比例函數與一次函數綜合問題的解題策略，希望能為廣大學生提供有益的參考．

【關鍵詞】反比例函數；一次函數；解題策略

1 反比例函數和一次函數在幾何問題中的應用

例1 已知反比例函數y1=k1xk1≠0與正比例函數y2=x相交于A，B兩點，A點橫坐標為2，如圖1．

（1）k1=________；當y1>y2，x取值范圍是________．

（2）若A點坐標為a，b，則B點坐標為________.（用a，b表示）

（3）將正比例函數圖象向下平移3個單位長度，分別交反比例函數圖象于點C，D．交y軸于點E．連接BD，BC，求△BCD的面積．

解析 （1）因為A點橫坐標為2，

所以y=2，即A2，2，

所以2=k12，即k1=4.

因為點A和點B關于原點對稱，

所以B－2，－2，

由圖像可知，y1>y2時，0<x<2或x<－2.

（2）因為點A和點B關于原點對稱，A點坐標為a，b，

所以B點坐標為－a，－b.

（3）由題意可得CD：y=x－3，

所以E0，－3，

所以OE=3，

聯立得y=x－3y=4x，

即x2－3x－4=0，

解得x1=4，x2=－1，

所以C4，1，D－1，－4，

過點B作BI∥y軸交CD于點I，如圖2，

則I－2，－5，BI=3，

△BCI的高為6，底為3，△BDI的高為1，底為3，

所以S△BCD=S△BCI－S△BID=12×3×6－12×3×1=152．

解題策略 本題主要考查了一次函數與反比例函數的綜合問題，涉及待定系數法求函數解析式及函數的交點問題、三角形的面積等知識，解題的關鍵是靈活運用待定系數法確定函數解析式，學會利用圖象根據條件確定自變量取值范圍，屬于中考常考題型．第（1）問中，把A點橫坐標代入正比例函數可求得A點坐標，代入反比例函數解析式可求得k，可求得反比例函數解析式；根據反比例函數的圖象在正比例函數圖象的上方，即可寫出x的取值范圍．第（2）問中，根據點A和點B關于原點對稱即可得點B的坐標.第（3）問中，過點B作BI∥y軸交CD于點I，由條件可求得D，C的坐標，用△BCI的面積減去△BDI的面積即可求出△BCD的面積．

2 運用反比例函數與一次函數解決實際問題

例2 某種玻璃原材料需在0℃環境保存，取出后勻速加熱至600℃高溫，之后停止加熱，玻璃制品溫度會逐漸降低至室溫（30℃），加熱和降溫過程中可以對玻璃進行加工，且玻璃加工的溫度要求不低于480℃．玻璃溫度y℃與時間xmin的函數圖象如圖3所示，降溫階段y與x成反比例函數關系，根據圖象信息，以下判斷正確的是（ ）

（A）玻璃加熱速度為120℃/min．

（B）玻璃溫度下降時，y與x的函數關系式為y=600x．

（C）能夠對玻璃進行加工的時長為1.8min．

（D）玻璃從600℃降至室溫30℃需要的時間為80min．

解析 因為600÷4=150℃/min，

所以玻璃加熱速度為150℃/min，故（A）選項不合題意；

由題意可得，4，600在反比例函數圖象上，

設反比例函數解析式為y=kx，

代入點4，600，可得k=2400，

所以玻璃溫度下降時，y與x的函數關系式是y=2400x，故（B）選項不合題意；

設玻璃溫度上升時y與x的函數關系表達式為y=k1x，

由題意可得，4，600在正比例函數圖象上，

代入點4，600，可得k=150，

所以玻璃溫度上升時，y與x的函數關系式是y=150x，

所以將y=480代入y=150x，得x=3.2，

所以將y=480代入y=2400x，得x=5，

所以5－3.2=1.8min，

所以能夠對玻璃進行加工的時長為1.8min，故（C）選項符合題意；

將y=30代入y=2400x得，x=80，

所以80－4=76min，

所以玻璃從600℃降至室溫30℃需要的時間為76min，故（D）選項不符合題意．

解題策略 本題考查了反比例函數和一次函數在實際問題中的綜合應用，讀懂函數圖象，獲取信息是解決本題的關鍵．0～4min內，溫度隨時間成正比增加，可求出k的值，再結合4min時的坐標值可求出反比例函數的解析式，根據圖象中的數據逐項分析求解即可．

3 結語

總之，反比例函數與一次函數綜合問題的解題需要學生具備扎實的基礎知識、良好的分析問題和解決問題的能力．通過不斷的練習和總結，學生能夠逐漸掌握解題策略，提高解題水平，更好地應對這類復雜的數學問題．同時，教師在教學過程中也要注重引導學生掌握方法，培養學生的思維能力和創新精神，使學生在數學學習中不斷進步．希望本文的探討能對廣大師生在解決反比例函數與一次函數綜合問題時提供有益的幫助．

參考文獻：

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