以解題能力為核心的初中數學解題教學研究

以解題能力為核心的初中數學解題教學研究

祁莉莉（甘肅省隴南市西和縣北川初級中學 742100）

【摘要】解題是初中數學教學的重點內容，教師應培養學生的解題能力，發展其解題思路，以便學生能應用更有效、可行的方法解答數學問題.本文以培養學生的解題能力為核心，簡要分析學生如何應用解題策略解答各種問題.

【關鍵詞】解題能力；初中數學；解題策略

1 思路探究，提高學生的邏輯推理能力

例1 如圖1所示，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=DB=p，BC=q.求對角線AC的長度.

思考 結合此題中的已知條件，AD=DC=DB=p，能夠發現點A、B與C都在半徑為p的圓D上.所以根據圓的性質能夠發現AC與p、q的關系.

詳解 結合圖1，畫出以點D為圓心，半徑為p的圓，延長CD與圓D交于E點，將AE相連接.

發現點A、B與C都在半徑為p的圓D上.

因為AB∥CD，

所以BC=AE=q.

在△ACE中，∠CAE=∠90°，CE=2p，AE=q，

所以AC=CE2－AE2=4p2－q2.

講解此題時，重點分析解題條件并與結論相連接，引導學生了解固定點線段相等［1］.通過將固定點相連，形成一個輔助圓，可以幫助學生更快速、順利地解題.雖然一些問題看似與圓的知識沒有聯系，但從題目中的條件、結論可以看出，其與圓的性質有關，深入分析題目也會發現與圓的性質相關的信息.依據給出的條件構建輔助圓，能夠簡化原始問題，使其轉換成與圓相關的題目，再利用圓的相關知識和定理，能讓學生快速、準確地解題，也能開拓學生的解題思路，讓其通過其他角度分析、思考數學問題.

2 靈活應用公式，培養學生的創新思維

例2 已知a－b=b－c=35，a2+b2+c2=1，求ab+bc+ca的值.

思考 要想求得ab+bc+ca的值，需要從題目中的已知條件入手，分別計算a、b、c的值，再代入公式求解.這一方法雖能得到問題的答案，但計算量相對較大.此題還可借助完全平方公式，根據給出的條件整體代入，能夠更簡單、快速地得到答案.

詳解 已知條件：a－b=35，b－c=35，

將兩個公式相加，可以得到a－c=65，

所以（a－b）2+（b－c）2+（a－c）2=（35）2+（35）2+（65）2，

依據完全平方公式，可以得到

2（a2+b2+c2）-2（ab+bc+ca）=5425，

所以ab+bc+ca=－225.

此題主要考查學生對完全平方公式的理解及應用，根據題目給出的已知條件、未知條件，合理構建3個完全平方差等式，可以快速得出問題的答案.通過這一過程，學生的解題思路更加清晰且具有較強的創造性，有利于學生舉一反三解決類似的習題［2］.解題過程中，學生需要明確各條件間的聯系，發散思維，總結題目的解題方法，再不斷對比選出解題難度低且計算準確性高的方法，從而更好地培養學生的創造思維.

3 利用解題思想，開拓學生的解題思路

例3 已知，△ABC中，點O到△ABC兩邊AB、AC所在直線的距離相等，并且OB=OC.求證：AB=AC.

思考 結合題中條件，要想求證AB=AC，應先確定點O在三角形中的位置.根據題意進一步分析，點O在三角形中的位置可以有三種情況，求證時需要對點O的位置逐一討論.

詳解 （1）如果點O在BC上，過點O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，如圖2.

則OD=OE，∠ODB=∠OEC=∠90°，

在Rt△BOD與Rt△COE中，

因為OD=OE，OB=OC，

所以Rt△BODRt△COE，

可得∠B=∠C，AB=AC.

（2）如果點O在△ABC內部，過點O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，如圖3.

則OD=OE，∠ODB=∠OEC=∠90°，

在Rt△BOD與Rt△COE中，

因為OD=OE，OB=OC，

所以Rt△BODRt△COE，

所以∠DBO=∠ECO，

因為OB=OC，

所以∠OBC=∠OCB，∠ABC=∠ACB，

所以AB=AC.

（3）如果點O在△ABC的外部，過點O作OD⊥AB的延長線于D，OE⊥AC的延長線于E，如圖4.

則OD=OE，∠ODB=∠OEC=∠90°，

在Rt△BOD與Rt△COE中，

因為OD=OE，OB=OC，

所以Rt△BODRt△COE，

所以∠DBO=∠ECO，

因為OB=OC，

所以∠OBC=∠OCB，∠DBC=∠ECB，

可得∠ABC=∠ACB，

所以AB=AC.

否則，如圖5，AB≠AC.

解答此題時，需要討論三種情況，在第一種情況中，基于斜邊直角邊定理可以證明兩個三角形全等，再結合全等三角形定理，可以得到∠B=∠C，AB=AC.第二種情況中，通過作垂直線，可以按照第一種情況的解題思路證明AB=AC.第三種情況中，通過證明兩個三角形全等，再基于等角的補角相等得到AB=AC.解題過程中，一些題目存在很多問題或條件，結合問題條件、要求分類并逐一解決問題，能夠幫助學生更好地掌握解題思想，從而開拓學生的解題思路，這不僅有利于學生準確、有效地解答數學題，還能發散其思維，進而提高學生的解題能力。

4 結語

總而言之，初中數學習題相對復雜，要想正確、快速地解答，學生需要了解題目的原理、性質及方法等.通常，數學題的解題方法有很多，教學中鍛煉學生的一題多解能力，不僅能鍛煉學生的數學思維，還能讓學生找到更適合自己的學習與解題方法.同時，教師需要強化學生對題目的理解，這有助于提高學生的解題速度，進一步掌握公式定理，也能幫助學生通過舉一反三，順利解答類似的數學題目.

參考文獻：

［1］杜娟.以解題能力為核心的初中數學解題教學研究［J］.數學之友，2022（20）：19-21.

［2］賓朝路.基于數學學科核心素養的初中數學解題教學研究［J］.數理天地（初中版），2024（3）：35-36.