初中數學翻折模型的中心條件與解題思路

【摘要】初中數學教學中，翻折模型作為幾何學習的重要內容之一，旨在培養學生的幾何思維和問題解決能力.本文以初中數學教學中的翻折模型為研究對象，探討了其解題過程中的中心條件與思路.研究發現，翻折模型的教學不僅僅是為了掌握具體的解題方法，更重要的是培養學生的空間想象能力、邏輯推理能力和問題解決能力.

【關鍵詞】初中數學；翻折模型；中心條件；解題思路

1 引言

初中數學作為學生學習的重要學科之一，在培養學生的邏輯思維和解決問題能力方面發揮著重要作用.其中，翻折模型作為數學教學中的一個重要內容，旨在通過幾何圖形的折疊和全等性質的運用，培養學生的空間想象能力和幾何推理能力［1］.筆者將以一道例題進行探究，以“全等性”“對稱性”為該類題目中心條件和破題關鍵，以“根據全等性和已知條件確定所有已知量，設出未知量，在同一個圖形內構造等量關系，解出未知量”為該類題的一般解題思路，通過合理引導學生運用全等性質，提升學生的問題解決能力和數學思維水平.

2 翻折模型的概述

翻折變換，亦稱折疊問題，其本質是一種軸對稱變換.在幾何學中，折疊操作將圖形沿某一條直線（稱為折痕或對稱軸）進行翻折，使得折疊前后的圖形部分或全部重合.學生在解題過程中，需要時刻牢記翻折模型的具體性質，即：折疊前后圖形的形狀和大小保持不變，但位置會發生改變；折疊過程中，對應邊和對應角保持相等.這些性質為學生解決折疊問題提供了重要的理論依據.

在解決實際問題時，面對較為復雜的折疊問題，學生可以通過實際操作圖形的折疊來尋找圖形間的關系.這種方法有助于學生直觀地理解問題，從而找到解題的突破口.學生還需要明確折疊和軸對稱所能提供的隱含條件，并充分利用這些條件.通常，可以設要求的線段長度為x，然后根據折疊和軸對稱的性質，用含x的代數式表示其他相關線段的長度.然后選擇適當的直角三角形，運用勾股定理列出方程，進而求解出x的值.在運用方程解決問題時，學生應認真審題，確保設定的未知數正確無誤.同時，要注意分析題目中的已知條件和所求目標，將實際問題轉化為數學模型，再通過數學方法求解.在此過程中，熟練掌握折疊和軸對稱的性質，以及靈活運用勾股定理等幾何知識，是解決折疊問題的關鍵.總之，掌握折疊問題的解題方法，不僅有助于提高學生的幾何解題能力，還能培養學生的空間想象力和邏輯思維能力.

3 試題呈現

如圖1所示，在矩形ABCD中，點E在DC上，將矩形沿AE折疊，使點D落在BC邊上的點F處.若AB=3，BC=5，則tan∠DAE的值為________.

4 思路分析

本題運用倒推法，若需要求出tan∠DAE，由于已知BC=5，則可得到AD=5，故只需求解DE的長度即可.嘗試利用“根據全等性和已知條件確定所有已知量，設出未知量，在同一個圖形內構造等量關系，解出未知量”的一般解題思路進行求解.首先，根據全等性，可知AF=5，因此可求BF的長度，同時滿足全等性的還有EF=DE.設未知量為DE的長度x，則不難發現，在△CEF中，可以根據勾股定理進行等式構建，從而解出未知量.

而本題還可根據“對稱性”這一中心條件，進行簡化求解.可以連接D、F兩點，根據對稱性，可知對稱軸與連線垂直.因此根據相似三角形，可將tan∠DAE等價于tan∠FDE，如此一來，便不需要設未知量即可求解［2］.

5 解題探究

解法1 一般思路

如圖1，由翻折變換可知，AD=AF=5，在Rt△ABF中，由勾股定理得BF=AF2－AB2=52－32=4，因此FC=BC－BF=5－4=1，設DE=x，則EF=x，EC=3－x.

在Rt△EFC中，由勾股定理得12+（3－x）2=x2，解得x=53，即DE=53，在Rt△ADE中，tan∠DAE=DEAD=535=13.

解法2 升階思路

如圖2，連接D、F兩點，交AE于點O，則根據對稱性，對稱兩點的連線垂直于翻轉軸，則AE⊥DF.由于∠ADE=∠DOE，∠AED=∠ADO，所以∠DAE=∠ODE，因此tan∠DAE=tan∠ODE=tan∠FDC，此時可根據解法1中結論得到FC=1，又因為CD=3，所以tan∠DAE=13.

6 解后反思

在本文的探討中，筆者深入研究了翻折模型在初中數學教學中的重要性和應用.翻折模型的教學不僅僅是為了讓學生掌握具體的解題方法，更重要的是培養學生的空間想象能力、邏輯推理能力和問題解決能力［3］.通過對翻折模型的研究和實踐，學生在解決翻折模型問題時，需要靈活運用全等性質，構造等量關系，建立方程，進行推理和論證，從而培養了他們綜合運用數學知識的能力.在教學實踐中，筆者還發現了一些問題和挑戰，比如學生對于全等性質的理解和應用存在困難，需要通過實例分析和模型演示來幫助學生理解.同時，教師在引導學生解題過程中需要不斷激發學生的求知欲和探索精神，鼓勵他們嘗試不同的解題方法，培養他們的數學思維能力.翻折模型的教學既考驗著學生的數學能力，也考驗著教師的教學水平和教學方法.通過不斷地探索和實踐，學生可以更好地引導學生掌握翻折模型的解題技巧，提升他們的數學素養，培養他們綜合運用數學知識解決實際問題的能力.

參考文獻：

［1］單小燕.初中數學解題教學策略探析——以“勾股定理中的翻折問題解題教學”為例［J］.數學之友，2023，37（04）： 47-48+52.

［2］沈穎.初中數學勾股定理中的翻折問題［J］.現代中學生（初中版），2022，（22）：3-4.

［3］劉鈺.初中數學解題課教學策略課例分析——以“勾股定理中的翻折問題”解題教學為例［J］.中學數學，2021，（10）：8-9+13.