數形結合，以簡馭繁

【摘要】以2022年舟山市中考壓軸題第（3）小題為例，結合四大數學思想，化繁為簡，聚焦二次函數的圖象性質與不等式的精妙運用，構思多種解題思路，利用幾何畫板作圖分析研究，旨在讓學生領略數學的無窮魅力，以培育思維的靈活性和發散性.

【關鍵詞】一題多解；二次函數；不等式

1 原題再現

（2022舟山）已知拋物線L1：y=a（x+1）2－4（a≠0）經過點A（1，0）.

（1）求拋物線L1的函數表達式；

（2）將拋物線L1向上平移m（m>0）個單位得到拋物線L2，若拋物線L2的頂點關于坐標原點的對稱點在拋物線L1上，求m的值；

（3）把拋物線L1向右平移n（n>0）個單位得到拋物線L3，已知點P（8-t，s），Q（t-4，r）都在拋物線L3上，若當t>6時，都有s>r，求n的取值范圍.

由于前兩題比較容易求解，所以著重探討第（3）小題的解法.

前兩題的參考答案：（1）y=（x+1）2－4.（2）m=4.

2 解法剖析

本題有關于二次函數的性質及不等式的綜合應用，要求學生掌握二次函數、不等式的基礎知識，考查學生的數學運算和邏輯推理能力，下面通過三種解題思路進行分析討論.

解法1 由s>r列出不等式，解不等式.

將P，Q代入得：s=（8－t+1－n）2－4，

r=（t－4+1－n）2－4.

因為s>r，

所以（8－t+1－n）2－4>（t－4+1－n）2－4，

移項得：（8－t+1－n）2－（t－4+1－n）2>0，

化簡得：（－2n+6）（－2t+12）>0.

因為t>6，

所以－2t+12<0，

所以－2n+6<0，

所以n>3.

類似于作差法比較大小，求解過程中，由于代數推理過程比較復雜，學生容易犯錯.尤其是在判斷兩式相乘大于零，兩式應該同號時，更容易出錯.

解法2 數形結合，利用二次函數軸對稱的性質.

學生可直接利用草稿紙畫曲線草圖進行輔助分析，下面采用幾何畫板繪圖觀察函數圖象特征，可知拋物線開口向上.

P，Q所成線段中點的橫坐標恒為2；當拋物線的對稱軸與直線x=2重合時，s=r，見圖1；

當拋物線的對稱軸在直線x=2左側時，s<r，見圖2；當拋物線的對稱軸在直線x=2右側時，s>r，見圖3.

觀察發現，當拋物線開口向上時，離對稱軸越近的點，其圖象就越低，函數值越小.已知s>r，我們只需要保證函數的對稱軸x=n－1在直線x=2右側即可，由此得出n－1>2即n>3.

我們的第二種解法就是通過幾何畫板建模，應用分類討論的思想繪出符合題意的函數圖象，在這個過程中逐步鍛煉培養學生的分析能力、邏輯推理能力，一目了然地求解出不等式條件下參數的取值范圍.

3 變式拓展

在進行一題多解的探究后，教師還可進一步引導學生提出新問題，在原有基礎上改編題目，進一步驗證方法的可行性.

變式1 已知點P（8-t，s），Q（t-4，r）在拋物線y=－（x+1－n）2－4上，若當t>6時，都有s>r，求n的取值范圍.

分析 同樣應用幾何畫板進行圖象分析，拋物線開口向下.

P，Q所成線段中點的橫坐標恒為2；

當拋物線的對稱軸與直線x=2重合時，s=r，見圖4；

當拋物線的對稱軸在直線x=2左側時，s>r，見圖5；

當拋物線的對稱軸在直線x=2右側時，s<r，見圖6.

同樣可以得出，當拋物線開口向下時，離對稱軸越近的點，其圖象就越高，函數值越大.因此該題目同樣可以通過對稱軸快速找到n的取值范圍，n-1<2即n<3.

在討論清楚二次函數圖象開口向上和向下這兩種情形后，我們將之合二為一，得到新的變式拓展題.

變式2 已知點P（8-t，s），Q（t-4，r）在拋物線y=（2－n）x2+x+1上，若當t>6時，都有s>r，求n的取值范圍.

分析 當2-n出現在二次項的時候，需要分類討論它與0的大小關系，進而確定拋物線的開口方向，再利用數形結合去分析圖形特征.

解 當2—n>0時，

—12（2-n）>2；

當2—n<0時，

—12（2-n）<2.

綜上：n>94.

通過對中考壓軸題和變式題的分析，歸納出這類題目的解題通法：找到拋物線的對稱軸以及已知點所成線段中點的橫坐標，結合二次函數圖象開口方向，利用對稱軸結合題目當中的已知條件列出不等式，最后解不等式求出答案.

4 結語

從上述試題探究可知，在用代數方法求解復雜問題比較困難時，學生可以通過繪制圖象，將抽象的數學關系具象化，更直觀地理解問題，從而簡化問題并找到新的解題思路.