三角形中位線定理的應用策略

策略一：已知兩個中點，應用三角形中位線.

在同一個三角形中有兩個中點，若兩個中點已連接，可直接考慮運用三角形中位線定理；若兩個中點未連接，則考慮先連接中點，再運用三角形中位線定理. 當題目中沒有出現三角形，但是又出現了兩個中點時，可考慮利用輔助線將兩個中點放到同一個三角形中，進而使用三角形的中位線定理去求相關線段之間的數量關系或位置關系.

例1 如圖1，點B為AC上一點，分別以AB，BC為邊在AC同側作等邊三角形ABD和等邊三角形BCE，點P，M，N分別是AC，AD，CE的中點，求證：PM = PN.

思路點撥：如圖2，連接CD，AE.

由三角形中位線定理可得PM = [12]CD，PN = [12]AE.

∵△ABD和△BCE是等邊三角形，

∴AB = DB，BE = BC，∠ABD = ∠CBE = 60°，

∴∠ABE = ∠DBC，

∴△ABE ≌ △DBC，∴AE = DC，∴PM = PN.

策略二：已知一個中點，利用“角平分線 + 垂直”找另一中點，應用三角形中位線.

利用“角平分線 + 垂直”，可以構造等腰三角形，根據“三線合一”可得中點，通過三角形的中位線定理易求得相關線段的長度.

例2 點M為△ABC的邊BC的中點，AB = 12，AC = 18，BD⊥AD于點D，連接DM. （1）如圖3，若AD為∠BAC的平分線，則MD = ；（2）如圖4，若AD為∠BAC的外角平分線，則MD = .

思路點撥：（1）如圖5，延長BD交AC于點E，由BD⊥AD，且AD為∠BAC的平分線，易證△ABE是等腰三角形，則AE = AB = 12，所以EC = AC - AE = 6. 因為MD是△BCE的中位線，所以MD = [12]CE = 3. 故填3.

" " " 圖3 圖4 圖5

（2）如圖6，延長BD，CA，交于點E.

由BD⊥AD，AD為∠BAE的平分線，易證△ABE是等腰三角形，則AE = AB = 12，則EC = AC + AE = 30.

由MD是△BCE的中位線，可得MD = [12]CE = 15. 故填15.

變式 如圖7，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，D為△ABC外一點，使∠DAC = ∠BAC，E為BD的中點. 若∠ABC = 60°，則∠ACE = .

思路點撥：如圖8，延長AD，BC，交點為F.

由∠ACB = 90°，∠DAC = ∠BAC，∠ABC = 60°，易證△ABF為等邊三角形. 因為EC是△BDF的中位線，所以EC[?]DF，所以∠ACE = ∠FAC = 30°." 故填30°.

分層作業

難度系數：★★★ 解題時間：10分鐘

1. 如圖9，在△ABC中，∠ABC = 90°，BA = BC，△BEF為等腰直角三角形，∠BEF = 90°，M為AF的中點，求證：[ME=12CF]. （答案見第33頁）

難度系數：★★★★ 解題時間：15分鐘

2. 如圖10，在△ABC中，∠C = 90°，CA = CB，E，F分別為CA，CB上一點，CE = CF，M，N分別為AF，BE的中點，求證：AE = 2MN. （答案見第33頁）

圖9" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "圖10

（作者單位：錦州市第四中學）