“數(shù)據(jù)的分析”中常用的數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的精髓，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的金鑰匙. 在解決“數(shù)據(jù)的分析”相關(guān)問(wèn)題時(shí)，常要運(yùn)用數(shù)學(xué)思想來(lái)導(dǎo)航，進(jìn)而順利找到解題路徑.

一、方程思想

例1 已知一組數(shù)據(jù)1，0， -3，5，x，2， -3的平均數(shù)是1，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是（ ）.

A. -3 B. 5

C. -3和5 D. 1和3

解析：由1，0， -3，5，x，2， -3的平均數(shù)是1，可得方程1 + 0 - 3 + 5 + x + 2 - 3 = 7 × 1，解得x = 5，而1，0， -3，5，5，2， -3的眾數(shù)為 -3和5. 故選C.

注意：一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能不止一個(gè)（這里有兩個(gè)），也可能不存在（如1，2，3，4）.

二、整體思想

例2 若一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的方差為2，則數(shù)據(jù)x1 + 3，x2 + 3，x3 + 3，…，xn + 3的方差是 .

解析：設(shè)[x] = [1n] （x1 + x2 + x3 + … + xn），則s2 = [1n] [（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2] = 2.

再列出數(shù)據(jù)x1 + 3，x2 + 3，x3 + 3，…，xn + 3的平均數(shù)與方差的表達(dá)式，然后將前面的表達(dá)式整體代入，可知數(shù)據(jù)x1 + 3，x2 + 3，x3 + 3，…，xn + 3的平均數(shù)為（[x] + 3），方差為[1n] [（x1+3-x-3）2+（x2+3-x-3）2+…+（xn+3-x-3）2] = [1n·] [（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2] = 2.

規(guī)律：兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為[x]1，[x]2，方差分別為s12，s22，當(dāng)?shù)诙M每個(gè)數(shù)據(jù)是第一組每個(gè)數(shù)據(jù)的n倍再增加m時(shí)，則有[x]2 = n[x]1 + m，s22 = n2s12.

三、數(shù)形結(jié)合思想

例3 長(zhǎng)時(shí)間觀看手機(jī)、電腦等電子產(chǎn)品對(duì)視力影響非常大. 6月6日是“全國(guó)愛(ài)眼日”，為了解學(xué)生的視力情況，某學(xué)校從甲、乙兩個(gè)班級(jí)各隨機(jī)抽取8名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)繪制成如圖1所示的折線統(tǒng)計(jì)圖，則下列說(shuō)法正確的是（ ）.

A. 甲班視力值的平均數(shù)大于乙班視力值的平均數(shù)

B. 甲班視力值的中位數(shù)大于乙班視力值的中位數(shù)

C. 甲班視力值的極差小于乙班視力值的極差

D. 甲班視力值的方差小于乙班視力值的方差

解析：常規(guī)解法是根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、極差及方差的定義計(jì)算，得到甲、乙兩班視力值的平均數(shù)均為4.7，中位數(shù)均為4.7，極差（數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差）均為0.6，s[2甲] = 0.025，s[2乙] = 0.035，s[2甲] lt;" s[2乙]，進(jìn)而判斷選項(xiàng)A、B、C均不正確，選項(xiàng)D正確，故選D.

這樣做不僅費(fèi)時(shí)費(fèi)力，且易出錯(cuò). 觀察圖１可發(fā)現(xiàn)，實(shí)線的波動(dòng)程度比虛線的波動(dòng)程度小，因此甲班視力值的方差小于乙班視力值的方差，故選D.

四、分類思想

例4 一組數(shù)據(jù)1，4，6，[x]的中位數(shù)和平均數(shù)相等，求[x]的值.

解析：平均數(shù)為[11+x4]，中位數(shù)是從小到大排序后中間兩數(shù)的平均數(shù). 因x的大小不確定，所以要分類討論.

（1）當(dāng)x ≤ 1時(shí)，其中位數(shù)為[1+42]，則 [1+42=11+x4]，解得x = - 1；

（2）當(dāng)1 lt; x lt; 6時(shí)，其中位數(shù)為[x+42]，則[x+42=11+x4]，解得x = 3；

（3）當(dāng)x ≥ 6時(shí)，其中位數(shù)為[4+62]，則[4+62=11+x4]，解得x = 9.

因此，x的值為 - 1或3或9.

反思：x不確定，中位數(shù)的大小也就不確定，所以要分類求解.

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★ 完成時(shí)間：5分鐘

1. 一組數(shù)據(jù)1，x，5，7有唯一眾數(shù)，且中位數(shù)是6，求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù). （答案見(jiàn)33頁(yè)）

2. 圖2是甲、乙兩人6次投籃測(cè)試（每次投籃10個(gè)）成績(jī)的統(tǒng)計(jì)圖，甲、乙兩人測(cè)試成績(jī)的方差分別記作s[2甲]，s[2乙]，則s[2甲] " " " s[2乙]. （填“gt;”“=”或“l(fā)t;”）（答案見(jiàn)33頁(yè)）

（作者單位：江蘇省興化市戴澤初級(jí)中學(xué)）