計算重根特征向量靈敏度的正則完備法

摘 要：在基于靈敏度分析的軸對稱模型修正中，重根特征向量靈敏度是較為重要的確定結構參數優化方向的參數。以楊秋偉提出的計算特征向量靈敏度的方法為基礎，在支配方程的兩側加上一個可調整的正則項以消除動剛度陣的奇異性，并結合完備模態法計算模態參與因子，提出了正則完備法。雖然該法以計算重根特征向量靈敏度而推導，但也可用于單根特征向量靈敏度的計算。通過試驗算例驗證了所提方法在軸對稱模型修正的可行性。

關鍵詞：軸對稱模型修正；重根特征向量；特征向量靈敏度

中圖分類號：TP391.9文獻標志碼：A文章編號：1671-5276（2024）03-0123-04

Regular Complete Method for Computing Sensitivity of Repeated Root Eigenvectors

Abstract：In the sensitivity-based model updating of the axisymmetric structure， the sensitivity of the repeated root eigenvectors is a crucial parameter to determine the optimization direction of structural parameters. Based on the method of calculating eigenvector sensitivity proposed by YANG Qiuwei， regular complete method is proposed by adding an adjustable regular term on both sides of the governing equation to eliminate the singularity of the dynamic stiffness matrix and combining with the complete modal method to calculate the modal participation factor. Although the method is derived by calculating the sensitivity of the repeated root eigenvectors， it can also be used for the calculation of the sensitivity of the single root eigenvector. Experimental examples verify the feasibility of the proposed method in axisymmetric model updating.

Keywords：axisymmetric model updating；repeated root eigenvectors；eigenvector sensitivity

0 引言

特征靈敏度是基于靈敏度分析模型修正的重要研究內容之一，可以確定結構參數優化方向。最早由FOX和ROGERS給出了特征靈敏度關于結構設計變量的推論式，NELSON［1］在FOX的推論基礎上建立了關于單根特征向量靈敏度的表達式，OJALVO［2］將Nelson法擴展到重根特征向量；MILLS-CURRAN［3］對Ojalvo法通解的普遍計算式進行了合理的改進，上述方法又稱為直接求導法。完備模態法［4］可以精確求解單、重根特征向量靈敏度且只需要本階模態，適用于特征值為分離或多重的情況，缺點是不易求解等效高階模態，計算效率低。高精度模態法將特征向量導數表示為完備組的線性組合，再考慮高階模態的近似貢獻。完備模態法和高精度模態法將特征向量靈敏度表征為所有特征向量線性組合去求解，所以又被稱為模態法。

軸對稱模型修正需要進行測量模態與有限元模型之間的相關性分析，最后以測量模態進行修正。軸對稱結構的重根模態具有固有頻率接近，振型偏轉一定角度的特點，致使兩模態的MAC值很差。李效法［5］提出等價振型轉換法并考慮到了模態遺漏，將有限元重根振型進行轉換。經過振型轉換后，通過相關性分析找到相匹配的模態并計算參數靈敏度，最后對有限元模型進行修正。

直接求導法和模態法可以分為單根和重根兩種情況討論。在單、重根特征向量的情況下，直接求導法的支配方程系數陣奇異性和待定系數計算方法不同，模態法則是模態參與因子計算方法互異。而且，Nelson法和模態疊加法只適用于單根的情況，改進Nelson法和完備模態法適用于單、重根的情況。楊秋偉等［6］在Nelson法計算特征向量導數的支配方程兩側加上一個正則項，將系數陣變為非奇異矩陣并求逆和轉換多余的正則項，從而推導出求解單根特征向量靈敏度的公式。本文在文獻［7］求解單根特征向量靈敏度的基礎上，提出正則完備法。

1 理論背景

1.1 重根特征向量靈敏度分析方法

假設一個具有n自由度的對稱無阻尼系統，剛度矩陣為K和質量矩陣為M，則考慮如下動力學問題：

KZ=λMZ（1）

ZTMZ=Im×m（2）

式中：λ為m重根；Z=（z1，z2，…，zr，…，zm）是相應的m（m＜n）重根特征向量，r=1，2，…，m；K、M、λ和Z均為設計參數pj的函數；I為m×m階單位矩陣。將式（1）兩邊對參數pj求偏導，并移項整理可得：

（K－λM）Z′=MZΛ′－（K′－λM′）Z=G（3）

式中：Λ′為重根特征值Λ=（λ1，λ2，…，λr，…，λm）對設計參數pj的1階導數，也稱為特征值靈敏度；Z′為重根特征向量對設計參數pj的特征向量靈敏度。由文獻［3］可得單、重根特征值靈敏度的計算公式：

Λ′=ZT（K′－λM′）Z（4）

·信息技術·

李成立，等·計算重根特征向量靈敏度的正則完備法

1.2 正則完備法

首先，完備模態法是將特征向量導數Z′展開成實用完備模態［Φk，Ψh］的線性組合，即

由文獻［4］可得因子C的對角元素計算式為

C的非對角元素由下式計算：

式中：K″和M″分別為剛度矩陣和質量矩陣對設計參數pj的2階導數；Λ″為特征值對設計參數pj的2階導數。于是，C的計算式可總結為

將式（3）左右兩邊增加正則項εZZTKZ′，其中ε為任意非0實數，則式（3）變為

（K－λM+εZZTK）Z′=MZΛ′－（K′－λM′）Z+εZZTKZ′（10）

將式（5）代入正則項εZZTKZ′可得：

由完備模態的正交性可知，上式可變為

εZZTKZ′=εZZTKZC=εZΛC（12）

將上式代入式（10）得

（K－λM+εZZTK）Z′=MZΛ′－（K′－λM′）Z+εZΛC（13）

對于系數陣K－λM+εZZTK，左乘以ZT，右乘以Z則得：

ZT（K－λM+εZZTK）Z=Λ－λIm×m+εZTZΛ=εZTZΛ（14）

由式（14）可得，當ε為非0實數時，系數陣K－λM+εZZTK非奇異。將式（13）直接求逆，可得重根特征向量靈敏度的解：

Z′=（K-λM+εZZTK）－1

［MZΛ′－（K′－λM′）Z+εZΛC］（15）

綜上，式（15）為正則完備法。該公式可以只用本階模態計算特征向量靈敏度。將Z、Λ和Λ′看作單根時，就等于文獻［6］所提的計算單根特征向量靈敏度的方法。所以，該法適用于單、重根特征向量靈敏度的計算。當λ′j≠λ′i時（即m重根特征值靈敏度分離），可以忽略等效高階模態對特征向量導數的貢獻，即刪去式（8）中右邊第2項ZT（K′－λM′）ΨhCh，式（15）為近似法。

2 算例分析

試驗算例將用完備模態法和正則完備法計算除剛體模態外的前3階特征向量靈敏度。以圖1中放在海綿墊上的圓盤為例，建立有限元模型。有限元模型有432個SHELL181單元，433個節點，2 598個自由度。圓盤材料為鐵，假設初始材

受文獻［7］的啟發，本文用MatLab調用自編的APDL靈敏度計算腳本，再由MatLab所編寫的修正迭代算法對設計參數進行修正。因此，ANSYS運行APDL自編腳本所獲得的特征靈敏度如下。在表1中，方法1為有限差分法，方法2為式（4）所示方法。保留一定精度，表1中兩種方法計算的第7階和第8階特征值對E、ρ和t的靈敏度都相同。因此，利用式（15）計算第7階和第8階重根特征向量對E、ρ和t的靈敏度時，可當作λ′j=λ′i。此時，本文所提方法為精確法。在表2—表4中，正則完備法為方法3，完備模態法為方法4。兩種方法的計算結果相比，證明正則完備法可用于計算特征向量靈敏度。另外，計算第7階特征向量對密度的靈敏度時，完備模態法所用時間約為8.47s，而正則完備法所用時間約為0.89s，由此可知大幅提高了計算效率且更易編程。

根據特征值靈敏度分析，選取對特征值敏感的E、ρ和t為修正參數。采用正則完備法和改進Nelson法計算特征向量靈敏度，再對圓盤進行修正。另外，有限元數據與試驗數據的對比如表5所示；頻率誤差的迭代變化分別如圖2和圖4所示（本刊為黑白印刷，如有疑問請咨詢作者）；設計參數相對變化量的迭代變化分別如圖3和圖5所示（紅線為E、綠線為ρ，藍線為t）。

對測量數據的前6階進行修正，7和8階為預測模態，比較修正后頻率誤差和MAC值。由圖2—圖5可知，正則完備法和改進Nelson法參與修正時，經過 14次迭代測量模態與有限元模型之間的頻率誤差和設計參數達到收斂。由表5可知，修正前頻率誤差最大為第3階8.59%，最小為第4階1.48%，但MAC值都較高。正則完備法參與修正時，最小為第1階0.40%，第4階頻率誤差變大為4.21%。改進Nelson法參與修正時，最小為第1階0.42%，第4階頻率誤差變大為4.19%。但兩種方法相比，修正后頻率誤差都在5%以下，頻率平均誤差都為1.50%，預測模態的頻率誤差都在1.3%以下，MAC值都有所改善，且修正后的MAC值一致。修正后，改進Nelson法的設計參數為E=180.18GPa、 ρ=7 530.05kg/m3和t=4.04×10－3m，而正則完備法的設計參數為E=178.75GPa、ρ=7 491.81kg/m3和t=4.05×10－3m?？傮w來看，兩種方法修正后頻率和MAC值都符合工程要求，且修正后的設計參數符合圓盤（鐵）的材料屬性和厚度誤差。因此，正則完備法可用于模型修正。

3 結語

本文參考文獻［6］的思想，提出計算特征向量靈敏度的正則完備法。通過在計算重根特征向量靈敏度支配方程的兩側增加一個正則項，把系數矩陣由奇異矩陣變形為非奇異矩陣，從而可以通過直接求逆快速計算出特征向量靈敏度，且所提的計算公式適用于單、重根特征向量。相比于改進Nelson法和完備模態法，該法在操作上更加簡便，且更易于編程。理論上，正則完備法為精確法。但用式（9）計算系數陣C忽略等效高階模態對特征向量導數的貢獻時，該法為近似法。以圓盤結構為例對所提方法進行了驗證，結果表明所提方法在計算特征向量靈敏度和模型修正方面是合理可行的，在工程實踐中也有較廣闊的應用前景。

參考文獻：

［1］ NELSON R B. Simplified calculation of eigenvector derivatives［J］. AIAA Journal，1976，14（9）：1201-1205.

［2］ OJALVO I. Gradients for large structural models with repeated frequencies［J］. Society of Automotive Engineers，Warrendale ：1986： 86-1789.

［3］ MILLS-CURRAN W C. Comment on “eigenvector derivatives with repeated eigenvalues”［J］. AIAA Journal，1990，28（10）：1846.

［4］ 張德文，魏阜旋. 重根特征向量導數計算的完備模態法［J］. 固體力學學報，1992，13（4）：347-352.

［5］ 李效法. 基于靈敏度分析的模型修正研究及其實現［D］. 南京：南京航空航天大學，2007.

［6］ 楊秋偉，汪振東，梅紅蕾. 特征向量靈敏度計算的一種新方法［J］. 應用力學學報，2021，38（3）：1239-1244.

［7］ 周建君，許俊海，范青山，等. ABAQUS二次開發在自沖鉚接模擬中的研究［J］. 機械制造與自動化，2021，50（5）：146-148.