旋轉三確定 缺一不唯一

根據圖形旋轉的概念可知，一個圖形旋轉后的結果是由旋轉中心、旋轉方向和旋轉角決定的，三者缺一不可. 因此，在解決圖形旋轉問題時，同學們一定要明確如下三點： （1）旋轉中心（是定點，還是動點）；（2）旋轉方向（是逆時針，還是順時針）；（3）旋轉角（是具體數值，還是一個范圍）. 如果三者中有一個不確定，那么旋轉的結果就可能不唯一，這時同學們要注意分類思考，謹防漏解.

一、旋轉中心不確定

例1 如圖1，小紅在學習了三角形相關知識后，對等腰直角三角形進行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA = CB，∠C = 90°，過點B作射線BD⊥AB，垂足為B. 若點P在射線CB上移動，將射線PA繞點P逆時針旋轉90°與BD交于點E，畫出圖形，探究線段BA，BP，BE之間的數量關系，并說明理由.

解析：旋轉中心P在射線CB上移動，位置不確定，因此分為兩種情況，即P在線段BC上和P在線段CB的延長線上.

（1）當P在線段BC上時，過P作PM[?]AB，交AC于M，如圖2，

∴∠MPC = ∠ABC = 45°，∴∠PMC = ∠MPC = 45°.

∴CP = CM.

∵CA = CB，∴AM = BP.

∵∠APE = 90°，∴∠EPB = ∠PAC = 90° - ∠APC.

∵∠AMP = ∠PBE = 135°，∴△APM≌△PEB，

∴PA = PE，PM = BE.

∵AB = [2]（AM + CM），PM = [2CM]，

∴AB = [2]BP + BE.

（2）當P在線段CB的延長線上時，

過P作PN⊥BC，交BE于N，如圖3.

∵∠ABD = 90°，∠ABC = 45°，∴∠PBN = 45°，

∴△BPN是等腰直角三角形，∠ABP = 90° + 45° = 135°，

∴BP = NP，∴BN = [2]BP，∠PNB = 45°，

∴∠PNE = ∠ABP = 135°.

∵∠APE = ∠NPB = 90°，∴∠EPN = ∠APB，

∴△EPN ≌ △APB（ASA），∴EN = BA.

∵BE = EN + BN，∴BE = BA + [2]BP.

綜上所述，線段BA，BP，BE之間的數量關系有兩種情況：當P在線段BC上時，AB = [2]BP + BE；當P在線段CB的延長線上時，BE = BA + [2]BP.

二、旋轉方向不確定

例2 如圖4，△AOB中，OA = 4，OB = 6，AB = 2[7]，將△AOB繞原點O旋轉90°，則旋轉后點A的對應點A′的坐標是（ ）.

A. （4，2）或（-4，2）

B. （2[3]，-4）或（-2[3]，4）

C. （-2[3]，2）或（2[3]，-2）

D. （2，-2[3]）或（-2，2[3]）

解析：旋轉中心和旋轉角度已知，旋轉方向未知，此時要分順時針旋轉和逆時針旋轉兩種情況求解.

過點A作AH⊥OB于H，設OH = m，則BH = 6 - m.

∵AH2 = OA2 - OH2 = AB2 - BH2，∴42 - m2 = （2[7]）2 - （6 - m）2，

∴m = 2，∴AH = [42-22] = 2[3]，∴A（2，2[3]）.

若將△AOB繞原點O順時針旋轉90°，則旋轉后點A的對應點A′（2[3]，-2）；若將△AOB繞原點O逆時針旋轉90°，則旋轉后點A的對應點A′（-2[3]，2）. 故選C.

三、旋轉角度不確定

例3 在△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC，線段AB繞點A逆時針旋轉至AD（AD不與AC重合），旋轉角記為α，∠DAC的平分線AE與射線BD相交于點E，連接EC.

（1）如圖5，當α = 20°時，∠AEB的度數是 .

（2）如圖6，當0° lt; α lt; 90°時，求證：BD + 2CE = [2]AE.

（3）當0° lt; α lt; 180°，AE = 2CE時，請直接寫出[BDED]的值.

解析：（1）∵線段AB繞點A逆時針旋轉α至AD，α = 20°，

∴∠BAD = 20°，AB = AD，∴∠ADB = ∠ABD = 80°.

∵∠BAC = 90°，∴∠DAC = 70°.

∵AE平分∠DAC，∴∠DAE = 35°，

∴∠AEB = ∠ADB - ∠DAE = 80° - 35° = 45°. "故填45°.

（2）∵∠BAC = 90°，AB = AC，

∴將△ACE繞點A順時針旋轉90°到△ABF的位置，如圖7.

∵AB = AC，AD = AB，∴AD = AC.

∵∠DAE = ∠CAE， AE = AE，∴△ADE ≌ △ACE（SAS），

∴∠DEA = ∠CEA，∠ADE = ∠ACE，DE = CE.

∵AB = AD，∴∠ABD = ∠ADB.

∵∠ADE + ∠ADB = 180°，∴∠ACE + ∠ABD = 180°.

∵∠ABF = ∠ACE，∴∠ABF + ∠ABD = 180°，

即點F，B，E在一條直線上.

∵∠EAF = ∠BAF + ∠BAE = ∠CAE + ∠BAE = ∠BAC = 90°，AE = AF，∴EF = [2]AE.

∵EF = BF + BD + DE = BD + 2CE，∴BD + 2CE = [2]AE.

（3）由于旋轉角度不確定，導致滿足“線段AB繞點A逆時針旋轉至AD”時點D的位置有圖6和圖8兩種情況，需要分類求解.

①當0° lt; α lt; 90°時，如圖7，

由（2）可知BD + 2CE = [2]AE，CE = ED.

∵AE = 2CE，∴BD + 2ED = 2[2]ED，∴[BDED] = 2[2] - 2.

②當90° lt; α lt; 180°時，如圖8，

同（2）可證△ADE ≌ △ACE（SAS），∴DE = CE，∠D = ∠ACE.

∵AB = AC = AD，∴∠ABD = ∠D = ∠ACE.

將△ACE繞點A順時針旋轉90°到△ABF的位置，易知點F在BD上，

∴△AEF是等腰直角三角形，∴EF = [2]AE，

∴BD = BF + DE + EF = 2ED + [2]AE.

∵AE = 2CE = 2ED，∴BD = 2ED + 2[2]ED，∴[BDED] = 2[2] + 2.

綜上所述，[BDED]的值為2[2] - 2或2[2] + 2.

分層作業

難度系數：★★★ 解題時間：10分鐘

1. 如圖9中正方形CDEF繞某點P旋轉后與正方形ABCD重合，這樣的點P有多少個？（答案見第33頁）

2. 如圖10，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 30°，射線CP繞點C旋轉，交射線AB于點D. 設∠ACD = α（0° lt; α lt; 75°）. 將△ACD沿CD折疊得△A'CD，射線CA'與射線AB交于點E. 若△A'DE是等腰三角形，求α. （答案見第33頁）

（作者單位：江蘇省興化市興東初級中學）